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摘要： 本文通过实例分析，介绍了数形结合、换元、转化、分类讨论的数学思想方法，指出了高职数学思想方法教学的重要性。
关键词： 数学思想方法 教学 高职
随着数学教育改革的不断深化，重视数学思想方法的教学已成为广大数学教师的共识。在平时的教学过程中，教师不仅要注重概念、性质、公式、定理等表层知识的讲授，更要注重深层知识即思想方法的教学，使学生在知识学习的同时，掌握其中的数学思想方法。“授人以鱼，不如授人以渔”，讲的就是思想方法的重要性。以下是我从教几年总结的对于高职学生来说重要的数学思想方法。
1.数形结合的思想方法
“数”与“形”是数学中既有区别又有联系的两个对象。著名数学家华罗庚曾精辟地指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”运用数与形相结合的思想方法能使抽象的数学概念和复杂的数学关系变得形象直观，也更容易让学生理解和接受。
例1：定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）的图象与f（x）的图像重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：
（1）f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）（2）f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）
（3）f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）（4）f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）
其中成立的是（ ）。
A.（1）与（4）B.（2）与（3）C.（1）与（3）D.（2）与（4）
分析：此题并未给出f（x）与g（x）两个函数具体的函数式，因此无法采用一般的解题方法，但由题意可画出大致图形（见图一）：
显然有f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b），f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a），故选C。
2.换元的思想方法
换元的思想方法是用一个新的变量去代替原来数学关系中的部分式子，以创造出新的条件，使问题化难为易。在授课中，应该注意培养学生的换元思想。
例2：求函数f（x）=（e -3） +（e -3） 的值域。
分析：函数f（x）=（e -3） +（e -3） 是无理函数，学生感到生疏，不易找到解题思路。可通过变量代换，将无理函数转化为有理函数，化生疏为熟悉。
解：令t=（e +e ），则t∈［2，+∞）
f（x）=e -6e +9+e -6e +9
=t -6t+16=（t-3） +7≥7
故函数的值域［7，+∞）。
3.转化的思想方法
转化的思想方法就是将所研究的数学对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法，其目的就是将问题的条件逐步向问题的结论转化。
例3：已知b +a =1，0＜a＜1，0＜b＜1，证明：a +b =1。
分析：此题条件中出现了 、 ，我们可以把它看成两个斜边同为1的直角三角形，不妨设其中一个直角三角形的直角边为a、 ；另一直角三角形的直角边为b、 ，并设a边所对的锐角为α，b边所对的锐角为β。如果将两个直角三角形的斜边合并且使得角α和β相邻，就组成了一个四边形（见图二）。
证明：根据已知条件（如图）得
b +a =sinβcosα+sinαcosβ
=sin（α+β）
=1
所以α+β=
则此四边形为矩形，从而得a +b =1。
4.分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法，就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的方法，便于理清思路，化繁为简。
例4：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，求这种五位数的个数。
分析：此题为排列问题，显然必须分类讨论几种情况。
解：按所在的位置可分为三类：
①1位于万位时，2有p种排法，其余数字有p种排法，故第一类有pp=18（个）；
②1位于个位时，2有p种排法，其余数字有p种排法，故第二类仍有pp=18（个）；
③1位于中间位时，1有3种排法，2有2种排法，其余数字有p种排法，故第三类有3×2×p=36（个）；
所以这样的五位数共有18+18+36=72（个）。
除以上所列四种数学思想方法之外，还有建立函数方程、正难则反的思想方法等，在此不一一列举。这些重要的数学思想方法之间不是互相排斥，而是相互渗透、相互促进的。教师在教学过程中应该注意思想方法之间的有机结合，注重学生思维活动的训练和培养，旨在提高学生的数学能力、数学素质。
当然，进行数学思想方法的教学决不是一朝一夕、一蹴而就的事情，教师应该遵循教学规律，在表层知识教学的基础之上进行有效的深层知识及思想方法的教学，而且应该把它贯穿于教学过程的始终。在实施的过程当中，会遇到不少困难，比如数学教材对数学思想方法体现不够、不深刻，学生的接受能力参差不齐等，这就要求我们数学教研室全体教师要多讨论、多探索，相信经过大家不懈的努力，数学思想方法的教学一定会取得不错的进展。
参考文献：
［1］梁杏仪.在教学中如何让学生掌握数学思想方法.广西民族学院学报，2002.5.
［2］王文省.王树泽.郭文彬.数学思想方法及其功能.天津市教科院学报，2006.4.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 数学思想方法 教学 高职
随着数学教育改革的不断深化，重视数学思想方法的教学已成为广大数学教师的共识。在平时的教学过程中，教师不仅要注重概念、性质、公式、定理等表层知识的讲授，更要注重深层知识即思想方法的教学，使学生在知识学习的同时，掌握其中的数学思想方法。“授人以鱼，不如授人以渔”，讲的就是思想方法的重要性。以下是我从教几年总结的对于高职学生来说重要的数学思想方法。
1.数形结合的思想方法
“数”与“形”是数学中既有区别又有联系的两个对象。著名数学家华罗庚曾精辟地指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”运用数与形相结合的思想方法能使抽象的数学概念和复杂的数学关系变得形象直观，也更容易让学生理解和接受。
例1：定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）的图象与f（x）的图像重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：
（1）f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）（2）f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）
（3）f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）（4）f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）
其中成立的是（ ）。
A.（1）与（4）B.（2）与（3）C.（1）与（3）D.（2）与（4）
分析：此题并未给出f（x）与g（x）两个函数具体的函数式，因此无法采用一般的解题方法，但由题意可画出大致图形（见图一）：
显然有f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b），f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a），故选C。
2.换元的思想方法
换元的思想方法是用一个新的变量去代替原来数学关系中的部分式子，以创造出新的条件，使问题化难为易。在授课中，应该注意培养学生的换元思想。
例2：求函数f（x）=（e -3） +（e -3） 的值域。
分析：函数f（x）=（e -3） +（e -3） 是无理函数，学生感到生疏，不易找到解题思路。可通过变量代换，将无理函数转化为有理函数，化生疏为熟悉。
解：令t=（e +e ），则t∈［2，+∞）
f（x）=e -6e +9+e -6e +9
=t -6t+16=（t-3） +7≥7
故函数的值域［7，+∞）。
3.转化的思想方法
转化的思想方法就是将所研究的数学对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法，其目的就是将问题的条件逐步向问题的结论转化。
例3：已知b +a =1，0＜a＜1，0＜b＜1，证明：a +b =1。
分析：此题条件中出现了 、 ，我们可以把它看成两个斜边同为1的直角三角形，不妨设其中一个直角三角形的直角边为a、 ；另一直角三角形的直角边为b、 ，并设a边所对的锐角为α，b边所对的锐角为β。如果将两个直角三角形的斜边合并且使得角α和β相邻，就组成了一个四边形（见图二）。
证明：根据已知条件（如图）得
b +a =sinβcosα+sinαcosβ
=sin（α+β）
=1
所以α+β=
则此四边形为矩形，从而得a +b =1。
4.分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法，就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的方法，便于理清思路，化繁为简。
例4：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，求这种五位数的个数。
分析：此题为排列问题，显然必须分类讨论几种情况。
解：按所在的位置可分为三类：
①1位于万位时，2有p种排法，其余数字有p种排法，故第一类有pp=18（个）；
②1位于个位时，2有p种排法，其余数字有p种排法，故第二类仍有pp=18（个）；
③1位于中间位时，1有3种排法，2有2种排法，其余数字有p种排法，故第三类有3×2×p=36（个）；
所以这样的五位数共有18+18+36=72（个）。
除以上所列四种数学思想方法之外，还有建立函数方程、正难则反的思想方法等，在此不一一列举。这些重要的数学思想方法之间不是互相排斥，而是相互渗透、相互促进的。教师在教学过程中应该注意思想方法之间的有机结合，注重学生思维活动的训练和培养，旨在提高学生的数学能力、数学素质。
当然，进行数学思想方法的教学决不是一朝一夕、一蹴而就的事情，教师应该遵循教学规律，在表层知识教学的基础之上进行有效的深层知识及思想方法的教学，而且应该把它贯穿于教学过程的始终。在实施的过程当中，会遇到不少困难，比如数学教材对数学思想方法体现不够、不深刻，学生的接受能力参差不齐等，这就要求我们数学教研室全体教师要多讨论、多探索，相信经过大家不懈的努力，数学思想方法的教学一定会取得不错的进展。
参考文献：
［1］梁杏仪.在教学中如何让学生掌握数学思想方法.广西民族学院学报，2002.5.
［2］王文省.王树泽.郭文彬.数学思想方法及其功能.天津市教科院学报，2006.4.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”