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一、巧用性质求度数
例1 如图1,四边形ABCD是菱形,∠ACD=30,求∠ABC的度数.
解析: 因为菱形的对角线平分一组对角,所以∠BCD=2∠ACD=2×30=60,因为菱形的对角相等,所以∠DAB=∠DCB=60,因为CD//AB,所以∠DCB+∠ABC=180,所以∠ABC=180-
60=120.
例2 如图2,P为正方形ABCD内一点,且PA=1,PB=2,PC=3,试求∠APB的度数.
解析: 如图2,将△BAP绕点B顺时针旋转90,得到△BCE,连结PE,则△ABP≌△CBE,所以EB=PB=2,∠PBE=90,所以△BPE为等腰直角三角形,∠BEP=45,PE=2.在△PCE中,CE=AP=1,PC=3,PE=2,所以CE2+PE2=PC2,
所以△PCE为直角三角形,∠PEC=90,所以
∠CEB=90+45=135,即∠APB=135.
点拨: 菱形、正方形都是特殊的平行四边形,利用好这些图形的性质是快速解题的法宝.
二、巧用性质解折叠问题
例3 如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,求折痕EF的长.
解析:根据题意可知,△CEF与△AEF关于直线EF对称,且EF垂直平分AC,所以四边形AECF是菱形,所以AO=CO.因为AD∥BC,所以∠EAC=∠ACF.
因为∠AOE=∠COF,所以△AEO≌△CFO,又因为FO=EO,所以四边形AFCE是平行四边形.因为EF⊥AC,所以四边形AFCE是菱形,所以AF=FC,设BF=x,则CF=8-x,x2+62=(8-x)2,
所以x=,即CF= .在Rt△COF中,OF== ,即EF=2OF=7.5.
例4 如图4,梯形纸片ABCD,∠B=60,AD∥BC,AB=AD=2,BC=6.将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕为AE,则CE=_______.
解析: 由题意得AB=AD,BE=ED,∠B=∠EDA=
60.因为AD∥BC,所以∠BAD=120,由四边形内角和得,∠BED=120,所以四边形ABED是平行四边形,又因为AB=AD,所以四边形ABED是菱形,故CE=BC-BE=BC-AD=6-2=4.
点拨: 在折叠问题中,如重合两点的连线被折痕垂直平分,可依据这个性质把折叠问题转化为普通几何问题来解决.
三、巧用性质求最值(或定值)
例5 如图5,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为______ .
解析:连接DN,DB,BN,BM,且BM与AC交与点P.因为BD、AC是正方形ABCD的对角线,所以AC是BD的垂直平分线.因为点N在AC上,所以BN=DN.所以DN+MN=BN+MN≥BM.当点N运动到BM和AC的交点P处时,上式等号成立.所以DN+MN的最小值等于BM的长.
因为∠BCM=90,BC=8,CM=6,所以BM==10 ,所以DN+MN的最小值为10.
例6 如图6,在矩形ABCD中,已知AD=4,AB=3,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,求PE+PF的值.
解析:连接OP,过A作AG⊥BD,垂足为G,所以S△AOD=S△AOP+S△DOP,即OD •AG=AO •PF+OD •PE.又因为OA=OD,所以AG=PF+PE.因为AD=4,AB=3,得AG=,所以PE+PF=.
点拨:利用特殊平行四边形的性质求最值问题可以使问题简化,从而达到快速解题的目的.
四、巧用性质求长度
例7 如图7,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=60,AD=10,AB=12,求BC的长.
解析:过D作DE∥AB交BC于点E. 因为AD∥BC,DE∥AB,所以四边形ABED是平行四边形,所以DE=AB=12,BE=AD=10.
因为∠DEC=∠B=∠C=60,所以△EDC是等边三角形.所以CE=DE=12,所以BC=BE+CE=22.
点拨:构造出平行四边形,根据平行四边形的性质来求出线段的长度.
例1 如图1,四边形ABCD是菱形,∠ACD=30,求∠ABC的度数.
解析: 因为菱形的对角线平分一组对角,所以∠BCD=2∠ACD=2×30=60,因为菱形的对角相等,所以∠DAB=∠DCB=60,因为CD//AB,所以∠DCB+∠ABC=180,所以∠ABC=180-
60=120.
例2 如图2,P为正方形ABCD内一点,且PA=1,PB=2,PC=3,试求∠APB的度数.
解析: 如图2,将△BAP绕点B顺时针旋转90,得到△BCE,连结PE,则△ABP≌△CBE,所以EB=PB=2,∠PBE=90,所以△BPE为等腰直角三角形,∠BEP=45,PE=2.在△PCE中,CE=AP=1,PC=3,PE=2,所以CE2+PE2=PC2,
所以△PCE为直角三角形,∠PEC=90,所以
∠CEB=90+45=135,即∠APB=135.
点拨: 菱形、正方形都是特殊的平行四边形,利用好这些图形的性质是快速解题的法宝.
二、巧用性质解折叠问题
例3 如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,求折痕EF的长.
解析:根据题意可知,△CEF与△AEF关于直线EF对称,且EF垂直平分AC,所以四边形AECF是菱形,所以AO=CO.因为AD∥BC,所以∠EAC=∠ACF.
因为∠AOE=∠COF,所以△AEO≌△CFO,又因为FO=EO,所以四边形AFCE是平行四边形.因为EF⊥AC,所以四边形AFCE是菱形,所以AF=FC,设BF=x,则CF=8-x,x2+62=(8-x)2,
所以x=,即CF= .在Rt△COF中,OF== ,即EF=2OF=7.5.
例4 如图4,梯形纸片ABCD,∠B=60,AD∥BC,AB=AD=2,BC=6.将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕为AE,则CE=_______.
解析: 由题意得AB=AD,BE=ED,∠B=∠EDA=
60.因为AD∥BC,所以∠BAD=120,由四边形内角和得,∠BED=120,所以四边形ABED是平行四边形,又因为AB=AD,所以四边形ABED是菱形,故CE=BC-BE=BC-AD=6-2=4.
点拨: 在折叠问题中,如重合两点的连线被折痕垂直平分,可依据这个性质把折叠问题转化为普通几何问题来解决.
三、巧用性质求最值(或定值)
例5 如图5,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为______ .
解析:连接DN,DB,BN,BM,且BM与AC交与点P.因为BD、AC是正方形ABCD的对角线,所以AC是BD的垂直平分线.因为点N在AC上,所以BN=DN.所以DN+MN=BN+MN≥BM.当点N运动到BM和AC的交点P处时,上式等号成立.所以DN+MN的最小值等于BM的长.
因为∠BCM=90,BC=8,CM=6,所以BM==10 ,所以DN+MN的最小值为10.
例6 如图6,在矩形ABCD中,已知AD=4,AB=3,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,求PE+PF的值.
解析:连接OP,过A作AG⊥BD,垂足为G,所以S△AOD=S△AOP+S△DOP,即OD •AG=AO •PF+OD •PE.又因为OA=OD,所以AG=PF+PE.因为AD=4,AB=3,得AG=,所以PE+PF=.
点拨:利用特殊平行四边形的性质求最值问题可以使问题简化,从而达到快速解题的目的.
四、巧用性质求长度
例7 如图7,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=60,AD=10,AB=12,求BC的长.
解析:过D作DE∥AB交BC于点E. 因为AD∥BC,DE∥AB,所以四边形ABED是平行四边形,所以DE=AB=12,BE=AD=10.
因为∠DEC=∠B=∠C=60,所以△EDC是等边三角形.所以CE=DE=12,所以BC=BE+CE=22.
点拨:构造出平行四边形,根据平行四边形的性质来求出线段的长度.