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课外练习作为课堂教学的延伸，是数学教学的重要环节，结合教学内容精心设计习题，实施适度的、科学的、有效的训练，使学生从一个新的角度和高度去审视和思考学过的内容，从而达到优化知识结构、培养学生良好的数学思维品质和数学思维能力的目的，这无疑是至关重要的。
一、进行区别性练习，培养学生思维的敏捷性
数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。这种练习就是把相似或容易混淆的知识放在一起，加以对比分析。这些概念和解题方法虽有相似之处，但不完全相同。它们既有联系，又有区别。不通过对比分析，就不能很好的掌握，这就要求学生在比较中准确而迅速地作出解答，从而加深对知识的理解和掌握。
例如：（1）已知函数y=（m+1）xm2-5是反比例函数，则m的值是___________。
（2）已知函数y=（m+1）xm2-5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是________。
上面两题形式看起来基本类似，但（1）有两解，而（2）有一解。
二、进行归类性练习，培养学生思维的灵活性
为了培养学生思维的灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反
三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。归类性练习的题目是一类问题的典型代表，解剖它即解剖了一类题，掌握它即掌握了解一类题的钥匙。
例如：在学习测量物体的高度时，我讲了两种测量物体高度的方法：第一种是底部可以到达的物体的高度的求法,运用三角函数就可解答,比较简单；第二种是测量底部不能到达的物体的高度,如求塔高、雕塑的高等。第二种方法在现实生活中应用十分广泛,在近年来的中考题三角函数应用中经常出现。通过对课程的学习,可以总结出这类问题的一般公式。它具有普遍适用性,可以在求如楼梯加长问题，航海途中是否会触暗礁问题,求建筑物的高度问题以及求一般的两地间的距离等问题中,加以应用。典型的例题分析，可加强对这一“求高公式”的深层次理解,可选用下面题目：
如下图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为10 m的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量得AF长为1.5 m，F点离地面的距离为0.9 m，又量出石堡坎顶部B到底部D的距离为2.7 m，这样能计算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若不能，请说明理由。
这样的练习，使学生通过认真观察、比较、分析，对概念的理解掌握更加深刻、准确，运用更加灵活，起到了“以少胜多”“事半功倍”的作用。
三、进行判断性练习，培养学生思维的准确性
思维的准确性是数学的性质，决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的准确性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。有些数学概念掌握起来比较困难，判断性练习就是针对易于出错的概念，把错的形式、不完全的形式与正确的形式放在一起，让学生判断正误。这种练习的方法是训练学生思维准确性的一种很好的方法。
例如:在学习初中数学第十九章《平行四边形》的“正方形”这一小节内容时可选用下列习题：
1.四边相等的四边形是正方形。
2.四角相等的四边形是正方形。
3.对角线垂直的平行四边形是正方形。
4.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
5.对角线垂直的矩形是正方形。
6.对角线相等的菱形是正方形。
7.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
8.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形。
上面题目基本上概括了四边形这一章节中易于混淆的概念。让学生在比较中，引起激烈的讨论，不仅增强了学生学习几何的浓厚兴趣，也准确掌握了这些知识要点。
四、进行互逆性练习，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方面去思考问题，寻求答案的思维品质，其反面是思维的狭隘性，表现为思维的封闭状态。中学数学中的互逆关系是大量存在的，教学时，要求学生不仅能运用知识进行正向思维解决问题，而且还能灵活运用知识进行逆向思维解决相应的问题，使学生形成双向联系，从而培养学生解题能力的灵活性。
例如:某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得决出胜负，请问：共需要进行多少场比赛，才能选出冠军？
简析：本题从目标正面直接求解，计算繁难，容易出错，但如果改从目标反面入手，就是去计算产生99名被淘汰者的比赛场数，按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者，所以共需要比赛
99场。
五、进行动变式训练，培养学生思维的跨越性
思维的跨越性就是思维不按“概念—判断—推理—结论”的顺序进行，省略某些步骤，加大思维的前进跨度；或者跨越思维对象的“相关度”的差距，加大思维的“联想跨度”；或者是跨越条件“可观度”的限制，迅速完成“已知”与“未知”之间的转化，加大思维的“轮换跨度”。概括地说，就是在思维过程中迅速摒弃那些非本质的、次要的东西，而直接抓住问题的本质，向思维的目标大跨度迈进，它是直觉灵感思维的重要成分。变式练习就是变换题目条件的叙述形式、方向和位置，使学生在千变万化中抓住本质属性。
例如：（1）圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=
10 cm，则两弦AB、CD的距离是多少？
（2）一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角的度数是多少？
像这样的变形，把一道题演变为一类题，它们的解法彼此相似，这样的练习会提高学生触类旁通解决一类问题的能力。
六、一题多解，拓宽视野，培养学生思维的多向性
思维多向性就是指思维的发散性和思维的求异性，即善于从
不同的方位、不同的角度和不同的层次去思考问题，或从同一条件得出多种不同的结论。创造性思维形成于发散思维之后的收敛思维之中，可见发散性思维是创造性思维的核心，数学需要逻辑、判断、推理等收敛思维，同时需要多发变式、流畅变通、想象丰富等发散思维。多解性练习就是对一个问题要求学生从事物的不同方向和不同联系上去考虑、联想，从而训练学生思维的灵活性、广阔性和独创性。
例如：已知如图1，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P与∠A的数量关系。
本道题目的三种不同解法如图所示。启发学生一题多解，能使学生视野开阔，反应灵敏，从而培养思维的发散性。一道习题发掘了多种解法，对学生的思维品质有很大的启迪和开发作用。
七、进行扩展题练习，提高学生思维的创造性
思维的创造性是指完成思维活动的内容、途径和方法的自主
程度，并通过独立的思考创造出有一定新颖成分的内容。表现为思维不寻常规、寻求变异和勇于创新；实质上它是各种思维优化组合的高效思维，产生于多因素、多变量、多层次思维的交互作用；创造性思维的根本特征是：流畅性、变通性和独特性。扩题练习是在基本题的基础上，逐步增加和变换条件与问题，加大题目难度，要求学生一一解答。这种练习不仅使学生清楚地看出数学题变化的来龙去脉，弄清解题思路的脉络。同时，对发展学生的推理能力，训练解题思维的深刻性和灵活性都是很好的一种练习方法。
例如：（2008山东青岛）如下图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10 cm，母线OE（OF）长为10 cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2 cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm。
这就是将典型例题变换，拓展和延伸成其他形式，既能使学生重视基本题的练习，又能激发学生的学习兴趣。
总之，习题设计这个环节，不仅是巩固知识的过程，有些练习也是获得新知识的过程。在这个过程中，由教师指导，让学生通过练习实践，按照一定的逻辑规律来思考问题，发现新规律，激发他们的求知欲望。又从练习中进行比较，结合旧知识产生联想，学生的判断推理等数学思维能力也就随之发展了。
（作者单位 新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校）
一、进行区别性练习，培养学生思维的敏捷性
数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。这种练习就是把相似或容易混淆的知识放在一起，加以对比分析。这些概念和解题方法虽有相似之处，但不完全相同。它们既有联系，又有区别。不通过对比分析，就不能很好的掌握，这就要求学生在比较中准确而迅速地作出解答，从而加深对知识的理解和掌握。
例如：（1）已知函数y=（m+1）xm2-5是反比例函数，则m的值是___________。
（2）已知函数y=（m+1）xm2-5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是________。
上面两题形式看起来基本类似，但（1）有两解，而（2）有一解。
二、进行归类性练习，培养学生思维的灵活性
为了培养学生思维的灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反
三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。归类性练习的题目是一类问题的典型代表，解剖它即解剖了一类题，掌握它即掌握了解一类题的钥匙。
例如：在学习测量物体的高度时，我讲了两种测量物体高度的方法：第一种是底部可以到达的物体的高度的求法,运用三角函数就可解答,比较简单；第二种是测量底部不能到达的物体的高度,如求塔高、雕塑的高等。第二种方法在现实生活中应用十分广泛,在近年来的中考题三角函数应用中经常出现。通过对课程的学习,可以总结出这类问题的一般公式。它具有普遍适用性,可以在求如楼梯加长问题，航海途中是否会触暗礁问题,求建筑物的高度问题以及求一般的两地间的距离等问题中,加以应用。典型的例题分析，可加强对这一“求高公式”的深层次理解,可选用下面题目：
如下图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为10 m的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量得AF长为1.5 m，F点离地面的距离为0.9 m，又量出石堡坎顶部B到底部D的距离为2.7 m，这样能计算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若不能，请说明理由。
这样的练习，使学生通过认真观察、比较、分析，对概念的理解掌握更加深刻、准确，运用更加灵活，起到了“以少胜多”“事半功倍”的作用。
三、进行判断性练习，培养学生思维的准确性
思维的准确性是数学的性质，决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的准确性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。有些数学概念掌握起来比较困难，判断性练习就是针对易于出错的概念，把错的形式、不完全的形式与正确的形式放在一起，让学生判断正误。这种练习的方法是训练学生思维准确性的一种很好的方法。
例如:在学习初中数学第十九章《平行四边形》的“正方形”这一小节内容时可选用下列习题：
1.四边相等的四边形是正方形。
2.四角相等的四边形是正方形。
3.对角线垂直的平行四边形是正方形。
4.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
5.对角线垂直的矩形是正方形。
6.对角线相等的菱形是正方形。
7.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
8.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形。
上面题目基本上概括了四边形这一章节中易于混淆的概念。让学生在比较中，引起激烈的讨论，不仅增强了学生学习几何的浓厚兴趣，也准确掌握了这些知识要点。
四、进行互逆性练习，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方面去思考问题，寻求答案的思维品质，其反面是思维的狭隘性，表现为思维的封闭状态。中学数学中的互逆关系是大量存在的，教学时，要求学生不仅能运用知识进行正向思维解决问题，而且还能灵活运用知识进行逆向思维解决相应的问题，使学生形成双向联系，从而培养学生解题能力的灵活性。
例如:某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得决出胜负，请问：共需要进行多少场比赛，才能选出冠军？
简析：本题从目标正面直接求解，计算繁难，容易出错，但如果改从目标反面入手，就是去计算产生99名被淘汰者的比赛场数，按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者，所以共需要比赛
99场。
五、进行动变式训练，培养学生思维的跨越性
思维的跨越性就是思维不按“概念—判断—推理—结论”的顺序进行，省略某些步骤，加大思维的前进跨度；或者跨越思维对象的“相关度”的差距，加大思维的“联想跨度”；或者是跨越条件“可观度”的限制，迅速完成“已知”与“未知”之间的转化，加大思维的“轮换跨度”。概括地说，就是在思维过程中迅速摒弃那些非本质的、次要的东西，而直接抓住问题的本质，向思维的目标大跨度迈进，它是直觉灵感思维的重要成分。变式练习就是变换题目条件的叙述形式、方向和位置，使学生在千变万化中抓住本质属性。
例如：（1）圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=
10 cm，则两弦AB、CD的距离是多少？
（2）一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角的度数是多少？
像这样的变形，把一道题演变为一类题，它们的解法彼此相似，这样的练习会提高学生触类旁通解决一类问题的能力。
六、一题多解，拓宽视野，培养学生思维的多向性
思维多向性就是指思维的发散性和思维的求异性，即善于从
不同的方位、不同的角度和不同的层次去思考问题，或从同一条件得出多种不同的结论。创造性思维形成于发散思维之后的收敛思维之中，可见发散性思维是创造性思维的核心，数学需要逻辑、判断、推理等收敛思维，同时需要多发变式、流畅变通、想象丰富等发散思维。多解性练习就是对一个问题要求学生从事物的不同方向和不同联系上去考虑、联想，从而训练学生思维的灵活性、广阔性和独创性。
例如：已知如图1，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P与∠A的数量关系。
本道题目的三种不同解法如图所示。启发学生一题多解，能使学生视野开阔，反应灵敏，从而培养思维的发散性。一道习题发掘了多种解法，对学生的思维品质有很大的启迪和开发作用。
七、进行扩展题练习，提高学生思维的创造性
思维的创造性是指完成思维活动的内容、途径和方法的自主
程度，并通过独立的思考创造出有一定新颖成分的内容。表现为思维不寻常规、寻求变异和勇于创新；实质上它是各种思维优化组合的高效思维，产生于多因素、多变量、多层次思维的交互作用；创造性思维的根本特征是：流畅性、变通性和独特性。扩题练习是在基本题的基础上，逐步增加和变换条件与问题，加大题目难度，要求学生一一解答。这种练习不仅使学生清楚地看出数学题变化的来龙去脉，弄清解题思路的脉络。同时，对发展学生的推理能力，训练解题思维的深刻性和灵活性都是很好的一种练习方法。
例如：（2008山东青岛）如下图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10 cm，母线OE（OF）长为10 cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2 cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm。
这就是将典型例题变换，拓展和延伸成其他形式，既能使学生重视基本题的练习，又能激发学生的学习兴趣。
总之，习题设计这个环节，不仅是巩固知识的过程，有些练习也是获得新知识的过程。在这个过程中，由教师指导，让学生通过练习实践，按照一定的逻辑规律来思考问题，发现新规律，激发他们的求知欲望。又从练习中进行比较，结合旧知识产生联想，学生的判断推理等数学思维能力也就随之发展了。
（作者单位 新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校）