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摘 要:本文主要围绕风险价值度量金融市场的风险,并介绍了作为VaR度量手段的一个补充预期不足,然后基于极值理论建立了两者的风险度量模型。
此外,本文还将基于极值理论的风险度量方法应用到我国证券市场,通过对上证指数日收益率的实证分析解决现实经济中存在的问题,并将实证分析与模型检验相结合,进一步评估了风险度量模型的有效性。
关键词:风险价值(VaR);预期不足(ES); 极值理论(EVT);广义帕雷托分布(GPD)
一、研究的背景及研究现状
巴林银行、长期资本管理公司等一系列因承担市场风险而发生巨额损失甚至倒闭的案例,使得无论金融机构还是监管机构都日益重视导致灾难性后果的金融风险的管理。为使风险管理体现客观性和科学性,金融风险管理多采用定量分析技术,大量运用数理统计模型来识别、度量和监测风险。VaR模型正是这样一种定量工具,在金融风险控制、业绩评估以及金融监管等方面VaR被广泛运用。
极值理论已经成为概率论里的重要分支之一,许多学者对极值理论进行了大量的研究工作。Anderson(1971),de Hann and Hordijk(1972),Goldie and Smith(1987)等人给出了极值的大偏差理论,Davis(1982) , Hall(1979) ,Hall and Wellner(1979) , Cohan(1982) , Smith(1982)等人给出了极值收敛律的一致收敛率,谢盛荣(1996)将其推广到最大值序列关联某个确定分布的情形。许多学者对高斯序列(过程)的极值进行研究,Berman(1964) , Mittal and Ylvisaker(1975)给出了独立同分布高斯序列极值的结果,Cuzick(1981),Braeker(1993)、Piterbarg(1996)等人对非平稳高斯过程进行T研究,Hiisler and Reiss(1997)对高斯三角组列极值进行了研究。朱国庆等人(2001)总结了前人的研究成果,对极值理论的应用性作了很好的综述。
二、VaR和ES风险测度模型
从数学的观点来看,作为度量极值风险测度的VaR,仅仅是在一定持有期内组合投资损益分布的一个分位数,假设损失分布函数为F,置信水平为q,选定的范围是0.95≤q<1。
则VaR可以表示为:
当F的密度函数为连续函数时,VaR也可以表示为:
其中F\+-1表示函数F的逆函数。
定义VaRq为在q的概率水平下的风险价值,由上式可以得到VaRq的表达式:
预期不足ES和VaR通过下式联系:
上式的第二项是将VaRq当作阈值的超额分布Fv(y)的均值。我们的模型中超过阈值u的超额分布有很好的稳定性,如果我们给出更高的阈值,比如说对于时的阈值VaRq ,那么更高阈值的超额分布也是个具有相同形状参数的GPD,但是尺度参数是不同的,即
上式的优点是我们对大于VaRq,的超额损失有个简单精确的模型。通过这个模型,我们能够计算出超过VaRq的损失的许多特征。我们注意到上式中分布的均值是
同样地,当我们假定<1时,我们能够计算预期不足,我们发现,
这个比率是值得考察的,它与具有无限右端点的潜在分布有些相似。在这里,这个比率很大程度上是由因子1/(1-ξ)决定的。上式右端的第二项在概率q接近1时变得越来越小。这样渐进的现象强调形状参数在尾部估计中的重要性。它决定着在损失分布的极值领域中,这两种度量有什么不同,很容易得到预期不足的估计式,
三、极值方法在VaR度量中的应用及检验
(一)极值方法在VaR度量中的应用
极值方法是一种尾部估计的参数方法,本文以帕雷托分布(GPD)为例介绍极值方法在VaR度量中的应用。
由于VaR可以被定义为可能损失分布的第p分位数(一般选取p值等于0.05或0.01),即VaR=f\+-1(1-P)。
根据极值理论,对定义的e=x-u,即极值点超过阈值的额度,Fu(e)的渐进形式就为:
其中 。上式被称为广义帕累托分布,其密度函数
令{ei｝\+ni=1表示超过阈值点额度的样本,样本规模为n,可以通过最大化似然函数
估计θ=(ξ σ)′,旦估计出=( )′,就可以通过以下方法估计VaR(α)。
又[1-F(u+e)]=[1-F(u)][1-H(e)]
根据上式,通过令[1-F(u+α)]=α,[1-F(u)]=\S〗Nun\s,使用上面提到的分布函数H[VaR(α)],得到风险值估计式为:
其中,T是全部的样本点数,n是超过阈值的样本点数。
(二)模型的检验
通常情况下,对于参数置信区间的估计方法,在大样本的情况下我们可以从似然比率检验的思路中获得。似然比率检验用来检验两个同类模型的拟合程度的好坏。两个同类模型的似然比率符合x2分布,它的自由度等于复杂模型中新加入的参数的个数。
但是,由于超过阈值的数据不会很多,使得这一估计的渐进效果可能不好,为此,我们引入Bootstrap方法来获得置信区间的估计,既然我们得到的序列是独立同分布的,就可以每次独立地从中抽取M个数据组成新的序列,用该序列估计VaRq和ESq,重复这一操作,可以得到一系列的VaRq和ESq的估计值,求出VaRq和ESq的经验分布,然后根据经验分布得到VaRq和ESq的置信区间,并把VaRq和ESq的期望值作为VaRq和ESq的估计值,该方法在确定置信区^间的同时,也是检验模型稳定性的方法。
四、实证研究
(一)样本的选取及数据来源
本文以2004年1月2日到2007年5月29日上证指数日收盘价为例,数据均取日自然对数收益率:r=lnPt-lnPt-1(13)
然后以这些自然对数收益率为该研究的总体样本,采用超越阈值的方法进行极值样本数据的选取。数据摘自中文雅虎网站。
(二)自然对数收益率分布特征的正态性检验
Q-Q图可以表明股票指数收益是否服从正态分布,其中直线代表高斯分位数,而曲线代表上证指数收益实际分布的分位数。如果实际收益分布服从正态分布,那么实际分位数应与高斯分位数相一致,即应该近似是一条直线。从图1中可以看出实际分位数曲线与高斯分位数直线吻合得不是很好,说明实际分布偏离正态分布。图2以上证指数左尾正态分布统计检验为例进一步分析尾部厚度,数据选取上证自然对数日收益(2004年1月2日到2007年5月29日数据大小排序)中的81个极小值,占总体大样本的10%,实际上证指数左尾收益分位数曲线偏离高斯线程度很大,则说明实际左尾的尾部很厚。由图3可见,实际收益尾部分布偏离正态分布较远,说明实际分布呈现厚尾特征
图1 正态分布检验图
图2 左尾正态分布检验图
图3 偏离正态分布检验图
(三)应用极值理论计算风险价值VaR
这一部分主要介绍应用广义帕雷托分布(GPD )计算上证指数VaR的步骤以及如何计算上证指数自然对数收益分布右尾和左尾的风险价值。
图4 样本观察值帕雷托分布分位数检验图
图4是样本观察值帕雷托分布分位数检验图,我们假设阈值u=0.2,如果大于阈值u的样本分布满足帕雷托分布,则其表现是应该接近直线;相反,如果其大部分表现偏离直线比较远,则样本分布与帕雷托分布是不同的分布。从图4可以看出大于阈值u的样本大部分分布在直线附近,且表现相同的趋势,我们得出结论:这个样本分布服从帕雷托分布。
尽管应用极值理论可以解决小样本带来的样本不足的问题,但是最关键的问题是选择阈值u,极值理论告诉我们要选择一个充分大的阈值,才能满足超越阈值的分布函数近似等于帕雷托分布,即
,但是选取的阈值越大,剩下用来估计尾部分布函数的的观察值就越少,这样就会导致估计的精确性越差。这里我们引入样本超越量均值函数(mean excess function,以下简称MEF)这个分析工具来决定阈值u,样本超越量均值函数定义为:
MEF是所有大于阈值u长度量的集合除以大于阈值的数据个数,它描述的是一旦有大于阈值u的情况发生,那么我们估计大于阈值的长度量是多少。
图5是超越量均值函数图,因为在u附近样本超越量均值函数由水平状态向正的斜率变化,所以确定估计的阈值u=0.033。
图5 超越量均值函数图(右尾)
由极值理论知道大于尾部阈值的分布函数近似服从帕雷托分布,图4证明了这一点,下面我们用极大似然估计方法来估计帕雷托分布的尺度参数和形状参数:
假设大于尾部阈值u的超越量y={y1,y2,…,yn｝,极大似然函数L(ξ,σ|z)是这些n个观察值的广义帕雷托联合对数分布密度:
在阈值u = 0.033的情况下,求得极大似然函数的尺度参数σ=0.02,形状参数ξ=0.23。
对于处理极小值情况同极大值相似,我们只需把极小值前加上一个负号,这样都变成正的极值,方法同上。图6是极小值情况下的超越量均值函数图,方法同极大值一样,从图中观察得u=0.022,我们用极大似然估计方法求得尺度参数σ=0.015,形状参数ξ=0.183。
图6 超越量均值函数图(左尾)
图7 (阈值=0.033)
图8 (阈值=0.022)
图7和图8分别检验帕累托分布参数估计,从图中可以看出都较好地满足帕累托分布,而且选择较小的阈值0.036效果更好,验证了在选择充分大的阈值时超越阈值的分布更近似等于帕累托分布。
应用前文帕累托分布得出的VaR公式以及衍生的ES公式,我们在分位数α=0.05和α=0.01条件下计算VaR和ES,结果如下表所示:
表1 应用广义帕雷托分布(GPD)计算VaR与ES结果
uξσVaR(95%)VaR(99%)ES(95%)ES(99%)
极大值情形0.0330.230.020.02270.05320.03120.0611
极小值情形0.0220.1830.0150.03760.06810.04430.0736
(四)模型的测度效果评价:Back-Test检验
本文将使用2006年1月4日到2007年5月29日共323个对数收益率来检验VaR模型的预测效果。
图9是上证指数对数收益图,从图中可以看出极小值的收益波动比极大值收益波动剧烈,而且在中间时间段的波动性要比两端的波动强烈得多,还表现出一定的波动集聚性(volatility clustering)。
图9 上证指数自然对数收益分布图(2006.1.4-2007.5.29)
表2 实际损失大于VaR的次数
VaR计算方法σ广义帕累托分布历史模拟法正态分布t分布
极大值情形
0.054(0.93%)7(1.8%)5(2.2%)4(0.93%)
0.012(0.46%)4(0.93%)4(0.93%)2(0.46%)
极小值情形
0.056(0.4%)16(3.2%)6(1.5%)3(0.23%)
0.010(0)1(0.13%)2(0.46%)0(0)
表2是检验2006年1月4日到2007年5月29日实际自然对数收益大于VaR的次数统计表,括号里面的数字代表了失败率,从中可以看出历史模拟法失败率较高,应用极值理论计算的VaR失败率最低。一般来讲,由Kupiec给出的似然比检验,我们就可以得到某一模型是否有效地接受或拒绝,对于样本的数据(T=323),在99%的置信度下,预期观测到的失败个数应为N=P*T =1%*323=3,但是只要N在区间(1,8)内,则不能拒绝零假设,N>8表明模型低估了损失发生的概率;N<1表明VaR模型过于保守。
比较表2我们1发现在=0.01时的极小值情况下,失败率是零,因此认为应用极值理论计算VaR的模型是相对比较保守的模型,这与大多数理论观点相一致,而且大多数学者还认为因为金融机构使用相对保守的VaR模型会提高其资本需求,一般不会愿意使用更好的VaR模型。其实正是这一“缺点”,在实际应用中,极值方法计算的VaR对防范灾难性损失的风险具有更大的可靠性。
由上面分析知道,正态分布假设和历史模拟法在本文中严重低估了风险价值,然而用似然比检验传统风险价值的计算方法,我们却不能拒绝其零假设,这同时也说明似然比检验的片面性。
五、总结
在风险管理中, 收益分布的合理假设是正确度量风险的前提条件,可是现有的分布, 尤其是广泛应用的正态分布,都与实际金融收益分布存在着较大的差距,而基于极值理论的广义帕雷托模型仅考虑分布尾部,不是对整个分布进行建模,这就避开了分布假设难题。我们的检验结果也表明极值理论的确可以比较精确地度量VaR和ES。
最后,本文讨论了金融收益的厚尾特征对风险价值计算结果的影响,主要运用广义帕雷托分布(GPD )估计上证指数日收益率的VaR,而对于应用广义极值分布(GEV)估计VaR没有进行深入的讨论和证明。另外,只建立了静态的风险度量模型,对于动态的风险管理模型以及通过伪最大似然估计方法用GARCH模型对收益数据进行拟合没有进行深入的研究,这些都是我们今后有待改进的地方。
参考文献:
[1]邵宇.微观金融学及其数学基础.清华大学出版社.
[2]王春峰著.金融市场风险管理.天津:天津大学出版社,2001.
[3]王旭,史道济.极值统计理论在金融风险中的应用.数量经济技术经济研究,2001, (8):109-111.
[4]马玉林,陈伟忠.极值理论在VaR中的应用及对沪深股市的实证分析.金融教学与研究,2003年第6期,25-27.
[5]Bali, T. G. (2003). An extreme value approach to estimating volatility and value at risk. Journal of Business,76:83–107.
[6]Bystrom,H.(2005).Extreme value theory and extremely large electricity price changes.International Review of Economics and Finance,14:41-55.
(作者通讯地址:浙江工商大学金融学院 浙江 杭州 310018)
此外,本文还将基于极值理论的风险度量方法应用到我国证券市场,通过对上证指数日收益率的实证分析解决现实经济中存在的问题,并将实证分析与模型检验相结合,进一步评估了风险度量模型的有效性。
关键词:风险价值(VaR);预期不足(ES); 极值理论(EVT);广义帕雷托分布(GPD)
一、研究的背景及研究现状
巴林银行、长期资本管理公司等一系列因承担市场风险而发生巨额损失甚至倒闭的案例,使得无论金融机构还是监管机构都日益重视导致灾难性后果的金融风险的管理。为使风险管理体现客观性和科学性,金融风险管理多采用定量分析技术,大量运用数理统计模型来识别、度量和监测风险。VaR模型正是这样一种定量工具,在金融风险控制、业绩评估以及金融监管等方面VaR被广泛运用。
极值理论已经成为概率论里的重要分支之一,许多学者对极值理论进行了大量的研究工作。Anderson(1971),de Hann and Hordijk(1972),Goldie and Smith(1987)等人给出了极值的大偏差理论,Davis(1982) , Hall(1979) ,Hall and Wellner(1979) , Cohan(1982) , Smith(1982)等人给出了极值收敛律的一致收敛率,谢盛荣(1996)将其推广到最大值序列关联某个确定分布的情形。许多学者对高斯序列(过程)的极值进行研究,Berman(1964) , Mittal and Ylvisaker(1975)给出了独立同分布高斯序列极值的结果,Cuzick(1981),Braeker(1993)、Piterbarg(1996)等人对非平稳高斯过程进行T研究,Hiisler and Reiss(1997)对高斯三角组列极值进行了研究。朱国庆等人(2001)总结了前人的研究成果,对极值理论的应用性作了很好的综述。
二、VaR和ES风险测度模型
从数学的观点来看,作为度量极值风险测度的VaR,仅仅是在一定持有期内组合投资损益分布的一个分位数,假设损失分布函数为F,置信水平为q,选定的范围是0.95≤q<1。
则VaR可以表示为:
当F的密度函数为连续函数时,VaR也可以表示为:
其中F\+-1表示函数F的逆函数。
定义VaRq为在q的概率水平下的风险价值,由上式可以得到VaRq的表达式:
预期不足ES和VaR通过下式联系:
上式的第二项是将VaRq当作阈值的超额分布Fv(y)的均值。我们的模型中超过阈值u的超额分布有很好的稳定性,如果我们给出更高的阈值,比如说对于时的阈值VaRq ,那么更高阈值的超额分布也是个具有相同形状参数的GPD,但是尺度参数是不同的,即
上式的优点是我们对大于VaRq,的超额损失有个简单精确的模型。通过这个模型,我们能够计算出超过VaRq的损失的许多特征。我们注意到上式中分布的均值是
同样地,当我们假定<1时,我们能够计算预期不足,我们发现,
这个比率是值得考察的,它与具有无限右端点的潜在分布有些相似。在这里,这个比率很大程度上是由因子1/(1-ξ)决定的。上式右端的第二项在概率q接近1时变得越来越小。这样渐进的现象强调形状参数在尾部估计中的重要性。它决定着在损失分布的极值领域中,这两种度量有什么不同,很容易得到预期不足的估计式,
三、极值方法在VaR度量中的应用及检验
(一)极值方法在VaR度量中的应用
极值方法是一种尾部估计的参数方法,本文以帕雷托分布(GPD)为例介绍极值方法在VaR度量中的应用。
由于VaR可以被定义为可能损失分布的第p分位数(一般选取p值等于0.05或0.01),即VaR=f\+-1(1-P)。
根据极值理论,对定义的e=x-u,即极值点超过阈值的额度,Fu(e)的渐进形式就为:
其中 。上式被称为广义帕累托分布,其密度函数
令{ei｝\+ni=1表示超过阈值点额度的样本,样本规模为n,可以通过最大化似然函数
估计θ=(ξ σ)′,旦估计出=( )′,就可以通过以下方法估计VaR(α)。
又[1-F(u+e)]=[1-F(u)][1-H(e)]
根据上式,通过令[1-F(u+α)]=α,[1-F(u)]=\S〗Nun\s,使用上面提到的分布函数H[VaR(α)],得到风险值估计式为:
其中,T是全部的样本点数,n是超过阈值的样本点数。
(二)模型的检验
通常情况下,对于参数置信区间的估计方法,在大样本的情况下我们可以从似然比率检验的思路中获得。似然比率检验用来检验两个同类模型的拟合程度的好坏。两个同类模型的似然比率符合x2分布,它的自由度等于复杂模型中新加入的参数的个数。
但是,由于超过阈值的数据不会很多,使得这一估计的渐进效果可能不好,为此,我们引入Bootstrap方法来获得置信区间的估计,既然我们得到的序列是独立同分布的,就可以每次独立地从中抽取M个数据组成新的序列,用该序列估计VaRq和ESq,重复这一操作,可以得到一系列的VaRq和ESq的估计值,求出VaRq和ESq的经验分布,然后根据经验分布得到VaRq和ESq的置信区间,并把VaRq和ESq的期望值作为VaRq和ESq的估计值,该方法在确定置信区^间的同时,也是检验模型稳定性的方法。
四、实证研究
(一)样本的选取及数据来源
本文以2004年1月2日到2007年5月29日上证指数日收盘价为例,数据均取日自然对数收益率:r=lnPt-lnPt-1(13)
然后以这些自然对数收益率为该研究的总体样本,采用超越阈值的方法进行极值样本数据的选取。数据摘自中文雅虎网站。
(二)自然对数收益率分布特征的正态性检验
Q-Q图可以表明股票指数收益是否服从正态分布,其中直线代表高斯分位数,而曲线代表上证指数收益实际分布的分位数。如果实际收益分布服从正态分布,那么实际分位数应与高斯分位数相一致,即应该近似是一条直线。从图1中可以看出实际分位数曲线与高斯分位数直线吻合得不是很好,说明实际分布偏离正态分布。图2以上证指数左尾正态分布统计检验为例进一步分析尾部厚度,数据选取上证自然对数日收益(2004年1月2日到2007年5月29日数据大小排序)中的81个极小值,占总体大样本的10%,实际上证指数左尾收益分位数曲线偏离高斯线程度很大,则说明实际左尾的尾部很厚。由图3可见,实际收益尾部分布偏离正态分布较远,说明实际分布呈现厚尾特征
图1 正态分布检验图
图2 左尾正态分布检验图
图3 偏离正态分布检验图
(三)应用极值理论计算风险价值VaR
这一部分主要介绍应用广义帕雷托分布(GPD )计算上证指数VaR的步骤以及如何计算上证指数自然对数收益分布右尾和左尾的风险价值。
图4 样本观察值帕雷托分布分位数检验图
图4是样本观察值帕雷托分布分位数检验图,我们假设阈值u=0.2,如果大于阈值u的样本分布满足帕雷托分布,则其表现是应该接近直线;相反,如果其大部分表现偏离直线比较远,则样本分布与帕雷托分布是不同的分布。从图4可以看出大于阈值u的样本大部分分布在直线附近,且表现相同的趋势,我们得出结论:这个样本分布服从帕雷托分布。
尽管应用极值理论可以解决小样本带来的样本不足的问题,但是最关键的问题是选择阈值u,极值理论告诉我们要选择一个充分大的阈值,才能满足超越阈值的分布函数近似等于帕雷托分布,即
,但是选取的阈值越大,剩下用来估计尾部分布函数的的观察值就越少,这样就会导致估计的精确性越差。这里我们引入样本超越量均值函数(mean excess function,以下简称MEF)这个分析工具来决定阈值u,样本超越量均值函数定义为:
MEF是所有大于阈值u长度量的集合除以大于阈值的数据个数,它描述的是一旦有大于阈值u的情况发生,那么我们估计大于阈值的长度量是多少。
图5是超越量均值函数图,因为在u附近样本超越量均值函数由水平状态向正的斜率变化,所以确定估计的阈值u=0.033。
图5 超越量均值函数图(右尾)
由极值理论知道大于尾部阈值的分布函数近似服从帕雷托分布,图4证明了这一点,下面我们用极大似然估计方法来估计帕雷托分布的尺度参数和形状参数:
假设大于尾部阈值u的超越量y={y1,y2,…,yn｝,极大似然函数L(ξ,σ|z)是这些n个观察值的广义帕雷托联合对数分布密度:
在阈值u = 0.033的情况下,求得极大似然函数的尺度参数σ=0.02,形状参数ξ=0.23。
对于处理极小值情况同极大值相似,我们只需把极小值前加上一个负号,这样都变成正的极值,方法同上。图6是极小值情况下的超越量均值函数图,方法同极大值一样,从图中观察得u=0.022,我们用极大似然估计方法求得尺度参数σ=0.015,形状参数ξ=0.183。
图6 超越量均值函数图(左尾)
图7 (阈值=0.033)
图8 (阈值=0.022)
图7和图8分别检验帕累托分布参数估计,从图中可以看出都较好地满足帕累托分布,而且选择较小的阈值0.036效果更好,验证了在选择充分大的阈值时超越阈值的分布更近似等于帕累托分布。
应用前文帕累托分布得出的VaR公式以及衍生的ES公式,我们在分位数α=0.05和α=0.01条件下计算VaR和ES,结果如下表所示:
表1 应用广义帕雷托分布(GPD)计算VaR与ES结果
uξσVaR(95%)VaR(99%)ES(95%)ES(99%)
极大值情形0.0330.230.020.02270.05320.03120.0611
极小值情形0.0220.1830.0150.03760.06810.04430.0736
(四)模型的测度效果评价:Back-Test检验
本文将使用2006年1月4日到2007年5月29日共323个对数收益率来检验VaR模型的预测效果。
图9是上证指数对数收益图,从图中可以看出极小值的收益波动比极大值收益波动剧烈,而且在中间时间段的波动性要比两端的波动强烈得多,还表现出一定的波动集聚性(volatility clustering)。
图9 上证指数自然对数收益分布图(2006.1.4-2007.5.29)
表2 实际损失大于VaR的次数
VaR计算方法σ广义帕累托分布历史模拟法正态分布t分布
极大值情形
0.054(0.93%)7(1.8%)5(2.2%)4(0.93%)
0.012(0.46%)4(0.93%)4(0.93%)2(0.46%)
极小值情形
0.056(0.4%)16(3.2%)6(1.5%)3(0.23%)
0.010(0)1(0.13%)2(0.46%)0(0)
表2是检验2006年1月4日到2007年5月29日实际自然对数收益大于VaR的次数统计表,括号里面的数字代表了失败率,从中可以看出历史模拟法失败率较高,应用极值理论计算的VaR失败率最低。一般来讲,由Kupiec给出的似然比检验,我们就可以得到某一模型是否有效地接受或拒绝,对于样本的数据(T=323),在99%的置信度下,预期观测到的失败个数应为N=P*T =1%*323=3,但是只要N在区间(1,8)内,则不能拒绝零假设,N>8表明模型低估了损失发生的概率;N<1表明VaR模型过于保守。
比较表2我们1发现在=0.01时的极小值情况下,失败率是零,因此认为应用极值理论计算VaR的模型是相对比较保守的模型,这与大多数理论观点相一致,而且大多数学者还认为因为金融机构使用相对保守的VaR模型会提高其资本需求,一般不会愿意使用更好的VaR模型。其实正是这一“缺点”,在实际应用中,极值方法计算的VaR对防范灾难性损失的风险具有更大的可靠性。
由上面分析知道,正态分布假设和历史模拟法在本文中严重低估了风险价值,然而用似然比检验传统风险价值的计算方法,我们却不能拒绝其零假设,这同时也说明似然比检验的片面性。
五、总结
在风险管理中, 收益分布的合理假设是正确度量风险的前提条件,可是现有的分布, 尤其是广泛应用的正态分布,都与实际金融收益分布存在着较大的差距,而基于极值理论的广义帕雷托模型仅考虑分布尾部,不是对整个分布进行建模,这就避开了分布假设难题。我们的检验结果也表明极值理论的确可以比较精确地度量VaR和ES。
最后,本文讨论了金融收益的厚尾特征对风险价值计算结果的影响,主要运用广义帕雷托分布(GPD )估计上证指数日收益率的VaR,而对于应用广义极值分布(GEV)估计VaR没有进行深入的讨论和证明。另外,只建立了静态的风险度量模型,对于动态的风险管理模型以及通过伪最大似然估计方法用GARCH模型对收益数据进行拟合没有进行深入的研究,这些都是我们今后有待改进的地方。
参考文献:
[1]邵宇.微观金融学及其数学基础.清华大学出版社.
[2]王春峰著.金融市场风险管理.天津:天津大学出版社,2001.
[3]王旭,史道济.极值统计理论在金融风险中的应用.数量经济技术经济研究,2001, (8):109-111.
[4]马玉林,陈伟忠.极值理论在VaR中的应用及对沪深股市的实证分析.金融教学与研究,2003年第6期,25-27.
[5]Bali, T. G. (2003). An extreme value approach to estimating volatility and value at risk. Journal of Business,76:83–107.
[6]Bystrom,H.(2005).Extreme value theory and extremely large electricity price changes.International Review of Economics and Finance,14:41-55.
(作者通讯地址:浙江工商大学金融学院 浙江 杭州 310018)