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摘 要：高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 引导学生动手操作，让学生在数学学习过程中的发现、操作、探究等认识活动，促成数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.
关键词：操作学习；自主探索；合作交流；实验；情景
操作学习是指学习者在动手操作活动中进行学习的一种学习方式，它不是学生被动接收课本上的或教师叙述的现成结论. 而是学生从自己的“数学现实”出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己对数学认知结构的活动过程. 在操作活动中，一方面活动者运用某种工具作用于某种物质对象，并将已掌握的知识经验和心智能力在活动过程中对象化和外显化；另一方面活动对象及活动过程又以观念、形象、心理感受、活动经验等形式进入主体的心理结构，从而对活动者已有知识经验和心智能力进行改造和丰富，即引起主体心理发展（内化）. 操作学习对于间接经验的内化、学生实践意识与能力的形成以及学生作为生活主体的发展具有重要价值.
教学中与片面突出知识掌握的教学价值取向相适应，学生学习普遍采取静学（静听、静观、静思）的方式. 随着人们对素质教育认识的深化和课程改革实施的深入，创新精神和实践能力的培养作为素质教育和课程改革的两个重点. 与教育价值取向的这种变化相适应，教育改革已越来越重视学生创新精神的发展和探究学习方式的运用. 但是，我们对学生实践能力的培养及与之密切相关的操作学习方式似乎没有给予足够的关注.
数学教学应当实施“数学化”、“再创造”过程，即从学生熟悉的现实生活开始，沿着数学发现的活动轨迹，从生活（生产）问题到数学问题，从具体问题到抽象理论，从感性认识到理性认识. 而操作学习恰恰是沟通具体到抽象、感性到理性的桥梁.
在数学教学中创设恰当的问题情境，引导学生通过操作手段，从直观、想象到发现、猜想，然后给出验证及证明，使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物，发现真理的方式、方法，是引导学生创造性地解决问题的有效途径，也是完善学生认知结构，培养学生形成“动手实践、自主探索与合作交流”，即“做数学”的现代数学学习观，培养学生实事求是的科学态度、勇于探索与合作交流的科学精神.
操作学习主要是使教学表现形式形象化、多样化、视角化，既有利于充分揭示数学概念、定理的形成与发展、数学思维的过程和本质，又有利于数学思想的渗透、数学方法的选择、数学新问题的形成. 由“听数学”变为“做数学”，提高探究发现能力；由“看演示”变为“动手操作”，增强数学实践能力；由“机械接受”变为“主动探究”，培养学生创新能力. 因此，操作学习具有以下四个显著的基本特征：一是对数学命题的逻辑论证，揭示数学问题的形成过程；二是知识的获取和解决的过程，对知识的再发现和对问题的再创造过程；三是解决问题的方法与途径的选择，培养解决问题过程中的数学精神；四是按部就班地获得结论，培养求异思维和创新精神.
数学操作学习的课堂教学流程一般设计为：1. 创设情境，提出问题；2. 操作探索，形成结论（操作感知，形成猜想——操作探索，验证猜想——操作交流，归纳结论）；3. 实践运用，解决问题；4. 总结反思，评价体验.
课堂教学是师生多边的活动过程，教师的教是为了学生的学，优化课堂教学的关键是教师在教学过程中积极引导学生最大限度的参与，让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达.
案例1 在“立体几何”教学中，学生普通反映较难，空间想象力不够，为了激发学生学习的兴趣，在有关折叠问题的教学中，教师指导学生动手完成从平面图形到立体图形的折叠过程，观察发现折叠前后的不变量，学生会发现问题轻松可解. 球的体积公式，教材上是采用祖恒原理推证的，如果采用操作的方法，将会给学生留下深刻的印象，实验可用如下方法进行：用半径为R的半球装满沙子，又用高和半径都为R的圆锥装满沙子，并把这些沙子同时倒入高和半径都为R的圆柱中.多次实验表明，此时沙子刚好装满，于是，学生纷纷感到好奇，然后再进行下面的运算，便可导出球的体积公式：V圆柱=V半球+V圆锥，V半球=V圆柱-V圆锥=πR3-πR3=πR3，即V球=2V半球=πR3. 这种推证，激发了学生的兴趣，让学生在操作的乐趣中学到了知识.
我们主张教师进行概念教学设计时，应考虑为学生创设一种活动情景，让学生动手做数学，参与数学活动的过程，通过接触概念、体验概念、应用概念，以达到建构和完善概念，掌握概念的内涵和外延.
案例2 “双曲线的概念”的教学片断
请同学们拿出刚才发下来的印有圆F1的白纸，按如下步骤操作：（1）在圆F1外取一定点F2；（2）在圆F1上任取一点P1；（3）将白纸对折，使P1和F2重合，并留下一条折痕；（4）连结P1F1，并延长交折痕于点M1；（5）再在圆上任取其他点，将上述2-4步骤重复5-6次，便可得到一系列点，连结这些点（用光滑曲线）. 大家想欣赏吗？请迅速折纸，看谁折得好.
有的教师采用的是书中的例子. 笔者认为，双曲线的机械画法这种情景中，蕴涵着双曲线内部的数学本质联系，分别到两个图钉的距离差等于拉线的一段长（定长）. 但这种方法过于显形、直接、容易，缺少探究的空间和距离，几乎是教师直接而生硬地把概念“抛给”学生. 而本节课的目的是双曲线定义的发生，双曲线方程的推导和简单应用. 其中探索双曲线的定义是认识双曲线并掌握双曲线方程的前提. 因此，教学的重点是基于过程性的探索双曲线的定义、方程和技能性的简单应用. 从这个意义出发，通过操作学习，学生不仅学习兴趣高、参与面广，教学效果好，而且与本节课的核心目标达成一致，具有强烈的数学味.
对立体几何的空间直线位置、空间平面的位置关系判断、椭圆的定义、抛物线定义、概率、向量坐标的运算等等，都可以设置情景，让学生通过操作学习来建构概念. 数学规律教学的内容和方法，虽然早已被数学家们所论证与应用，但是对学生而言却是新的，甚至有点像魔术师帽子中的小兔子（观看后仍是不解与困惑）. 因此，在一般性数学规律的教学中，让学生充分对“数学规律”做自主探索，要充分满足学生的心理需要与情感体验，要使数学规律的出现适合他们自己的数学结构，才能使数学规律找到牢固的附着点、生长点.
案例3 “线面垂直的判定”的教学片断
在日常生活中，学生对线面垂直的感性认识是很多的，比如说旗杆与地面、屋梁与墙面等都给我们以线面垂直的印象，但如何判定线面垂直呢？教师拿出课前准备好的一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在水平桌面上（如图1），请学生观察：折痕AD与桌面垂直吗？
这又是为什么呢？这堂课的教学自然而然地进入到了一个“数学问题”的讨论. 原来，在翻折前后，AD⊥BC这一垂直关系并没有改变，即在图中有AD⊥BD且AD⊥CD. 这样看来，似乎应有以下结论（猜测）：“若AD与桌面内的两条相交直线垂直，则AD与桌面垂直.” （实际上就是线面垂直的判定定理）进一步思考，将“AD与桌面内的两条相交直线垂直”减弱为“AD与桌面上的一条直线垂直”，能否保证AD与桌面垂直？让学生再动手试一试，学生将翻折后的纸片展开并让它竖起来，发现尽管有AD⊥BC，但纸张并不能稳稳地直立在桌面上，看来AD至少要与桌面内的两条相交直线垂直，才有AD与桌面垂直.
可以看到，在学生自己的操作体验中，一个抽象的数学定理直观地展示在学生面前，接着再让学生探究如何去概括并证明直观的结论，这样，就成为操作、探究学习的数学课.
通过动手操作实验，经历了对事物的认识过程和问题的探究过程，就能让学生更好地实现对数学知识的建构和对规则的理解，并对数学思维得到更进一步的提高.
案例4 “合情推理”的教学片断
在课堂中，教师准备好三根针和套在一根针上的若干金属片，让学生动手按每次只能移动1个金属片，较大的金属片不能放在较小的金属片上面的规则，把4个金属片从一根针上全部移到另一根针上最少需要移动多少次？
在这个问题的解决中可以让学生独立操作完成，观察移动1、2、3、4个金属片的情形，探究其中的规律性，利用归纳推理得到移动n个金属片需要的次数；也可以通过发现移动4个金属片次数和移动3个金属片次数之间的关系，类比得到移动n个金属片次数an和移动n-1个金属片次数an-1之间的递推关系：an=1，n=1，
2an-1+1，n≥2，再利用这一递推公式，进一步得到移动n个金属片最少移动的次数.
数学实验操作中建构起相应的数学对象，能对数学思维加以引导，对数学完成“主动构建”，与学生的思维过程有机融合.
现代教育技术的迅猛发展，积极进行数学操作的探索和实践，使数学操作真正成为学生理解数学本质、探究数学结论、解决数学问题和培养数学情感的辅助手段.通过设计合理高效的数学操作，为学生的创新意识和创新思维的培养开辟广阔的空间，把数学教育教学改革不断引向现代化.
关键词：操作学习；自主探索；合作交流；实验；情景
操作学习是指学习者在动手操作活动中进行学习的一种学习方式，它不是学生被动接收课本上的或教师叙述的现成结论. 而是学生从自己的“数学现实”出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己对数学认知结构的活动过程. 在操作活动中，一方面活动者运用某种工具作用于某种物质对象，并将已掌握的知识经验和心智能力在活动过程中对象化和外显化；另一方面活动对象及活动过程又以观念、形象、心理感受、活动经验等形式进入主体的心理结构，从而对活动者已有知识经验和心智能力进行改造和丰富，即引起主体心理发展（内化）. 操作学习对于间接经验的内化、学生实践意识与能力的形成以及学生作为生活主体的发展具有重要价值.
教学中与片面突出知识掌握的教学价值取向相适应，学生学习普遍采取静学（静听、静观、静思）的方式. 随着人们对素质教育认识的深化和课程改革实施的深入，创新精神和实践能力的培养作为素质教育和课程改革的两个重点. 与教育价值取向的这种变化相适应，教育改革已越来越重视学生创新精神的发展和探究学习方式的运用. 但是，我们对学生实践能力的培养及与之密切相关的操作学习方式似乎没有给予足够的关注.
数学教学应当实施“数学化”、“再创造”过程，即从学生熟悉的现实生活开始，沿着数学发现的活动轨迹，从生活（生产）问题到数学问题，从具体问题到抽象理论，从感性认识到理性认识. 而操作学习恰恰是沟通具体到抽象、感性到理性的桥梁.
在数学教学中创设恰当的问题情境，引导学生通过操作手段，从直观、想象到发现、猜想，然后给出验证及证明，使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物，发现真理的方式、方法，是引导学生创造性地解决问题的有效途径，也是完善学生认知结构，培养学生形成“动手实践、自主探索与合作交流”，即“做数学”的现代数学学习观，培养学生实事求是的科学态度、勇于探索与合作交流的科学精神.
操作学习主要是使教学表现形式形象化、多样化、视角化，既有利于充分揭示数学概念、定理的形成与发展、数学思维的过程和本质，又有利于数学思想的渗透、数学方法的选择、数学新问题的形成. 由“听数学”变为“做数学”，提高探究发现能力；由“看演示”变为“动手操作”，增强数学实践能力；由“机械接受”变为“主动探究”，培养学生创新能力. 因此，操作学习具有以下四个显著的基本特征：一是对数学命题的逻辑论证，揭示数学问题的形成过程；二是知识的获取和解决的过程，对知识的再发现和对问题的再创造过程；三是解决问题的方法与途径的选择，培养解决问题过程中的数学精神；四是按部就班地获得结论，培养求异思维和创新精神.
数学操作学习的课堂教学流程一般设计为：1. 创设情境，提出问题；2. 操作探索，形成结论（操作感知，形成猜想——操作探索，验证猜想——操作交流，归纳结论）；3. 实践运用，解决问题；4. 总结反思，评价体验.
课堂教学是师生多边的活动过程，教师的教是为了学生的学，优化课堂教学的关键是教师在教学过程中积极引导学生最大限度的参与，让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达.
案例1 在“立体几何”教学中，学生普通反映较难，空间想象力不够，为了激发学生学习的兴趣，在有关折叠问题的教学中，教师指导学生动手完成从平面图形到立体图形的折叠过程，观察发现折叠前后的不变量，学生会发现问题轻松可解. 球的体积公式，教材上是采用祖恒原理推证的，如果采用操作的方法，将会给学生留下深刻的印象，实验可用如下方法进行：用半径为R的半球装满沙子，又用高和半径都为R的圆锥装满沙子，并把这些沙子同时倒入高和半径都为R的圆柱中.多次实验表明，此时沙子刚好装满，于是，学生纷纷感到好奇，然后再进行下面的运算，便可导出球的体积公式：V圆柱=V半球+V圆锥，V半球=V圆柱-V圆锥=πR3-πR3=πR3，即V球=2V半球=πR3. 这种推证，激发了学生的兴趣，让学生在操作的乐趣中学到了知识.
我们主张教师进行概念教学设计时，应考虑为学生创设一种活动情景，让学生动手做数学，参与数学活动的过程，通过接触概念、体验概念、应用概念，以达到建构和完善概念，掌握概念的内涵和外延.
案例2 “双曲线的概念”的教学片断
请同学们拿出刚才发下来的印有圆F1的白纸，按如下步骤操作：（1）在圆F1外取一定点F2；（2）在圆F1上任取一点P1；（3）将白纸对折，使P1和F2重合，并留下一条折痕；（4）连结P1F1，并延长交折痕于点M1；（5）再在圆上任取其他点，将上述2-4步骤重复5-6次，便可得到一系列点，连结这些点（用光滑曲线）. 大家想欣赏吗？请迅速折纸，看谁折得好.
有的教师采用的是书中的例子. 笔者认为，双曲线的机械画法这种情景中，蕴涵着双曲线内部的数学本质联系，分别到两个图钉的距离差等于拉线的一段长（定长）. 但这种方法过于显形、直接、容易，缺少探究的空间和距离，几乎是教师直接而生硬地把概念“抛给”学生. 而本节课的目的是双曲线定义的发生，双曲线方程的推导和简单应用. 其中探索双曲线的定义是认识双曲线并掌握双曲线方程的前提. 因此，教学的重点是基于过程性的探索双曲线的定义、方程和技能性的简单应用. 从这个意义出发，通过操作学习，学生不仅学习兴趣高、参与面广，教学效果好，而且与本节课的核心目标达成一致，具有强烈的数学味.
对立体几何的空间直线位置、空间平面的位置关系判断、椭圆的定义、抛物线定义、概率、向量坐标的运算等等，都可以设置情景，让学生通过操作学习来建构概念. 数学规律教学的内容和方法，虽然早已被数学家们所论证与应用，但是对学生而言却是新的，甚至有点像魔术师帽子中的小兔子（观看后仍是不解与困惑）. 因此，在一般性数学规律的教学中，让学生充分对“数学规律”做自主探索，要充分满足学生的心理需要与情感体验，要使数学规律的出现适合他们自己的数学结构，才能使数学规律找到牢固的附着点、生长点.
案例3 “线面垂直的判定”的教学片断
在日常生活中，学生对线面垂直的感性认识是很多的，比如说旗杆与地面、屋梁与墙面等都给我们以线面垂直的印象，但如何判定线面垂直呢？教师拿出课前准备好的一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在水平桌面上（如图1），请学生观察：折痕AD与桌面垂直吗？
这又是为什么呢？这堂课的教学自然而然地进入到了一个“数学问题”的讨论. 原来，在翻折前后，AD⊥BC这一垂直关系并没有改变，即在图中有AD⊥BD且AD⊥CD. 这样看来，似乎应有以下结论（猜测）：“若AD与桌面内的两条相交直线垂直，则AD与桌面垂直.” （实际上就是线面垂直的判定定理）进一步思考，将“AD与桌面内的两条相交直线垂直”减弱为“AD与桌面上的一条直线垂直”，能否保证AD与桌面垂直？让学生再动手试一试，学生将翻折后的纸片展开并让它竖起来，发现尽管有AD⊥BC，但纸张并不能稳稳地直立在桌面上，看来AD至少要与桌面内的两条相交直线垂直，才有AD与桌面垂直.
可以看到，在学生自己的操作体验中，一个抽象的数学定理直观地展示在学生面前，接着再让学生探究如何去概括并证明直观的结论，这样，就成为操作、探究学习的数学课.
通过动手操作实验，经历了对事物的认识过程和问题的探究过程，就能让学生更好地实现对数学知识的建构和对规则的理解，并对数学思维得到更进一步的提高.
案例4 “合情推理”的教学片断
在课堂中，教师准备好三根针和套在一根针上的若干金属片，让学生动手按每次只能移动1个金属片，较大的金属片不能放在较小的金属片上面的规则，把4个金属片从一根针上全部移到另一根针上最少需要移动多少次？
在这个问题的解决中可以让学生独立操作完成，观察移动1、2、3、4个金属片的情形，探究其中的规律性，利用归纳推理得到移动n个金属片需要的次数；也可以通过发现移动4个金属片次数和移动3个金属片次数之间的关系，类比得到移动n个金属片次数an和移动n-1个金属片次数an-1之间的递推关系：an=1，n=1，
2an-1+1，n≥2，再利用这一递推公式，进一步得到移动n个金属片最少移动的次数.
数学实验操作中建构起相应的数学对象，能对数学思维加以引导，对数学完成“主动构建”，与学生的思维过程有机融合.
现代教育技术的迅猛发展，积极进行数学操作的探索和实践，使数学操作真正成为学生理解数学本质、探究数学结论、解决数学问题和培养数学情感的辅助手段.通过设计合理高效的数学操作，为学生的创新意识和创新思维的培养开辟广阔的空间，把数学教育教学改革不断引向现代化.