本文主要研究时滞系统的模型降阶和时滞特征值问题.时滞系统是目前一个得到广泛关注的研究热点，在电动力学、人口学以及电路设计分析等学科中有着广泛而重要的应用.　　论文的第二章，我们讨论了时滞系统的模型降阶问题.首先我们回顾了Michiels et al.提出的Krylov-Padé模型降阶方法[60]，即通过谱离散构造一个逼近原时滞系统的大规模线性动力系统并利用Krylov子空间方法对其进行模型降阶，从而得到原时滞系统的一个降阶系统，且此降阶系统的传递函数是原时滞系统的传递函数的一个Padé逼近.我们通过分析大规模线性动力系统的系统矩阵的特殊结构和Krylov子空间正交基的计算过程，发现如果在用Arnoldi过程计算Krylov子空间正交基过程中选取特殊的初始向量，那么正交基的基矩阵将会具有特殊的分块上三角形式.基于这一特殊形式，我们给出了Krylov子空间正交基的紧形式，进而提出了计算这一紧形式的时滞两层正交Arnoldi过程（时滞TOAR过程）.进一步地，说明时滞TOAR过程具有数值稳定性.同时，我们分析了时滞TOAR过程在储存需求方面的优势，即在先前的文献中，利用Arnoldi过程计算Krylov子空间的正交基时，需要1/2（k2+k）的存储量，然而我们这里提出的时滞TOAR过程只需要存储nk+1/2k3+O（k2）个浮点数，其中n是原时滞系统的维数，k是降阶系统的维数.之后，基于Michiels et al.提出的Arnoldi过程和我们提出的时滞TOAR过程所计算的投影子空间正交基的两种表示形式，我们给出了三个对时滞系统的模型降阶方法，即利用Krylov子空间正交基的普通形式对线性动力系统进行模型降阶(Michiels et al.，[60]);利用Krylov子空间正交基的紧形式对线性动力系统进行模型降阶;以及利用Krylov子空间正交基的紧形式对时滞系统直接进行降阶，保持时滞系统的形式.此外我们还证明了相应的矩匹配理论，保证了降阶的精度.数值例子也证明了这三种降阶方法均是有效的，验证了我们的理论结果.　　在文章的后半部分，我们推广上面提出的时滞系统的模型降阶方法，用以求解时滞特征值问题.在用一个大规模的线性特征值问题逼近时滞特征值问题之后，我们就可以利用Arnoldi方法求解时滞特征值问题的近似特征值(Jarlebring et al.,[44]).而在用Arnoldi方法求解近似特征值的过程中，我们可以用时滞TOAR过程计算逼近子空间的正交基，这是因为逼近时滞特征值问题的线性特征值问题和逼近时滞系统的大规模线性动力系统的系统矩阵具有相似的结构.进而我们求解时滞特征值问题的近似特征值，我们称这个方法为TOAR方法.数值例子说明，这一方法不仅对求解时滞特征值问题是有效的，而且与传统的Arnoldi方法相比，对储存量的需求更少，从而使得我们可以计算更多的近似特征值，同时精度也更高.最后我们把求解时滞特征值问题的TOAR方法推广到了求解一般的非线性特征值问题.