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摘 要：定积分是高等数学的重要组成部分，也是研究物理学中某些理论的重要工具，积分中的微元法是把物理问题抽象成数学中的定积分。本文是通过微元法的理论，求水压力、变力做功等物理问题，从而使求物理问题转化为定积分。
关键词：定积分；微元法；压力
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2015）02-126-02
在研究有关的物理问题时，利用定积分来解决物理中的实际问题非常重要，定积分在物理中应用首先应该建立坐标系，利用微元法求出其中的变量关系，从而使物理问题转化为定积分。
由于本节所研究的问题都有一定的物理背景，因此需要学生掌握一定的物理知识，特别需要掌握以下公式：
（1）常力 F推动物体沿直线与 方向一致移动了S距离时，力对物体所做的功为W=
（2）一定量的气体在等温条件下，压强P与体积乘积是常数k：PV=k 或
（3）如果面积为S的平面上各点处的压强恒为P，则作用于此平面上的力为
（4）水深为h处的压强为P= 其中 为水密度，g是重力加速度.
（5）质量分别为
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.
一、变力沿直线所做的功
常力沿直线所作的功大家都会求之，那么物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么如何计算这种变力作功的问题呢？下面通过具体例子说明如何计算变力所作的功.
（一）例：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要做多少菌（设球的比重为1）
解：首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，任取[-R，R]中的小区间[x，x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为pi（R*R-x*x）dx，在水中时浮力与重量相等。当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R+x，故对它需做功dW=（R+x）pi（R*R-x*x）dx。因此，将球从水中取出时要做功W=4/3*pi*R*R*R*R.
（二）一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
解（1）如图取定x轴，水深度x为变量，x的变化范围为
（2）在 上任取一小区间 ，相应于这小区间的这薄层水的重力为
于是把这薄层水吸出桶外需作功近似的为
（3）于是所求的功为
二、水压力
在例1中我们知道，由于活塞上每点处的压强均相同，因此活塞上所受的力为 ，如果活塞上每点处的压强是变化的，那么，求活塞上所受的力就不能这样计算，这种问题在求水压力中尤为突出，下面我们通过例子说明它的计算方法.
例、一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为 ，
计算桶的一个端面上所受的压力P
解 由于处于不同水深处的点压强P不同，因此需采用定积分元素法来求一个端面上所受的压力，
（1）桶的一个端面是圆片，过此圆如图建立坐标系（坐标原点在圆心处）选取x为变量，x的变化范围为 ，桶的端面圆的边界圆的方程为
（2）在 上任取一小区间 ，半圆片上相应于 的窄条上所受的压力记为 ，下面求 的近似值.
由于 对应的窄条上的压强并不是处处相同，故取水深x处的压强 窄条上各点处的压强，这样压强可看作是不变的，再用矩形（长为2R，宽为dx，见图）面积 近似 对应的窄条面积，从而 故
（3）
=
三、引力
我们已知两质点间的引力计算，但是一根细棒对一个质点的引力如何计算呢？由于细棒上各点与一个质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，因此解决此种问题需要利用定积分的元素法，下面举例说明它的计算.
例、设有一长度为，线密度为u的均匀细直棒，在其中垂线上距离棒 单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力.
解（1）如图取坐标系，选取y为变量，y的变化范围为 ，
（2）在 上任取一小区间 ， 对应的这小段棒对质点M的引力的大小记为：
为了求出 的近似值，将 相应的这段小棒近似地看作是一个质点，其质量为udy，其与M点的距离近似为 ，此时由两个质点间的引力计算公式可求出 的近似值为
从而知 在水平方向分力 （其中 见图）
于是
（3）所求引力在水平方向分力为
由对称性知，引力在沿铅直方向分力为
注：当细棒的长度 很大时，可视 趋于无穷，此时，引力的大小为 ，方向与细棒垂直且由M指向细棒.
小结
（1）物理应用问题一般直接采用元素法，在自变量的一个小的变化范围内，以不变代变，从而表示出要求量的关系，然后在自变量的变化范围内对其积分.
（2）要注意适当建立坐标系，以使之方便好用.
参考文献：
[1] 朱基珍.应用定积分解决物理问题[J].广西工学院学报，1997.
[2] 熊金泉，范绎民.新编高等到数学[M].北京理工大学出版，2010.8.
关键词：定积分；微元法；压力
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2015）02-126-02
在研究有关的物理问题时，利用定积分来解决物理中的实际问题非常重要，定积分在物理中应用首先应该建立坐标系，利用微元法求出其中的变量关系，从而使物理问题转化为定积分。
由于本节所研究的问题都有一定的物理背景，因此需要学生掌握一定的物理知识，特别需要掌握以下公式：
（1）常力 F推动物体沿直线与 方向一致移动了S距离时，力对物体所做的功为W=
（2）一定量的气体在等温条件下，压强P与体积乘积是常数k：PV=k 或
（3）如果面积为S的平面上各点处的压强恒为P，则作用于此平面上的力为
（4）水深为h处的压强为P= 其中 为水密度，g是重力加速度.
（5）质量分别为
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.
一、变力沿直线所做的功
常力沿直线所作的功大家都会求之，那么物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么如何计算这种变力作功的问题呢？下面通过具体例子说明如何计算变力所作的功.
（一）例：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要做多少菌（设球的比重为1）
解：首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，任取[-R，R]中的小区间[x，x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为pi（R*R-x*x）dx，在水中时浮力与重量相等。当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R+x，故对它需做功dW=（R+x）pi（R*R-x*x）dx。因此，将球从水中取出时要做功W=4/3*pi*R*R*R*R.
（二）一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
解（1）如图取定x轴，水深度x为变量，x的变化范围为
（2）在 上任取一小区间 ，相应于这小区间的这薄层水的重力为
于是把这薄层水吸出桶外需作功近似的为
（3）于是所求的功为
二、水压力
在例1中我们知道，由于活塞上每点处的压强均相同，因此活塞上所受的力为 ，如果活塞上每点处的压强是变化的，那么，求活塞上所受的力就不能这样计算，这种问题在求水压力中尤为突出，下面我们通过例子说明它的计算方法.
例、一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为 ，
计算桶的一个端面上所受的压力P
解 由于处于不同水深处的点压强P不同，因此需采用定积分元素法来求一个端面上所受的压力，
（1）桶的一个端面是圆片，过此圆如图建立坐标系（坐标原点在圆心处）选取x为变量，x的变化范围为 ，桶的端面圆的边界圆的方程为
（2）在 上任取一小区间 ，半圆片上相应于 的窄条上所受的压力记为 ，下面求 的近似值.
由于 对应的窄条上的压强并不是处处相同，故取水深x处的压强 窄条上各点处的压强，这样压强可看作是不变的，再用矩形（长为2R，宽为dx，见图）面积 近似 对应的窄条面积，从而 故
（3）
=
三、引力
我们已知两质点间的引力计算，但是一根细棒对一个质点的引力如何计算呢？由于细棒上各点与一个质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，因此解决此种问题需要利用定积分的元素法，下面举例说明它的计算.
例、设有一长度为，线密度为u的均匀细直棒，在其中垂线上距离棒 单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力.
解（1）如图取坐标系，选取y为变量，y的变化范围为 ，
（2）在 上任取一小区间 ， 对应的这小段棒对质点M的引力的大小记为：
为了求出 的近似值，将 相应的这段小棒近似地看作是一个质点，其质量为udy，其与M点的距离近似为 ，此时由两个质点间的引力计算公式可求出 的近似值为
从而知 在水平方向分力 （其中 见图）
于是
（3）所求引力在水平方向分力为
由对称性知，引力在沿铅直方向分力为
注：当细棒的长度 很大时，可视 趋于无穷，此时，引力的大小为 ，方向与细棒垂直且由M指向细棒.
小结
（1）物理应用问题一般直接采用元素法，在自变量的一个小的变化范围内，以不变代变，从而表示出要求量的关系，然后在自变量的变化范围内对其积分.
（2）要注意适当建立坐标系，以使之方便好用.
参考文献：
[1] 朱基珍.应用定积分解决物理问题[J].广西工学院学报，1997.
[2] 熊金泉，范绎民.新编高等到数学[M].北京理工大学出版，2010.8.