小波分析和应用是信号处理领域一个正在迅速发展的新兴学科，经过十多年的探索研究，重要的数学基础和理论框架已经建立。随着基本理论的日益完善、应用的广泛深入，具有良好综合性能指标的小波系统设计和“面向对象”的自适应小波方法成为当前小波研究的两个热点。作为一种重要的小波类型，内插小波已在一些领域得到了成功应用；但还有许多理论基础、应用潜能需要进一步完善和开发。本文正是在这一背景下对内插小波的推广、优化设计和自适应方法进行了深入系统的研究。 本文工作主要包括以下三个方面：1．具有紧支撑对偶的双正交内插小波---广义内插小波的构造。2．广义内插小波系统的正则度、冗余度等性能指标的优化设计。3．递归内插小波、递归内插小波包系统的构造以及自适应内插小波方法的研究。 针对已有内插小波系统的不足，第三章构造了一类新型的紧支撑内插小波---广义内插小波。与传统的内插小波系统相比，它是一种具有紧支撑对偶的双正交小波系统，由一对插值滤波器完全确定；因此，在设计上具有很大的灵活性。并对其消失矩性质（包括内插小波的消失矩以及对偶的消失矩）和分解、综合算法进行了分析和描述。 第四章研究了一般插值滤波器与局部加权最小二乘多项式拟合、Deslaurier-Dubuc插值滤波器之间的关系并给出了一般插值滤波器的参数表达式，它是本文后续各章工作的一个重要基础。最后，研究了这类小波系统边界滤波器的选择准则并给出了三种典型的边界处理模式。 正则度和冗余度是小波系统的两个重要性能指标，是影响系统去噪、压缩性能的重要因素。把优化方法与广义内插小波的参数化相接合，第五、六章分别研究了正则度、冗余度的优化设计。内插尺度函数正则度的增加有效提高了系统的逼近能力，对偶正则度的提高显著增加了对偶尺度函数、对偶小波的光滑性，改善了分析滤波器组的通带、阻带特性。冗余度在一定意义下制约了小波系统的压缩性能。内插小波是否能够成功应用于数据压缩、图象压缩领域，很大程度上取决于能否设计小冗余度的内插小波系统。以广义内插小波设计上的灵活性为基础，我们首先设计了一种层间具有很小冗余的几乎半正交内插小波；然后通过局部正交化方法得到了一类几乎正交的内插小波系统。实验结果表明：优化设计后的系统在去噪、压缩性能上有明显的改善，并优于具有相同消失矩的正交小波。这归因于优化内插小波系统冗余二度、正则度等综合指标的提高。这可能是小波发展的一种趋势，即随着应用的深入，小波系统综合性能指标比某一方面数学上的完美性更为重要。 第七、八两章研究了自适应内插小波、小波包理论。首先，构造了具有结构参数向量的递归双正交内插小波系统。这样的小波系统可以逐层自适应的选择内插滤波器对，能够很好的适合于多尺度信号的分析。更重要的是：不同于传统的自适应小波方法，简单的参数结构导致了快速、有效的自适应算法。在递归双正交内插小波的基础上，构造了递归双正交内插小波包系统。并且，把分解的逐层参数自适应与信号频带自适应分割相结合，提出了一种新型的自适应小波包分解算法一参数、结构自适应小波包分解。这样，可以获得更为紧凑的信号表示，系统的压缩性能得到了明显的提高。