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由于量词的引入，以量词为载体来构造条件的题目越来越多，而在平时练习中，常常会遇到一些条件表达很相似，许多同学往往因为不能区分彼此之间的不同，不能准确“翻译”含有存在量词与任意性量词的条件、不能把握好不同问题的解题技巧，从而造成解答的错误.那么如何准确“翻译”含有量词的条件呢？下面通过几道题作说明.
一、只含任意性量词
1.已知两个函数f(x)=7x2-28x-c，g(x)=2x3+4x2-40x.
（Ⅰ）若对任意x∈［-3,3］，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x1，x2∈［-3,3］，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围
【分析】 （Ⅰ）是不等式恒成立问题，这里由于字母c易分离，所以可以用分离字母，求函数最值的方法求解；或由f(x)≤g(x)g(x)-f(x)≥0，转化为求g(x)-f(x)在［-3,3］上的最小值大于等于零.
（Ⅱ）由于x1,x2的不同，故不能用问题（Ⅰ）中的方法处理，而直接构造不等式f(x1)≤g(x2)更不知如何下手.但从x1,x2的任意性说明了f(x)无论取什么值总是不大于g(x)中的任意值，所以可知：对任意x1，x2∈［-3,3］，都有f(x1)≤g(x2)成立当x∈［-3,3］时，［f(x)］max≤［g(x)］min.
【解】 （Ⅰ）由f(x)≤g(x)得c≥-2x3+3x2+12x.
令h(x)=-2x3+3x2+12x.
所以对任意x∈［-3,3］，都有f(x)≤g(x)成立等价于：对任意x∈［-3,3］，c≥(-2x3+3x2+12x)max恒成立；
由h′(x)=0得x=2或x=-1.
又x∈［-3,-1］时，h′(x)＜0,当x∈(-1,2)时，h′(x)＞0，当x∈(2,3)时，h′(x)＜0，
所以h(x)的最大值只可能在x=2或x=-3时取到.
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
若对任意x∈I，都有f(x)≤g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］max≤0；
若对任意x∈I，都有f(x)≥g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］min≥0；
若对任意x1∈I，x2∈I,都有f(x1)≤g(x2)成立当x∈I时，［f(x）］max≤［g(x)］min.
二、只含存在性量词
2.已知函数f(x)=k［(logax)2+(logxa)2］-(logax)3-(logxa)3，g(x)=(3-k2)(logax+logxa)，其中a＞1 ，设t=logax+logxa.
（Ⅰ）当x∈(1,a)∪(a,+∞)时,试将f(x)表示成t的函数h(t),并探究函数h(t)是否存在极值；
（Ⅱ）若存在x0∈(1,+∞)，使f(x0)＞g(x0)成立，试求k的范围.
分析：由x∈(1,a)∪(a,+∞)，a＞ 1可知t＞2，故问题（1）就是探究h(t)在t＞2上是否有极值，也即探究h′(t)=0在t＞2上是否有解.问题（2）关键是正确“翻译”存在x0∈(1,+∞)，使f(x0)＞g(x0)成立.如果直接理解为不等式f(x)＞g(x)在x∈(1,+∞)上有解，则需要解不等式，但由于此不等式不易求解，故很难进行下去.如果这里的“存在”换成“任意”，就是第一题的第一问的形式，因而易想到可以通过逆否命题求解：即求对于任意实数
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
若存在x∈I，使f(x)＞g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］max＞0；
若存在x∈I，使f(x)＜g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］min＜0.
三、既含任意性量词又含存在性量词
3.已知函数f(x)=x2-2x-3(x∈［0,1］),
g(x)=x3-3a2x-2a(x∈［0,1］).
（1）求f(x)的值域M；
（2）若a≥1，求g(x)的值域N；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈［0,1］总存在x0∈［0,1］,使得f(x)=g(x0)，求实数a的取值范围.
【分析】 求函数的值域是高中数学的重要内容，f(x)的值域M直接配方求解即可，g(x)的值域N利用导数求解；
第（3）问的关键是理解“对于任意的x∈［0,1］总存在x0∈［0,1］使得f(x)=g(x0)”.【简解】 （1）M=［-4,-3］.
（2）N=［1-3a2-2a,-2a］.
（3）对于任意的x∈［0,1］,总存在x0∈［0,1］,使得f(x)=g(x0)MN.
所以1-3a2-2a≤-4,-2a≥-3,
解得1≤a≤32.
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
对于任意x1∈I，存在x2∈I，使f(x1)=g(x2)成立当x∈I时，{f(x)|x∈I}{g(x)|x∈I}.
一、只含任意性量词
1.已知两个函数f(x)=7x2-28x-c，g(x)=2x3+4x2-40x.
（Ⅰ）若对任意x∈［-3,3］，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x1，x2∈［-3,3］，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围
【分析】 （Ⅰ）是不等式恒成立问题，这里由于字母c易分离，所以可以用分离字母，求函数最值的方法求解；或由f(x)≤g(x)g(x)-f(x)≥0，转化为求g(x)-f(x)在［-3,3］上的最小值大于等于零.
（Ⅱ）由于x1,x2的不同，故不能用问题（Ⅰ）中的方法处理，而直接构造不等式f(x1)≤g(x2)更不知如何下手.但从x1,x2的任意性说明了f(x)无论取什么值总是不大于g(x)中的任意值，所以可知：对任意x1，x2∈［-3,3］，都有f(x1)≤g(x2)成立当x∈［-3,3］时，［f(x)］max≤［g(x)］min.
【解】 （Ⅰ）由f(x)≤g(x)得c≥-2x3+3x2+12x.
令h(x)=-2x3+3x2+12x.
所以对任意x∈［-3,3］，都有f(x)≤g(x)成立等价于：对任意x∈［-3,3］，c≥(-2x3+3x2+12x)max恒成立；
由h′(x)=0得x=2或x=-1.
又x∈［-3,-1］时，h′(x)＜0,当x∈(-1,2)时，h′(x)＞0，当x∈(2,3)时，h′(x)＜0，
所以h(x)的最大值只可能在x=2或x=-3时取到.
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
若对任意x∈I，都有f(x)≤g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］max≤0；
若对任意x∈I，都有f(x)≥g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］min≥0；
若对任意x1∈I，x2∈I,都有f(x1)≤g(x2)成立当x∈I时，［f(x）］max≤［g(x)］min.
二、只含存在性量词
2.已知函数f(x)=k［(logax)2+(logxa)2］-(logax)3-(logxa)3，g(x)=(3-k2)(logax+logxa)，其中a＞1 ，设t=logax+logxa.
（Ⅰ）当x∈(1,a)∪(a,+∞)时,试将f(x)表示成t的函数h(t),并探究函数h(t)是否存在极值；
（Ⅱ）若存在x0∈(1,+∞)，使f(x0)＞g(x0)成立，试求k的范围.
分析：由x∈(1,a)∪(a,+∞)，a＞ 1可知t＞2，故问题（1）就是探究h(t)在t＞2上是否有极值，也即探究h′(t)=0在t＞2上是否有解.问题（2）关键是正确“翻译”存在x0∈(1,+∞)，使f(x0)＞g(x0)成立.如果直接理解为不等式f(x)＞g(x)在x∈(1,+∞)上有解，则需要解不等式，但由于此不等式不易求解，故很难进行下去.如果这里的“存在”换成“任意”，就是第一题的第一问的形式，因而易想到可以通过逆否命题求解：即求对于任意实数
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
若存在x∈I，使f(x)＞g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］max＞0；
若存在x∈I，使f(x)＜g(x)成立当x∈I时，［f(x)-g(x)］min＜0.
三、既含任意性量词又含存在性量词
3.已知函数f(x)=x2-2x-3(x∈［0,1］),
g(x)=x3-3a2x-2a(x∈［0,1］).
（1）求f(x)的值域M；
（2）若a≥1，求g(x)的值域N；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈［0,1］总存在x0∈［0,1］,使得f(x)=g(x0)，求实数a的取值范围.
【分析】 求函数的值域是高中数学的重要内容，f(x)的值域M直接配方求解即可，g(x)的值域N利用导数求解；
第（3）问的关键是理解“对于任意的x∈［0,1］总存在x0∈［0,1］使得f(x)=g(x0)”.【简解】 （1）M=［-4,-3］.
（2）N=［1-3a2-2a,-2a］.
（3）对于任意的x∈［0,1］,总存在x0∈［0,1］,使得f(x)=g(x0)MN.
所以1-3a2-2a≤-4,-2a≥-3,
解得1≤a≤32.
【评注】 已知区间I，函数f(x),g(x).
对于任意x1∈I，存在x2∈I，使f(x1)=g(x2)成立当x∈I时，{f(x)|x∈I}{g(x)|x∈I}.