【关键词】级数;敛散性;拉阿贝判别法
【基金项目】国家自然科学基金（11861007， 11761007）， 江西省教育厅科技项目（GJJ160564）， 江西省教学研究项目（JXJG-18-6-4）.
一、引言
级数的学习在理科《数学分析》或工科《高等数学》课程中都占据重要地位，判断正项级数
∑∞n=1an的敛散性方法则为重中之重.常用的敛散性判别法为比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法和拉阿贝（Raabe）判别法等，由于比式判别法、根式判别法和拉阿贝判别法均有在临界情况下失效的情形，于是我们想到在拉阿贝判别法的基础上做出一些改进.
二、正项级数的比式判别法、根式判别法和拉阿贝判别法
定理1 （比式判别法和根式判别法）
对于正项级数∑∞n=1an（an>0），若limn→∞an 1an=r或者limn→∞nan=r，则：
（1）当r<1时，级数∑∞n=1an收敛;
（2）当r>1时，级数∑∞n=1an发散.
问题：当r=1时，比式判别法和根式判别法均不能得出确切的敛散性结论，此时应该如何判断正项级数的敛散性？我们再选用拉阿贝判别法进行判别.
定理2 （拉阿贝判别法）
对于正项级数∑∞n=1an（an>0），若limn→∞ n1-an 1an=p，则：
（1）当p>1时， 级数∑∞n=1an收敛;
（2）当p<1时， 级数∑∞n=1an发散.
我们列举经典例题进行讨论.
例1 讨论正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s，s∈N的敛散性.
解 由于该级数的敛散性受到参数s∈N的影响，所以我们令an=（2n-1）！！（2n）！！s，试着找出an 1an与s的关系.
易知
an 1an=2n 12n 2s=1-12n 2s，（1）
于是
limn→∞an 1an=limn→∞1-12n 2s=1，（2）
即正項级数的比式判别法失效. 根据拉阿贝判别法有
limn→∞ n1-an 1an=limn→∞ n1-1-12n 2s，（3）
上式为∞·0型的极限形式，转化为00型后利用洛必达法则有
limn→∞ n1-an 1an=limn→∞1-1-12n 2s1n
=limn→∞-s1-12n 2s-112（n 1）2-1n2=s2，（4）
于是，根据拉阿贝判别法知：
当s=1时，limn→∞ n1-an 1an=s2<1，正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s发散;
当s≥3时，limn→∞ n1-an 1an=s2>1，正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s收敛.
但是，当s=2时，limn→∞ n1-an 1an=s2=1，拉阿贝判别法也失效了.于是我们寻求推广的拉阿贝判别法来判断正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2的敛散性.
三、拉阿贝判别法的推广
我们将拉阿贝判别法的适用范围由正项级数推广到一般项情形.
定理3 若limn→∞ n1-an 1an=p（an≠0），则级数∑∞n=1an：
（1）当p>1时绝对收敛;
（2）当0≤p<1时条件收敛或发散;
（3）当p<0时发散.
证明 （1） 当p>1时，N∈N n>N满足
n1-an 1an>p 12>1，（5）
即（n-1）|an|-n|an 1|>p 12-1|an|>0，（6）
于是正项数列{n|an 1|}∞n=N严格单调递减，由单调有界定理知数列{n|an 1|}∞n=1收敛，进一步便知正项级数
∑∞n=2（n-1）|an|-n|an 1|=|a2|-limn→∞n|an 1|（7）
也收敛，根据不等式（6）及比较判别法知：当p>1时，级数∑∞n=1an绝对收敛.
（2） 当0≤p<1时，N∈N ，n>N满足
n1-an 1an
即（n-1）|an|-n|an 1|
于是
|an 1|≥（N-1）|aN|n.（10）
由比较判别法知：当0≤p<1时，级数∑∞n=1an条件收敛或发散.
（3） 当p<0时，N∈N ，n>N满足
n1-an 1an
于是limn→∞ an≠0，由收敛级数必要条件知：当p<0时，级数∑∞n=1an发散.
注：针对p=1的情形，定理1、定理2、定理3均不能给出确切的结论，即上述判别法均失效.下面的定理4为Kummer判别法的变形形式，可作为上述判别法的补充，为拉阿贝判别法的另一种推广.
定理4 设Tn=un-un 1an 1an（an>0，un>0），则有：
（1） 若N∈N ，n>N，有Tn≥p>0，则正项级数∑∞n=1an收敛;
（2） 若N∈N ，n>N，有 Tn≤0且级数∑∞n=11un发散，则正项级数∑∞n=1an发散.
证明 （1） 若 N∈N ，n>N，有Tn≥p>0，即
unan-un 1an 1≥pan>0，（13）
于是正项数列{unan}∞n=N严格单调递减，由单调有界定理知数列{unan}∞n=1收敛，进一步便知正项级数
∑∞n=1（unan-un 1an 1）=u1a1-limn→∞ un 1an 1（14）
也收敛，由比较判别法知：正项级数∑∞n=1an收敛.
（2） 若N∈N ，n>N，有 Tn≤0，即
unanun 1≤an 1，（15）
已知級数∑∞n=11un发散，由比较判别法知：正项级数∑∞n=1an发散，
∑∞n=1（unan-un 1an 1）=u1a1-limn→∞un 1an 1（16）
也收敛，由比较判别法知：正项级数∑∞n=1an收敛.
例2 讨论正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2，即例1中s=2时的敛散性.
解 令an=（2n-1）！！（2n）！！2，选取un=n，
则有 （n≥1）
Tn=un-un 1an 1an
=n-（n 1）（2n 1）2（2n 2）2
=-14（n 1）<0，（17）
已知调和级数∑∞n=11n发散，由定理4知：正项级数∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2发散.
四、关于双阶乘（2n-1）！！（2n）！！的注记
由于进行级数敛散性的讨论时常涉及双阶乘（2n-1）！！（2n）！！=1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×（2n）的分析，因此我们将一些重要性质列举如下，供读者参考.
性质1 12n≤（2n-1）！！（2n）！！<12n 1.
证明 由于b>a>0，
ab 则有xn=1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×（2n）<2×4×6×…×（2n）3×5×7×…×（2n 1）
=1（2n 1）xn，
得出xn<12n 1，
另一方面，xn=1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×（2n）
=3×5×7×…×（2n-1）2×4×6×…×（2n-2）×12n
≥12n，
于是得出12n≤（2n-1）！！（2n）！！<12n 1.
性质2 limn→∞（2n-1）！！（2n）！！=0.
证明 0<（2n-1）！！（2n）！！<12n 1，
由两边夹准则便得出上述极限是成立的.
【参考文献】
[1]华东师范大学数学科学学院. 数学分析：第五版[M].北京： 高等教育出版社， 2019.
[2] George B. Arfken， Hans J. Weber， Frank E. Harris， Mathematical Methods for Physicists （7th Edition） [M]. Academic Press， 2013.