教材是许多教育专家研究成果,课本中的每道习题都是经过慎重思考,精心打磨而成的结晶,有其潜在的价值,它对渗透数学思想和方法及其深入理解、思考和处理问题有广泛的辐射功能和较强的示范作用,下面是笔者对一道习题的思考.
　　原题 苏科版八年级(上册)45页第9题:
　　如图1,A、B在直线L的同侧,点B′是点B关于L的对称点,AB′交L于点P.(1)AB′与AP+BP相等吗?为什么?(2)在L上取一点Q,并连结AQ和QB,那么AQ+QB与AP+PB哪一个大?为什么?
　　本题实际上是在直线L上找一点P,使点P到直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小.这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一道很好的习题.我们不妨将此类型问题归纳为“求折线最小值问题”,它涉及到“两点之间线段最短、利用对称化折线为直线的基本方法”.此类问题的解法是利用图形的轴对称变换,把两条线段和的问题转化为求某一条线段的长度问题,从而使问题获解.
　　我们从中考试题中可以看到这一习题的结论是如何被应用的.
　　1 直接应用此结论
　　例1 荆门市中考题如图2,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是[CD#3].
　　分析 本题由菱形的轴对称性,知对角线AC所在直线即为对称轴,所以只要取点M(或点N)关于AC的对称点M′,则M′N的长就是PM+PN的最小值,易得PM+PN的最小值是5.
　　2 间接应用此结论
　　引例:公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合,∠MON=60°,两河形成的半岛上有一处古迹P,现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R,并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P,若古迹P到两条小河的距离都是50[KF(]3[KF)]米,求这3段小路长度之和的最小值.