非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支,它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景,建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法,因其能很好的解释自然界中各种各样的自然现象,近年来受到了国内外数学及自然科学界的高度重视,逐渐形成了一门重要的学科.非线性微分方程边值问题源于应用数学,物理学,控制论等各种应用学科中,是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一.其中的奇异泛函微分方程问题越来越受到人们的关注,而同胚同态问题则是近年来讨论的热点.本文利用锥理论、不动点理论、拓扑度理论及不动点指数理论,研究了几类非线性微分方程边值问题的正解.本文共分为三章.在第一章中,我们研究了二阶奇异泛函微分方程边值问题这里κ：（0,1）→[0,+∞)连续,κ（t）≠0并且κ（t）在t=0及t=1处奇异.h:[0,1]→[0,1]连续且h（0）=0,h（1）:1；当t∈（0,1）时0<h（t）<1.f：（0,+∞）→[0,+∞))连续并且f（s）在s=0处奇异,这里的奇性包括不存在两种情况.在关于边值问题相应线性算子第一特征值的条件下,得到了该边值问题至少存在两个正解的结论.本章改进和推广了文[20,39]中的主要结果（与文[39]相比,本章中f（s）有奇性；与文[20]相比,本章中f（8）的奇性更强些,且使用的条件和方法不同,详见第9页注1.3.1）,并把得到的主要结果应用到二阶泛函微分方程边值问题上（第7页定理1.3.1）.在第二章中,我们讨论了以下非线性三阶m点微分方程边值问题正解的存在性.这里0<ξ1<…<ξm-2<1,ai,玩∈[0,+∞)满足为增的同胚和同态并且φ（0）=0.本章没有使用常见的Leggett-Williams不动点定理,而是通过利用Avery-Henderson不动点定理,得到了所研究的边值问题至少存在两个或三个正解的结论,将二阶微分方程边值问题中的结果推广到三阶问题中（见第22页注2.3.1）.在第三章中,我们考虑三阶三点奇异泛函微分方程边值问题这里α（t）在t=0及t=1处奇异,η∈[（?）,1)是一个常数.在F分别为超线性和次线性的条件下,我们得到上述问题解的存在性结论.本章讨论该泛函微分方程边值问题正解的存在性,较文[11,15,28]中的问题更具一般性（见第31页注3.3.1）.