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【摘 要】深刻理解数学开放题的本质，领会开放性数学教学的理念和方法，用开放的思想分析教材、设计教法，驾驭课堂，以数学开放题为载体真正有效地开展开放性数学教学。以生为本，充分体现学生在数学习题教学中的主体地位，从而培养其数学思维水平，提高其数学创新能力，真正体现数学习题教学的意义所在。
【关键词】高中数学;开放题;开放性教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）22-0040-03
【作者简介】毛庆华，江苏省江阴高级中学（江苏江阴，214443）教师。
在我国的基础教育中，数学是一门非常重要的科目，对学生素质发展乃至整个社会发展意义重大。其中数学习题教学对学生的抽象思维能力与逻辑推理能力等方面的训练和培养起到非常重要的作用。然而，当前我国的数学习题教学现状却令人担忧：教学样式往往过于统一，基本上是学生先看例题，期待其在原有知识储备的基础上找出解决办法，然后教师示范，得出结论，进而由教师精选练习让学生“实战演练”乃至多遍巩固。应该说，这种传统的习题教学理念，即“记公式定理、套题型解法”，有一定的可取之处，因为常规练习可以加强学生 “双基”能力的提升，然而一旦遇到那种非常规的求异思维问题时，学生往往会一筹莫展。特别是面对对未知领域的较深刻程度的探索问题时，学生更是无从下手。长此以往，学生的思维发展必然严重受滞，创造性活动更无从谈起。
例如，笔者曾经让学生解决这样一道题目：
已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，则下列四个论断：①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三个论断作为条件、余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
从实际情况来看，学生还是能解决这个问题的，但大部分人在解题时容易“避难就易”，深入思考的偏少，还有的学生对解题方向的把握和调节水平较低，以致最终呈现出来的可引起深层次研究的答案凤毛麟角，令人遗憾。
由此可见，突破常规的，能够培养学生发散性思维和创造性思维能力的数学解题教学在教学过程中必须加强，对教师的教学方式和学生的学习方式的改革已经势在必行。基于此，作为近些年日渐热起来的数学开放题经常被搬进课堂，以数学开放题为载体的数学开放性教学也风生水起，方兴未艾。
一、了解数学开放题，准确理解并把握开放性教学本质
所谓数学开放题教学，是指以一个开放性的数学问题作为教学内容载体和背景，它可以是条件开放、策略开放或者结论开放，也可以是综合开放。开放题所给条件和得出的结论之间并不存在固有的充分必要的联系，答案也可能具有丰富性多样性，提问方式的设置上也更多地考虑让学生进行角度不同、层次各异的探索。
开放性的教学无疑会极大提升学生的发散思维。然而，在实际教学过程中，数学开放题以什么形式开展和呈现，如何收放自如，如何让学生学习效果和能力提升达到最大化，这是摆在广大教师面前的一个课题。
当然说到数学开放题教学，很多人会与当下流行的开放性教学联系起来，那么二者到底有何联系？在实际教学过程中能否将其有机结合起来进行教学呢？
实际上我们认为，起码要具备以下几个条件才能开展数学开放题的课堂教学。首先要有适合的、确切的数学开放题。其次，教学过程中，学生充当数学活动的主体这一点是根本前提。学生自主探究能力的培养是开展开放题教学的最终归宿，教师在教学活动中特别要注重问题的提出和解决方式，循序渐进同时又要根据学生不同的层次而设置有区别的教学。更合适的情况是，教师是引导课堂师生有效互动以及资源和过程生成的有力促进者。
开放性的数学教学则强调的是学生参与教学活动、学习过程、学习评价和学习反馈等方面的开放性。教师灵活运用多样的教学方式来引导学生积极思考，主动参与到数学活动中，让学生用自己的学习方式去获得数学概念、法则，了解定理，乃至最终实现再创造。日本学者桥本吉彦曾定义：所谓的开放性的数学教学，就是在学生和数学的互动活动中，促进多种问题解决方式的生成，就是让学生能用他们很有信心的一种方式去深入观察并细致解决数学问题，同时在问题解决的过程中，学生的数学思维也得到相应的促进，乃至最终还有创造性的发现和认识。
由此，我们可以看到，数学开放题的教学和开放性的数学教学在很多地方都大同小异，比如，开放都是主旋律，教学过程中都特别重视以学生为主体，让学生在自由和谐的学习氛围中，共同探索，相互合作，从而不断丰富数学思维方式，不断提高问题解决的能力。但是我们也要清楚地看到，前者更多的是强调以数学开放题作为载体来丰富教学活动，后者更注重教学理念和教学方式。只有题目，而未赋之于开放性的教学理念，就不可能真正成就有效的数学开放题教学，数学开放题教学所能体现的教育价值和效果也就成了一句空谈。反之，只有形式，缺乏教学内质，特别是没有适切的数学开放题，教学目标和教学要求也会成为镜花水月、空中楼阁。因此，深刻理解数学开放题的本质，领会开放性数学教学的理念，并在课堂教学中将二者有机结合，才能真正有效地开展开放性数学教学。
二、立足数学开放题，真实有效地开展数学开放性教学
开放性数学教学对培养学生的创新精神和实践能力有卓有成效的作用，同时还能有效地转变学生的学习方式，那么教师如何在实际教学中开展与开放题有关的教学呢？
1.正视学生差异、注重因材施教。
因实际情况所限，现行教学基本以大班课堂为主，学生之间一般也有较大的差异，教师必须正视学生差异，注重因材施教。开放题教学初始阶段，一般以简单的封闭的问题呈现在学生面前为宜，以便基础稍差的学生也能积极参与其中，理解和接受。当封闭问题得到有效解决之后，教师可以将封闭问题改编成开放问题，引导学生将问题展开，逐步深入研究。这种策略下，既有中下层学生以愉快的心态参与学习，而数学能力较强的学生也会对此饶有兴趣从而使不同层次的学生都能学有所获。 2.凸显教学主线，明晰探究主题。
开放题的教学过程中，问题的呈现要脉络清晰，探究的主题要明确简练，每一节课尽量只解决一个或两个中心问题，切忌铺陈太大，过于杂乱，教师兴趣所指，容易造成学生知识结构杂乱、含混，也容易导致学生精神不济，注意力分散。
3.切忌买椟还珠，注重按名责实。
开放题教学中常常发现，由于教师容易受自身传统教学的惯性影响，对开放题也用注入、灌输的方式来教学，以至于最终其实是上成了一节封闭课。基于此，以数学开放题为载体的开放性教学势在必行。这种开放性教学不是对学生单一解题模式的训练，而是最终培养学生分析问题、解决问题的能力并增进其创新意识和创新能力。事实上，模式训练仅仅促使个体被动接受。而能力的培养则是促进个体以主动的态度进行同化、顺应、顿悟，从而让促进学生的终身发展名副其实。
4.创设良好氛围，促成自主学习。
在开放题的教学过程中，特别是对问题的分析思考、求解论证的进程中，学生应始终处于积极、主动的状态;教师是问题解决的指导者，教师的作用应该主要体现在提示、引导、评价和激励上。
（1）首先数学课堂环境应该轻松愉快。教师可以尝试多种呈现题目的方式，如实物演示、动画展示，或直接让学生通过操作图形计算器、几何画板等数学软件去探究问题。
（2）根据学生已有的知识储备，提出问题，激发其探究问题的欲望，真正使学生的主动参与行之有效。
（3）课堂教学中教师要善于“留白”，拿出相对充裕的时间给学生，让学生通过自由发言、讨论，凸显学生学习的主体地位。这种做法可以改变教师习惯性的根据预设来控制课堂进程的格局，更多地是根据学生课堂的即时反应来调控教学过程。
（4）注重小组合作学习，教师可以尝试让大班教学与小组合作、个别指导相结合。通过合理分组，让每个小组成员都能主动参与，并因人而异，让不同学习水平的学生，解决不同水平的问题。
5.正确定位角色，教师重在指导。
在开放题教学中，教师要善于吸收各种信息，并进行有效整合和重组，时刻关注不同层次学生的反应，教师还要经常去收集学生的反应，如现场采访、问卷调查等等，主要是了解学生对这种教学模式的反馈意见，从而有效调整实际的教学。
笔者就前面提出的问题在探索课堂上开展开放性数学教学作出一些尝试。
附：基于数学开放题的数学开放性教学案例：
一、教学目标
1.通过引入高考试题，加强探究，激发学生研究数学开放题的兴趣和欲望。
2.在问题解决、改进拓展的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、设计意图
本题作为高考题，同时也是一道数学开放题，但开放度比较低，探究的层次和深度远远不够，教学中尝试将此开放题作一定的拓展处理，变更题目的部分或全部条件，然后去探究组成新命题的真伪，从而激发学生的探究欲望和兴趣，进而提升学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学过程
1.问题引入：题目呈现见前文内容。
2.问题解决。
（1）分析：本题从形式上来看，条件和结论都是开放的，但它们却是相关的，只要条件（或结论）确定了，结论（或条件）也会随之而确定，从而组成一个命题，所以，从这个角度来看，这个问题的开放度不是很大。
学生在独立思考、组内交流之后，一般都能得到组成命题的四种情形：①若m⊥n，a⊥β，n⊥β，则m⊥a;②若m⊥n，a⊥β，m⊥a，则n⊥β;③若m⊥n，m⊥a，n⊥β，则a⊥β;④若n⊥β，a⊥β，m⊥a，则m⊥n。
（2）将学生得到的四个命题呈现在黑板上，组织学生分小组进行讨论，辨析命题的真伪，不难得到①②两个命题是假命题，③④是真命题。
3.拓展延伸。
（1）如果把上述问题中的垂直都改成平行的话，那么，同样以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，能得到什么正确的命题？
学生继续探究和解决，充分体会到数学开放题的特性和魅力，通过类比的思想方法可以得到①②两个命题是真命题，而③④是假命题。
（2）如果把上述问题中的“部分垂直”改成“平行”，那么结果又会如何呢？
（3）如果任选其中的三个论断作为条件，还能得到与题中相异的另外一个论断，使之成为真命题吗？
可以让学生自己修改命题，并进行小组交流和讨论，如果时间不够，可以放在课后继续探究。
根据高中学生的年龄特点，遵循学生的认知规律，笔者认为基于开放题的高中数学开放性教学是有规律可循的，“创设情境—导学探究—合作交流—总结推广”的基本流程，充分体现了学生“提出问题—解决问题—迁移延伸”的认识过程，也完全符合“定向—内化—发展”的心理活动规律。
其实，不仅是开放性数学教学，创新教育、发散思维的培养、探究教学等，都可以以开放题作为载体，来进行更为深入的研究。
【参考文献】
[1]戴再平.开放题——数学教学的新模式[M].上海：上海教育出版社，2002.
[2][日]桥本吉彦，等.数学教学中的开放性教学——创造一种课堂数学文化[J].数学教育学报，2002（01）.
[3]陈晶.新课标下中学数学开放性教学模式初探[J].南昌教育学院学报，2008（04）.
[4]韩春见.新课程下初中数学课题学习的实践与研究[J].中国数学教育：初中版，2008（12）.
[5]王凝，蔡金法.中小学数学的开放性教学法评介[J].课程·教材·教法，1988（02）.
[6]戴再平.研究数学开放题[M].南宁：广西教育出版社，2012.
【关键词】高中数学;开放题;开放性教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）22-0040-03
【作者简介】毛庆华，江苏省江阴高级中学（江苏江阴，214443）教师。
在我国的基础教育中，数学是一门非常重要的科目，对学生素质发展乃至整个社会发展意义重大。其中数学习题教学对学生的抽象思维能力与逻辑推理能力等方面的训练和培养起到非常重要的作用。然而，当前我国的数学习题教学现状却令人担忧：教学样式往往过于统一，基本上是学生先看例题，期待其在原有知识储备的基础上找出解决办法，然后教师示范，得出结论，进而由教师精选练习让学生“实战演练”乃至多遍巩固。应该说，这种传统的习题教学理念，即“记公式定理、套题型解法”，有一定的可取之处，因为常规练习可以加强学生 “双基”能力的提升，然而一旦遇到那种非常规的求异思维问题时，学生往往会一筹莫展。特别是面对对未知领域的较深刻程度的探索问题时，学生更是无从下手。长此以往，学生的思维发展必然严重受滞，创造性活动更无从谈起。
例如，笔者曾经让学生解决这样一道题目：
已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，则下列四个论断：①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三个论断作为条件、余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
从实际情况来看，学生还是能解决这个问题的，但大部分人在解题时容易“避难就易”，深入思考的偏少，还有的学生对解题方向的把握和调节水平较低，以致最终呈现出来的可引起深层次研究的答案凤毛麟角，令人遗憾。
由此可见，突破常规的，能够培养学生发散性思维和创造性思维能力的数学解题教学在教学过程中必须加强，对教师的教学方式和学生的学习方式的改革已经势在必行。基于此，作为近些年日渐热起来的数学开放题经常被搬进课堂，以数学开放题为载体的数学开放性教学也风生水起，方兴未艾。
一、了解数学开放题，准确理解并把握开放性教学本质
所谓数学开放题教学，是指以一个开放性的数学问题作为教学内容载体和背景，它可以是条件开放、策略开放或者结论开放，也可以是综合开放。开放题所给条件和得出的结论之间并不存在固有的充分必要的联系，答案也可能具有丰富性多样性，提问方式的设置上也更多地考虑让学生进行角度不同、层次各异的探索。
开放性的教学无疑会极大提升学生的发散思维。然而，在实际教学过程中，数学开放题以什么形式开展和呈现，如何收放自如，如何让学生学习效果和能力提升达到最大化，这是摆在广大教师面前的一个课题。
当然说到数学开放题教学，很多人会与当下流行的开放性教学联系起来，那么二者到底有何联系？在实际教学过程中能否将其有机结合起来进行教学呢？
实际上我们认为，起码要具备以下几个条件才能开展数学开放题的课堂教学。首先要有适合的、确切的数学开放题。其次，教学过程中，学生充当数学活动的主体这一点是根本前提。学生自主探究能力的培养是开展开放题教学的最终归宿，教师在教学活动中特别要注重问题的提出和解决方式，循序渐进同时又要根据学生不同的层次而设置有区别的教学。更合适的情况是，教师是引导课堂师生有效互动以及资源和过程生成的有力促进者。
开放性的数学教学则强调的是学生参与教学活动、学习过程、学习评价和学习反馈等方面的开放性。教师灵活运用多样的教学方式来引导学生积极思考，主动参与到数学活动中，让学生用自己的学习方式去获得数学概念、法则，了解定理，乃至最终实现再创造。日本学者桥本吉彦曾定义：所谓的开放性的数学教学，就是在学生和数学的互动活动中，促进多种问题解决方式的生成，就是让学生能用他们很有信心的一种方式去深入观察并细致解决数学问题，同时在问题解决的过程中，学生的数学思维也得到相应的促进，乃至最终还有创造性的发现和认识。
由此，我们可以看到，数学开放题的教学和开放性的数学教学在很多地方都大同小异，比如，开放都是主旋律，教学过程中都特别重视以学生为主体，让学生在自由和谐的学习氛围中，共同探索，相互合作，从而不断丰富数学思维方式，不断提高问题解决的能力。但是我们也要清楚地看到，前者更多的是强调以数学开放题作为载体来丰富教学活动，后者更注重教学理念和教学方式。只有题目，而未赋之于开放性的教学理念，就不可能真正成就有效的数学开放题教学，数学开放题教学所能体现的教育价值和效果也就成了一句空谈。反之，只有形式，缺乏教学内质，特别是没有适切的数学开放题，教学目标和教学要求也会成为镜花水月、空中楼阁。因此，深刻理解数学开放题的本质，领会开放性数学教学的理念，并在课堂教学中将二者有机结合，才能真正有效地开展开放性数学教学。
二、立足数学开放题，真实有效地开展数学开放性教学
开放性数学教学对培养学生的创新精神和实践能力有卓有成效的作用，同时还能有效地转变学生的学习方式，那么教师如何在实际教学中开展与开放题有关的教学呢？
1.正视学生差异、注重因材施教。
因实际情况所限，现行教学基本以大班课堂为主，学生之间一般也有较大的差异，教师必须正视学生差异，注重因材施教。开放题教学初始阶段，一般以简单的封闭的问题呈现在学生面前为宜，以便基础稍差的学生也能积极参与其中，理解和接受。当封闭问题得到有效解决之后，教师可以将封闭问题改编成开放问题，引导学生将问题展开，逐步深入研究。这种策略下，既有中下层学生以愉快的心态参与学习，而数学能力较强的学生也会对此饶有兴趣从而使不同层次的学生都能学有所获。 2.凸显教学主线，明晰探究主题。
开放题的教学过程中，问题的呈现要脉络清晰，探究的主题要明确简练，每一节课尽量只解决一个或两个中心问题，切忌铺陈太大，过于杂乱，教师兴趣所指，容易造成学生知识结构杂乱、含混，也容易导致学生精神不济，注意力分散。
3.切忌买椟还珠，注重按名责实。
开放题教学中常常发现，由于教师容易受自身传统教学的惯性影响，对开放题也用注入、灌输的方式来教学，以至于最终其实是上成了一节封闭课。基于此，以数学开放题为载体的开放性教学势在必行。这种开放性教学不是对学生单一解题模式的训练，而是最终培养学生分析问题、解决问题的能力并增进其创新意识和创新能力。事实上，模式训练仅仅促使个体被动接受。而能力的培养则是促进个体以主动的态度进行同化、顺应、顿悟，从而让促进学生的终身发展名副其实。
4.创设良好氛围，促成自主学习。
在开放题的教学过程中，特别是对问题的分析思考、求解论证的进程中，学生应始终处于积极、主动的状态;教师是问题解决的指导者，教师的作用应该主要体现在提示、引导、评价和激励上。
（1）首先数学课堂环境应该轻松愉快。教师可以尝试多种呈现题目的方式，如实物演示、动画展示，或直接让学生通过操作图形计算器、几何画板等数学软件去探究问题。
（2）根据学生已有的知识储备，提出问题，激发其探究问题的欲望，真正使学生的主动参与行之有效。
（3）课堂教学中教师要善于“留白”，拿出相对充裕的时间给学生，让学生通过自由发言、讨论，凸显学生学习的主体地位。这种做法可以改变教师习惯性的根据预设来控制课堂进程的格局，更多地是根据学生课堂的即时反应来调控教学过程。
（4）注重小组合作学习，教师可以尝试让大班教学与小组合作、个别指导相结合。通过合理分组，让每个小组成员都能主动参与，并因人而异，让不同学习水平的学生，解决不同水平的问题。
5.正确定位角色，教师重在指导。
在开放题教学中，教师要善于吸收各种信息，并进行有效整合和重组，时刻关注不同层次学生的反应，教师还要经常去收集学生的反应，如现场采访、问卷调查等等，主要是了解学生对这种教学模式的反馈意见，从而有效调整实际的教学。
笔者就前面提出的问题在探索课堂上开展开放性数学教学作出一些尝试。
附：基于数学开放题的数学开放性教学案例：
一、教学目标
1.通过引入高考试题，加强探究，激发学生研究数学开放题的兴趣和欲望。
2.在问题解决、改进拓展的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、设计意图
本题作为高考题，同时也是一道数学开放题，但开放度比较低，探究的层次和深度远远不够，教学中尝试将此开放题作一定的拓展处理，变更题目的部分或全部条件，然后去探究组成新命题的真伪，从而激发学生的探究欲望和兴趣，进而提升学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学过程
1.问题引入：题目呈现见前文内容。
2.问题解决。
（1）分析：本题从形式上来看，条件和结论都是开放的，但它们却是相关的，只要条件（或结论）确定了，结论（或条件）也会随之而确定，从而组成一个命题，所以，从这个角度来看，这个问题的开放度不是很大。
学生在独立思考、组内交流之后，一般都能得到组成命题的四种情形：①若m⊥n，a⊥β，n⊥β，则m⊥a;②若m⊥n，a⊥β，m⊥a，则n⊥β;③若m⊥n，m⊥a，n⊥β，则a⊥β;④若n⊥β，a⊥β，m⊥a，则m⊥n。
（2）将学生得到的四个命题呈现在黑板上，组织学生分小组进行讨论，辨析命题的真伪，不难得到①②两个命题是假命题，③④是真命题。
3.拓展延伸。
（1）如果把上述问题中的垂直都改成平行的话，那么，同样以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，能得到什么正确的命题？
学生继续探究和解决，充分体会到数学开放题的特性和魅力，通过类比的思想方法可以得到①②两个命题是真命题，而③④是假命题。
（2）如果把上述问题中的“部分垂直”改成“平行”，那么结果又会如何呢？
（3）如果任选其中的三个论断作为条件，还能得到与题中相异的另外一个论断，使之成为真命题吗？
可以让学生自己修改命题，并进行小组交流和讨论，如果时间不够，可以放在课后继续探究。
根据高中学生的年龄特点，遵循学生的认知规律，笔者认为基于开放题的高中数学开放性教学是有规律可循的，“创设情境—导学探究—合作交流—总结推广”的基本流程，充分体现了学生“提出问题—解决问题—迁移延伸”的认识过程，也完全符合“定向—内化—发展”的心理活动规律。
其实，不仅是开放性数学教学，创新教育、发散思维的培养、探究教学等，都可以以开放题作为载体，来进行更为深入的研究。
【参考文献】
[1]戴再平.开放题——数学教学的新模式[M].上海：上海教育出版社，2002.
[2][日]桥本吉彦，等.数学教学中的开放性教学——创造一种课堂数学文化[J].数学教育学报，2002（01）.
[3]陈晶.新课标下中学数学开放性教学模式初探[J].南昌教育学院学报，2008（04）.
[4]韩春见.新课程下初中数学课题学习的实践与研究[J].中国数学教育：初中版，2008（12）.
[5]王凝，蔡金法.中小学数学的开放性教学法评介[J].课程·教材·教法，1988（02）.
[6]戴再平.研究数学开放题[M].南宁：广西教育出版社，2012.