函数的自复合被称为迭代,它是泛函方程中的核心运算之一,也是动力系统理论中的基本概念.本文将关注迭代泛函方程中的两类重要问题,即迭代根的存在性问题和迭代泛函微分方程的周期解问题.迭代根可以被看作是一种特殊的迭代,即分数次迭代.由于其涉及到嵌入流和插值计算等问题,函数的迭代根吸引了众多学者的注意.他们针对不同类型映射的迭代根给出了丰富的结果,特别是对所有单调函数利用逐段定义法证明了其迭代根的存在性.然而,集值函数迭代根的存在性问题更加复杂,有迭代根不存在的可能,这是一个十分有意思的情形,也将是本文的重点研究内容之一.另一方面,在迭代泛函方程中加入微分就得到了迭代泛函微分方程.这类方程在控制论与生物数学等理论中有重要地位,其周期解往往意味着系统的周期振荡规律与种群数量的周期变化规律.因此,关于迭代泛函微分方程周期解的研究得到了越来越多人的关注.本文将研究一类迭代泛函微分方程周期解的存在唯一性与稳定性.具体内容如下:第一部分,我们关注集值函数迭代根的不存在性.集值函数是允许一对多的函数,其函数值可以是一个集合.经典结果表明,与通常的函数不同,即使在单调情形下集值函数的迭代根也可能不存在.这是一个十分有意思的现象,促使我们寻找更多不存在迭代根的集值函数.因此,在前人讨论一个集值点情形的基础上,我们将在本章中研究具有两个集值点函数的迭代根.与前人的工作相比,两个集值点会带来本质性的困难,因为单个集值点处函数值的势≤1在两个集值点情形下不能导出矛盾.这就要求我们寻找更多的条件导出新的矛盾,进而证明带有两个集值点函数迭代根的不存在性.第二部分,我们关注一类非线性迭代泛函微分方程周期解的存在唯一性与稳定性.2006年,Burton提出利用Krasnoselskii不动点定理研究迭代泛函微分方程周期解的思路.随后,Zhao利用该思路解决了变系数非齐次迭代泛函微分方程x’（t）=c1（t）x（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t）+F（t）周期解的存在唯一性问题.在本章中,基于Zhao的结果,我们利用Krasnoselskii不动点定理来进一步解决方程x’（t）c1（t）x（t）+c2（t）f（x2（t））+F（t）周期解的存在唯一性与稳定性问题.注意到当未知函数x（t）的二次迭代隐含于函数f中时,该方程称为一个非线性方程.在其证明过程中对积分的估计会更加困难,这迫使我们寻找新的条件以保证对积分的有效估计.