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【内容摘要】华东师范大学崔允漷教授认为学科核心素养：是指学生经过学科学习后形成的关键能力、必备品格和价值观念，能实现知识与技能、过程与方法、情感态度价值观“三维目标”。几何学作为数学领域的一个重要分支，在认识现实世界，培养逻辑推理能力、空间想象力培养学生数学学科核心素养方面发挥着不可忽视的作用。但对于几何教学，教师教的感受、学生学的感受都是：几何入门难。
【关键词】几何 入门困境 入门教学
针对几何入门难的相关研究很多，总结归纳发现，学生学习感到困难的三个方面为：空间观念，推理论证，语言表述。并且学生对数学问题解决的意识淡薄，具体到几何问题的解决过程中又主要表现为：一是阅读和书写困难;二是逻辑推理方面的障碍;三是思维不活跃，易受已有解题模式的禁锢，解题缺乏变通性。
一、几何入门难成因分析和整体教学建议
1.从初中几何的内容和要求等方面进行分析
第一，从学习内容上看，一是平面几何的研究对象从数到形，研究方法也从“运算为主”转到“推理为主”，另一方面，几何学习初期新概念大量集中出现，几何概念学习方式，以及对概念习得的检验途径与以往也存在很大不同，所以无论是在知识的学习、技能和能力的形成，还是在学习方法和学习习惯等方面，学生必将存在着不适应的情况;第二，从学习者能力要求和发展规律看，进入初中后，学生的思维水平正处在从形象思维到抽象思维的过渡时期;学习内容定位上是从实验几何到论证几何，学生前边学习实验几何时，学生经历的是合情推理，而后面要学习的论证几何学生要经历的是演绎推理。因此，这正是一个从形象思维思维到抽象思维、从合情推理到演绎推理的过渡关键期。
2.几何入门教学建议
几何入门教学要解决文字语言、符号语言、图形语言的相互转化;从训练思维灵活性角度入手，强调一题多解、一题多变，倡导思维的开放性;从训练思维的灵活性入手，建议提炼典型图式，在读题审题环节中重视挖掘典型图式，以便于最快速的方式找到解题思路;还比如从逻辑训练的严谨性入手，建议使用波利亚《怎样解题》的思路，制定解题计划，进行解题过程反思，逐步提升学生的元认知能力的培养。应该说以上建议，从不同的角度提出了对于几何教学的实施建议，各个建议都具备很强的操作性，有很强的指导价值。
综上我们认为几何入门：一是梳理几何学习的基本框架，建构几何学习的知识网络;二是建议梳理几何证明的思考框架;三是以学习者为中心开展几何入门教学。
二、教师要建构适应学生学习特征的结构化教学策略
几何的学习方式与代数学习不同，从学习要求上看，抽象概念理解的内容会增多。由此在教学策略中，教师应有意识的根据不同的研究对象，基于不同的学习策略，在几何学习中更应该看中学习方法的迁移策略。
1.聚焦研究策略及其迁移
教师要从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象的抽象、研究内容的确定、研究思路的构建、研究方法的引导等方面整体规划教学思路，帮助学生迁移相似问题研究策略。圖1、图2分别给出了代数概念和平面图形的研究策略。教师在讲授每一个代数概念或平面图形时，应反复强调这种研究套路，以便学生逐步掌握这种研究数学对象的“大观念”。
2.重视整体教学
几何学习首先看重知识之间的关联，引导学生完成知识之间的整合。这种整合首先是建立在知识之间的有机链接，如与小学所学图形之间的关联，本章所学内容之间的关联，章节与章节间知识的关联。通过知识的结构化、模块化和网络化，丰富学生的认知结构，从而进一步加深结构化学习的体验，引导学生通过知识的网络化呈现知识体系之间的逻辑联系，形成系统理论，为几何证明奠定知识基础。
一是要重视课本“章头图”教学，章头图教学能够帮助学生构建良好的数学认知结构、掌握基本思想方法、感受数学应用的广泛性。二是要重视课本章后“小结”教学，利用“小结”，加深对数学知识的理解;梳理知识结构;提炼数学思想方法。而对于结构的重现可以在学生喜欢的直观性理解工具“思维导图”中呈现，在导图中反映知识间关系，罗列典型的几何问题，在典型问题中抓取“几何图式”，从而让几何问题和图式间建立强相关的逻辑联系，如图3。
三、紧抓“会说、会画、会书写、会证明”学习目标，引导学生推理论证能力形成
初中平面几何遇到的困难有：一是不会用几何语言表达 （有口难言）;二是不会用尺规作图工具进行尺规作图 （有手难画）;三是不会按逻辑顺序书写证明 （有笔难写）：四是不会寻找解题思路，探索解题途径 （有路难寻）。
1.将三大能力的培养作为几何学习的基础
一是“翻译能力”培养。图形、文字和符号是几何学习中的三大语言，要学好几何，三大语言之间的“翻译能力”是基础。培养翻译能力首先是要让学生养成联系图形据理叙述的习惯。定义、定理、公理是几何的根本，证明中要将文字、图形和符号进行翻译，如图4。
二是识图能力培养。识别规范图形、善于分解复杂图形，才能完成几何的推理和判断。几何证明的正确判断与推理往往是以正确的识图为先到的，学生不仅要学会看规范易懂的图形，还要善于观察复杂图形中的基本图形，会把复杂图形简单化。如教学线段、角的概念时，应让学生有条不紊地说下图（1）中有几条线段？图（2）中有几个角？再让学生观察图（3）中LAOC与LBOD 的关系，并练习：如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD。这样，在三角形全等的证明中，学生就容易识别图（4）， （5），从而较快地得到证明AC=BD的方法。
三是思维能力培养。逻辑证明可以划分为综合法和分析法。循序渐进是几何学习的基本原则，在寻找解题途径时先熟练掌握综合法：由因索果，在此基础上再来联系分析法：探索已知与未知之间的“桥梁”，从不同方向和角度思考，由果索因，善于反思总结，提高分析和解决问题能力。 2.证明过程规范是几何入门关键
（1）开展作图教学。保证图形和文字内容一致，由文字来绘制几何图形，这样的训练更有利于帮助学生理解题目完成论证。
一是教师示范，让学生模仿学会基本作图方法。教师的示范作用，应正确使用尺规做出准确的几何图形，要教会学生使用直尺和圆规规范作图，强化教师的规范示范，实现作图的“程序化”。
二是丰富学生的模仿形式。从动作模仿到口述模仿。学生模仿老师动作完成作图，并在此基础上，对自己的作图过程进行口述，提升对几何图形的认识。或者老师讲解作图过程，学生按照这个过程来完成规范作图。
三是要引导学生根据语言叙述或题意画出正确的图形。这里，除了正面训练，多读题， 弄懂题意，再画图，写出已知求证外，还可以采取相反的训练。让学生结合图形的条件、结论编出文字命题。
（2）勤于练习推理“三段论”。依托 “三段论”训练学生的演绎推理能力。由“大前提，小前提推导出一个结论”就是演绎推理的一般形式。
例如“同位角相等，两直线平行”（大前提）： ∠1， ∠2是同位角且∠ 1=∠2（小前提）：则可判定AB//CD（结论）。其中第一个判断提供了一般原理，称为大前提; 第二个判断指出了特例，称为小前提;由这两个判断说明一般原理和特殊情况的联系，因而得出第三个判断，称为结论。在实际书写时，只写小前提和结论，把大前提作为结论成立的理由填在 结论后面的括号内，如上例常写成：： ∠1， ∠2是同位角且∠1=∠2， ：.AB//CD（同位角相等，两直线平行）。在推理过程的叙述中，要分为三步书写：一是讲原因，以因为符号开头，写出小前提;二是讲结论，以所以符号开头，写出结果;三是讲清依据，把大前提写在结果后的括号内。
四、以学为中心实施教学设计，体现深度学习的基本特征
学习过程要让每一个孩子积极参与，体验成功。在愉悦的心理体验下，学生收获核心知识、掌握学科方法、深化学习理解方向效率更高。
1.正确认识学习主体的学习体验
让学生成为教学的主体。“学生主体”并不意味着学生的完全自学，应该是学生自学、教师导学、师生互学的有机结合。首先，教师要理解教学过程和知识形成过程之间的互为“倒转”关系。“教学行为”与“科学发现”比较起来是一个“倒过来”的过程，科学研究中的实践探索和试错的过程学生无需要经历，更多是直接接受人类经验。但是如果教学只考虑认识人类成果，不考虑学习者的能力水平、心理感受，那么这个教学就是以“教”为中心的灌输，而非是以“学”为中心的学习。
2.几何入门初期，要从“精讲多练”到“多讲精练”
“精讲多练”是针对“一言堂”提出的教学策略。在数学教学中，有谈“讲”色变的倾向，认为讲授学习就是“灌输”“填鸭”。但一种方法的好坏取决于教学对象的学习者特征，以及教学内容本身的难易程度。合作和探究是课堂改革的主要方向，发现学习和接受学习是学习的两种方式，在教学中都要出现。发展学生的数学核心素養对教师的“讲”提出了更高的要求：对每一个知识点，必须给学生讲清楚为什么要学、学什么、怎么学。“练”并不是越多越好，“练”是为了巩固和深化对“讲”的理解。要重点“练”对数学本质的理解、对数学思想方法的掌握，“练”要有助于对数学活动经验的积累和数学思维方法的感悟。因此，初中数学几何入门初期还是要以教师讲授为主，提倡“多讲精练”。多讲几何特有的学习框架、几何特有的学习要求，一方面，教师要毫无保留地给学生展示自己的思维过程，让学生从中学习思考问题的方法;另一方面，尽可能在各教学环节展现数学知识发生过程的思维活动，让学生在数学学习中经历过程，体验过程，从而提高思维品质。精练强调一题多解、一题多变有利于提高学习效率。问题思考的角度不同，解题思路就不同，不同的思路和方向更有利于发展学生思维能力;通过一题多变，能加深对数学题目的类比和推广，可以得出新的题目和解决问题办法，多变和多解，有助于培养学生的发散思维，增强学生面对新问题敢于联想、敢于创新的意识。
【参考文献】
[1]何小亚.数学教与学的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2011：112-118.
[2]田甜.课程背景下初中几何学习困难的研究[D].昆明：云南师范大学，2006.
[3]卫德彬.体验过程 收获真知[J].数学通报，2016（7）：18-20.
（作者单位：成都市武侯实验中学）
【关键词】几何 入门困境 入门教学
针对几何入门难的相关研究很多，总结归纳发现，学生学习感到困难的三个方面为：空间观念，推理论证，语言表述。并且学生对数学问题解决的意识淡薄，具体到几何问题的解决过程中又主要表现为：一是阅读和书写困难;二是逻辑推理方面的障碍;三是思维不活跃，易受已有解题模式的禁锢，解题缺乏变通性。
一、几何入门难成因分析和整体教学建议
1.从初中几何的内容和要求等方面进行分析
第一，从学习内容上看，一是平面几何的研究对象从数到形，研究方法也从“运算为主”转到“推理为主”，另一方面，几何学习初期新概念大量集中出现，几何概念学习方式，以及对概念习得的检验途径与以往也存在很大不同，所以无论是在知识的学习、技能和能力的形成，还是在学习方法和学习习惯等方面，学生必将存在着不适应的情况;第二，从学习者能力要求和发展规律看，进入初中后，学生的思维水平正处在从形象思维到抽象思维的过渡时期;学习内容定位上是从实验几何到论证几何，学生前边学习实验几何时，学生经历的是合情推理，而后面要学习的论证几何学生要经历的是演绎推理。因此，这正是一个从形象思维思维到抽象思维、从合情推理到演绎推理的过渡关键期。
2.几何入门教学建议
几何入门教学要解决文字语言、符号语言、图形语言的相互转化;从训练思维灵活性角度入手，强调一题多解、一题多变，倡导思维的开放性;从训练思维的灵活性入手，建议提炼典型图式，在读题审题环节中重视挖掘典型图式，以便于最快速的方式找到解题思路;还比如从逻辑训练的严谨性入手，建议使用波利亚《怎样解题》的思路，制定解题计划，进行解题过程反思，逐步提升学生的元认知能力的培养。应该说以上建议，从不同的角度提出了对于几何教学的实施建议，各个建议都具备很强的操作性，有很强的指导价值。
综上我们认为几何入门：一是梳理几何学习的基本框架，建构几何学习的知识网络;二是建议梳理几何证明的思考框架;三是以学习者为中心开展几何入门教学。
二、教师要建构适应学生学习特征的结构化教学策略
几何的学习方式与代数学习不同，从学习要求上看，抽象概念理解的内容会增多。由此在教学策略中，教师应有意识的根据不同的研究对象，基于不同的学习策略，在几何学习中更应该看中学习方法的迁移策略。
1.聚焦研究策略及其迁移
教师要从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象的抽象、研究内容的确定、研究思路的构建、研究方法的引导等方面整体规划教学思路，帮助学生迁移相似问题研究策略。圖1、图2分别给出了代数概念和平面图形的研究策略。教师在讲授每一个代数概念或平面图形时，应反复强调这种研究套路，以便学生逐步掌握这种研究数学对象的“大观念”。
2.重视整体教学
几何学习首先看重知识之间的关联，引导学生完成知识之间的整合。这种整合首先是建立在知识之间的有机链接，如与小学所学图形之间的关联，本章所学内容之间的关联，章节与章节间知识的关联。通过知识的结构化、模块化和网络化，丰富学生的认知结构，从而进一步加深结构化学习的体验，引导学生通过知识的网络化呈现知识体系之间的逻辑联系，形成系统理论，为几何证明奠定知识基础。
一是要重视课本“章头图”教学，章头图教学能够帮助学生构建良好的数学认知结构、掌握基本思想方法、感受数学应用的广泛性。二是要重视课本章后“小结”教学，利用“小结”，加深对数学知识的理解;梳理知识结构;提炼数学思想方法。而对于结构的重现可以在学生喜欢的直观性理解工具“思维导图”中呈现，在导图中反映知识间关系，罗列典型的几何问题，在典型问题中抓取“几何图式”，从而让几何问题和图式间建立强相关的逻辑联系，如图3。
三、紧抓“会说、会画、会书写、会证明”学习目标，引导学生推理论证能力形成
初中平面几何遇到的困难有：一是不会用几何语言表达 （有口难言）;二是不会用尺规作图工具进行尺规作图 （有手难画）;三是不会按逻辑顺序书写证明 （有笔难写）：四是不会寻找解题思路，探索解题途径 （有路难寻）。
1.将三大能力的培养作为几何学习的基础
一是“翻译能力”培养。图形、文字和符号是几何学习中的三大语言，要学好几何，三大语言之间的“翻译能力”是基础。培养翻译能力首先是要让学生养成联系图形据理叙述的习惯。定义、定理、公理是几何的根本，证明中要将文字、图形和符号进行翻译，如图4。
二是识图能力培养。识别规范图形、善于分解复杂图形，才能完成几何的推理和判断。几何证明的正确判断与推理往往是以正确的识图为先到的，学生不仅要学会看规范易懂的图形，还要善于观察复杂图形中的基本图形，会把复杂图形简单化。如教学线段、角的概念时，应让学生有条不紊地说下图（1）中有几条线段？图（2）中有几个角？再让学生观察图（3）中LAOC与LBOD 的关系，并练习：如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD。这样，在三角形全等的证明中，学生就容易识别图（4）， （5），从而较快地得到证明AC=BD的方法。
三是思维能力培养。逻辑证明可以划分为综合法和分析法。循序渐进是几何学习的基本原则，在寻找解题途径时先熟练掌握综合法：由因索果，在此基础上再来联系分析法：探索已知与未知之间的“桥梁”，从不同方向和角度思考，由果索因，善于反思总结，提高分析和解决问题能力。 2.证明过程规范是几何入门关键
（1）开展作图教学。保证图形和文字内容一致，由文字来绘制几何图形，这样的训练更有利于帮助学生理解题目完成论证。
一是教师示范，让学生模仿学会基本作图方法。教师的示范作用，应正确使用尺规做出准确的几何图形，要教会学生使用直尺和圆规规范作图，强化教师的规范示范，实现作图的“程序化”。
二是丰富学生的模仿形式。从动作模仿到口述模仿。学生模仿老师动作完成作图，并在此基础上，对自己的作图过程进行口述，提升对几何图形的认识。或者老师讲解作图过程，学生按照这个过程来完成规范作图。
三是要引导学生根据语言叙述或题意画出正确的图形。这里，除了正面训练，多读题， 弄懂题意，再画图，写出已知求证外，还可以采取相反的训练。让学生结合图形的条件、结论编出文字命题。
（2）勤于练习推理“三段论”。依托 “三段论”训练学生的演绎推理能力。由“大前提，小前提推导出一个结论”就是演绎推理的一般形式。
例如“同位角相等，两直线平行”（大前提）： ∠1， ∠2是同位角且∠ 1=∠2（小前提）：则可判定AB//CD（结论）。其中第一个判断提供了一般原理，称为大前提; 第二个判断指出了特例，称为小前提;由这两个判断说明一般原理和特殊情况的联系，因而得出第三个判断，称为结论。在实际书写时，只写小前提和结论，把大前提作为结论成立的理由填在 结论后面的括号内，如上例常写成：： ∠1， ∠2是同位角且∠1=∠2， ：.AB//CD（同位角相等，两直线平行）。在推理过程的叙述中，要分为三步书写：一是讲原因，以因为符号开头，写出小前提;二是讲结论，以所以符号开头，写出结果;三是讲清依据，把大前提写在结果后的括号内。
四、以学为中心实施教学设计，体现深度学习的基本特征
学习过程要让每一个孩子积极参与，体验成功。在愉悦的心理体验下，学生收获核心知识、掌握学科方法、深化学习理解方向效率更高。
1.正确认识学习主体的学习体验
让学生成为教学的主体。“学生主体”并不意味着学生的完全自学，应该是学生自学、教师导学、师生互学的有机结合。首先，教师要理解教学过程和知识形成过程之间的互为“倒转”关系。“教学行为”与“科学发现”比较起来是一个“倒过来”的过程，科学研究中的实践探索和试错的过程学生无需要经历，更多是直接接受人类经验。但是如果教学只考虑认识人类成果，不考虑学习者的能力水平、心理感受，那么这个教学就是以“教”为中心的灌输，而非是以“学”为中心的学习。
2.几何入门初期，要从“精讲多练”到“多讲精练”
“精讲多练”是针对“一言堂”提出的教学策略。在数学教学中，有谈“讲”色变的倾向，认为讲授学习就是“灌输”“填鸭”。但一种方法的好坏取决于教学对象的学习者特征，以及教学内容本身的难易程度。合作和探究是课堂改革的主要方向，发现学习和接受学习是学习的两种方式，在教学中都要出现。发展学生的数学核心素養对教师的“讲”提出了更高的要求：对每一个知识点，必须给学生讲清楚为什么要学、学什么、怎么学。“练”并不是越多越好，“练”是为了巩固和深化对“讲”的理解。要重点“练”对数学本质的理解、对数学思想方法的掌握，“练”要有助于对数学活动经验的积累和数学思维方法的感悟。因此，初中数学几何入门初期还是要以教师讲授为主，提倡“多讲精练”。多讲几何特有的学习框架、几何特有的学习要求，一方面，教师要毫无保留地给学生展示自己的思维过程，让学生从中学习思考问题的方法;另一方面，尽可能在各教学环节展现数学知识发生过程的思维活动，让学生在数学学习中经历过程，体验过程，从而提高思维品质。精练强调一题多解、一题多变有利于提高学习效率。问题思考的角度不同，解题思路就不同，不同的思路和方向更有利于发展学生思维能力;通过一题多变，能加深对数学题目的类比和推广，可以得出新的题目和解决问题办法，多变和多解，有助于培养学生的发散思维，增强学生面对新问题敢于联想、敢于创新的意识。
【参考文献】
[1]何小亚.数学教与学的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2011：112-118.
[2]田甜.课程背景下初中几何学习困难的研究[D].昆明：云南师范大学，2006.
[3]卫德彬.体验过程 收获真知[J].数学通报，2016（7）：18-20.
（作者单位：成都市武侯实验中学）