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摘要 小学数学教师在低年级教学中如何将一般问题特殊化训练。一般通过特殊来表现，特殊之中蕴含着一般。无论是特值法、特例法、取样法还是极端法，都不失为将一般问题特殊化训练的好办法。通过“一般——特殊——一般”这样的过程使学生掌握数学问题的实质，学会举一反三。
关键词 数学教学 一般问题 特殊化训练 解析
一、一般问题特殊化训练的几种主要方法
原理：一般通过特殊来表现，特殊之中蕴含着一般。
方法：特值、特例、取样，极端。
1 特值法。特值法是将某个隐含的未知数量取一个特殊的值，让这个特殊的值参与计算，求出问题的答案。
问题一：有一堆苹果，平均分给幼儿园大小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，那么每人可得10个。如果只分给小班，那么每人可得几个?
分析与解：假定这堆苹果共有30个(为便于计算，可以取6和10个最小公倍数)。那么大小两个班有小朋友30+6=5(人)，而大班有小朋友30÷10=3(人)，小班则有小朋友5-3=2(人)。因此，如果只分给小班，那么每人可得30+2＝15(个)。
综合算式：30÷(30+6-30÷10)=15(个)
问题二：足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一。则一张门票降价多少元?
分析与解：假定降价前的观众为2人，那么选时的收入是15×2=30(元)。而降价后的观众是2×(1+1／2)=3(人)，收入则是30×(1+1／5)=36(元)。因此，降价后每张门票是36÷3=12(元)，一张门票降价15-12=3(元)。
综合算式：15－15×2×(1+1／5)÷[2×(1+1／2)]=3(元)
2 特例法。特例法是从众多的情况中选择一种，把问题放在特殊情况下解决。
问题三：现在盒子里有100张红色卡片，分别写上1-100这一百个自然数。先从中取出若干张，算出它们的和，用这个和除以7，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子；再从盒子里取出若干张，算出它们的和，用这个和除以7，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子……如此反复操作，直至还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片为止。如果剩下的两张红色卡片上写的是17和71，那么最后一张黄色卡片上写的是什么数?
分析与解：操作的方法会很多，但既然求最后剩下的一张黄色卡片上写的数，那么这个数肯定是一个固定值。我们不妨这样操作：一次从盒子里取出除写有17和71之外的98张卡片，计算它们的和：1+2+3+4+…+99+100-17－71=4962，用4962除以7，余数是6。把6写在黄色卡片上放进去。这样盒子里就会剩两张红色卡片17和71，还会剩下一张黄色卡片6，符合题中要求。非常明显：最后一张黄色卡片上写的数是6。
3 取样法。取样法是从总体中取出一部分作为样本，对样本进行研究分析，找出规律，并利用规律解题。
问题四：商店以每双6.50元购进一批凉鞋，售价为每双8.70元。当卖剩下1／4时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款，而且已获利20元。这批凉鞋共有多少双?
分析与解：假定这批凉鞋共有4双，当卖剩下1／4时，收回购进4双凉鞋所付出的款，这样可以获利8.70×[4×(1－1／4)]－6.50×4=0.10(元)。而问题中获利数是假定中获利数的20+0.10=200倍，那么这批凉鞋实际应有4×200=800(双)。
问题五：一艘轮船往返于沿河两城之间，去时顺流每小时行42千米，返时逆流每小时行30千米，往返一次共用30小时。两城实际相距多少千米?
分析与解：假定两城相距210千米(42和30的最小公倍数)。那么往返一次共用210+42+210÷30=12(小时)。而问题中往返一次共用的时间是假定中共用时间的30÷12=2.5倍。因此两城实际相距210×2.5=525(千米)。
4 极端法。极端法指从各种情况里选择最极端的一种，通过调整解决问题。
问题六：今年，爷爷90岁，孙子21岁，孙女19岁。多少年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍?
分析与解：假设向前退的年数为0，但今年爷爷的年龄不是孙子孙女年龄和的3倍。而是比孙子孙女年龄和的3倍少(21+19)×3-90=30(岁)。每向前退1年，爷爷的年龄减少1岁，孙子孙女的年龄和减少2岁，那么爷爷的年龄与孙子孙女年龄和的3倍之差减少2×3-1=5(岁)，即上述数量差将缩减5岁。向前退多少年，才能使“30岁”这个差缩减为0呢?30÷5=6(年)，即6年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍。
综合算式：[(21+19)×3-90]÷(2×3-1)=6(年)
问题七：学校买来篮球和足球共21个，篮球借出1／3，足球借出1个后，剩下的两种球个数相等，两种球各有多少个?
分析与解：假设篮球的个数为0，那么足球有21个，借出后，足球比篮球多剩下21-1=20(个)。篮球的个数每增加1个，足球的个数则减少1个，借出后，篮球多剩下1-1／3=2／3(个)，而足球少剩下1个，上述数量差将缩减2／3+1=5／3(个)。篮球的个数要增加到多少个。才能使“20个”这个差缩减为0呢?20+5／3=12(个)，即篮球有12个，而足球则有21-12=9(个)。
综合算式：(21－1)÷(1－1／3+1)=12(个)(篮球)21－12=9(个)(足球)
二、一般问题特殊化训练的意义与思考
小学数学教师在低年级教学中常会遇到这种情况：明明是一样的题型，就因为变了个样子，学生就变得无从下手。将一般问题特殊化训练可以把一类题变化成几种方式出现。一般通过特殊来表现，特殊之中蕴含着一般。无论是特值法，特例法、取样法还是极端法，都不失为将一般问题特殊化训练的好办法。通过“一般——特殊——一般”这样的过程使学生掌握数学问题的实质，学会举一反三。
关键词 数学教学 一般问题 特殊化训练 解析
一、一般问题特殊化训练的几种主要方法
原理：一般通过特殊来表现，特殊之中蕴含着一般。
方法：特值、特例、取样，极端。
1 特值法。特值法是将某个隐含的未知数量取一个特殊的值，让这个特殊的值参与计算，求出问题的答案。
问题一：有一堆苹果，平均分给幼儿园大小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，那么每人可得10个。如果只分给小班，那么每人可得几个?
分析与解：假定这堆苹果共有30个(为便于计算，可以取6和10个最小公倍数)。那么大小两个班有小朋友30+6=5(人)，而大班有小朋友30÷10=3(人)，小班则有小朋友5-3=2(人)。因此，如果只分给小班，那么每人可得30+2＝15(个)。
综合算式：30÷(30+6-30÷10)=15(个)
问题二：足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一。则一张门票降价多少元?
分析与解：假定降价前的观众为2人，那么选时的收入是15×2=30(元)。而降价后的观众是2×(1+1／2)=3(人)，收入则是30×(1+1／5)=36(元)。因此，降价后每张门票是36÷3=12(元)，一张门票降价15-12=3(元)。
综合算式：15－15×2×(1+1／5)÷[2×(1+1／2)]=3(元)
2 特例法。特例法是从众多的情况中选择一种，把问题放在特殊情况下解决。
问题三：现在盒子里有100张红色卡片，分别写上1-100这一百个自然数。先从中取出若干张，算出它们的和，用这个和除以7，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子；再从盒子里取出若干张，算出它们的和，用这个和除以7，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子……如此反复操作，直至还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片为止。如果剩下的两张红色卡片上写的是17和71，那么最后一张黄色卡片上写的是什么数?
分析与解：操作的方法会很多，但既然求最后剩下的一张黄色卡片上写的数，那么这个数肯定是一个固定值。我们不妨这样操作：一次从盒子里取出除写有17和71之外的98张卡片，计算它们的和：1+2+3+4+…+99+100-17－71=4962，用4962除以7，余数是6。把6写在黄色卡片上放进去。这样盒子里就会剩两张红色卡片17和71，还会剩下一张黄色卡片6，符合题中要求。非常明显：最后一张黄色卡片上写的数是6。
3 取样法。取样法是从总体中取出一部分作为样本，对样本进行研究分析，找出规律，并利用规律解题。
问题四：商店以每双6.50元购进一批凉鞋，售价为每双8.70元。当卖剩下1／4时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款，而且已获利20元。这批凉鞋共有多少双?
分析与解：假定这批凉鞋共有4双，当卖剩下1／4时，收回购进4双凉鞋所付出的款，这样可以获利8.70×[4×(1－1／4)]－6.50×4=0.10(元)。而问题中获利数是假定中获利数的20+0.10=200倍，那么这批凉鞋实际应有4×200=800(双)。
问题五：一艘轮船往返于沿河两城之间，去时顺流每小时行42千米，返时逆流每小时行30千米，往返一次共用30小时。两城实际相距多少千米?
分析与解：假定两城相距210千米(42和30的最小公倍数)。那么往返一次共用210+42+210÷30=12(小时)。而问题中往返一次共用的时间是假定中共用时间的30÷12=2.5倍。因此两城实际相距210×2.5=525(千米)。
4 极端法。极端法指从各种情况里选择最极端的一种，通过调整解决问题。
问题六：今年，爷爷90岁，孙子21岁，孙女19岁。多少年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍?
分析与解：假设向前退的年数为0，但今年爷爷的年龄不是孙子孙女年龄和的3倍。而是比孙子孙女年龄和的3倍少(21+19)×3-90=30(岁)。每向前退1年，爷爷的年龄减少1岁，孙子孙女的年龄和减少2岁，那么爷爷的年龄与孙子孙女年龄和的3倍之差减少2×3-1=5(岁)，即上述数量差将缩减5岁。向前退多少年，才能使“30岁”这个差缩减为0呢?30÷5=6(年)，即6年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的3倍。
综合算式：[(21+19)×3-90]÷(2×3-1)=6(年)
问题七：学校买来篮球和足球共21个，篮球借出1／3，足球借出1个后，剩下的两种球个数相等，两种球各有多少个?
分析与解：假设篮球的个数为0，那么足球有21个，借出后，足球比篮球多剩下21-1=20(个)。篮球的个数每增加1个，足球的个数则减少1个，借出后，篮球多剩下1-1／3=2／3(个)，而足球少剩下1个，上述数量差将缩减2／3+1=5／3(个)。篮球的个数要增加到多少个。才能使“20个”这个差缩减为0呢?20+5／3=12(个)，即篮球有12个，而足球则有21-12=9(个)。
综合算式：(21－1)÷(1－1／3+1)=12(个)(篮球)21－12=9(个)(足球)
二、一般问题特殊化训练的意义与思考
小学数学教师在低年级教学中常会遇到这种情况：明明是一样的题型，就因为变了个样子，学生就变得无从下手。将一般问题特殊化训练可以把一类题变化成几种方式出现。一般通过特殊来表现，特殊之中蕴含着一般。无论是特值法，特例法、取样法还是极端法，都不失为将一般问题特殊化训练的好办法。通过“一般——特殊——一般”这样的过程使学生掌握数学问题的实质，学会举一反三。