论文部分内容阅读
[摘要]在现代教育发展越来越快速的今天，人们知道的且要研究的领域越来越多，高等数学的研究也是必不可少的，在高等数学的研究中，泰勒公式是其领域内的一个非常重要的研究对象，泰勒公式在对高等数学的发展上有很大的作用，所以人们也越来越重视对泰勒公式的理解与应用，本文根据一些例子重点对泰勒公式在不等式和行列式中的应用进行分析。
[关键词]泰勒公式 不等式 行列式 应用
[中图分类号]O178 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2015）08-0251-02
泰勒公式是高等数学中的必不可少的计算公式，它在教学科研中积极的发挥着自己的作用，在解决数学难题中，将其优点可以发挥到最大化，泰勒公式在高等数学中的应用非常广泛，其中就包括在不等式与行列式中的具体应用，根据自身优点对数学教学或学术研究方面遇到的问题都能够有效的解决，所以，它可以提高我国高等数学的整体教育水平以及科研實力，同时能有效的开发学生的智慧，提高学生的思维能力，对其自身综合素质的发展也具有很大的作用。[1]
一、泰勒公式
（一）泰勒公式的定义
它主要是根据该函数的特性，对其进行分析并计算，为了准确且高效的对该函数进行求解，对其进行精准的分析并对其进行计算，我们可以使用泰勒公式将一些初等函数转换为幂函数进行计算，从而打破无理和超越函数的极限对其换算，在一定程度上省略了很多换算的步骤，这也是它能广泛应用于高等数学的一个重要特点。
（二）泰勒公式
二、泰勒公式在不等式和行列式中的应用
（一）泰勒公式在不等式中的应用
1.泰勒公式在证明定积分不等式中的应用。在有的数学证明题目中，已知了最高阶数符号，且该被积函数具有二阶或者以上连续可导性，就可以设置该函数的辅助函数，在该函数所需要的地方运用泰勒公式对其进行开展，可将其展开，再根据具体的题目要求运用介值定理或者放缩的技巧对该函数的余项进行合理的处理。[2]
例1.假设f（x）在（a，b）上单调增加，而且已知证明。
分析：根据该题的已知条件，我们可以知道二阶可导，所以当高阶导数存在时，我们应该运用泰勒公式对其进行分析并证明，该函数的左边有被积函数f（x），右边有（a，b），所以我们可以在点x处运用泰勒公式将其展开，使t=a，同时也让t=b。从而找出其中三者之间的关系，证明该题目。
根据函数的特性，我们在证明有关定积分不等式的过程中，为了使不等式在证明问题的过程中，能够比较明确易懂的证明，有时候会需要构造一个函数与泰勒公式和介值定理进行证明并相互使用。泰勒公式在对某一定点的证明问题上也有很大的作用。[3]
根据以上描述题目，我们了解一个步骤，在以后使用泰勒公式证明与定积分不等式有关的问题时，我们可以遵循这些步骤快速又准确的对其进行分析并证明，如：在用泰勒公式进行证明时，定积分不等式中必然会存在二阶或者二阶以上的导数，在函数中，在对不等式进行证明之前，可以先选一个展开点，然后在展开点的地方使用泰勒公式，可以使用介值定理对（a，b）进行合理的放缩。
2.泰勒公式在证明初等函数和幂函数不等式中的应用。在题目要求证明的不等式中有初等函数、三角函数、超越函数和幂函数相结合的证明问题时，应该选取合适的基本函数，利用泰勒公式中的迈克劳林展开式对要证明的题目问题进行有效的分析。
例2.并且已知要求证明该不等式。
在证明不等式的问题时，如果出现以下几种时，我们可以优先考虑泰勒公式的迈克劳林表达式，如已知的题目中已经告知含有一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或者超越函数与幂函数等。
3.泰勒公式在证明一般的不等式时的应用。对于证明一般不等式时我们则可以运用泰勒公式根据以下几个方面对其进行证明：首先我们根据此不等式中含有的高阶导数写出比已知的最高的导数要低一阶的泰勒展开式，而且要根据题目的特征，选择合适的等式，然后再根据题目中已知的最高阶导数的大小进行合理的放缩展开式。[4]
分析：从该题目中我们可以得知该函数连续可到并且直到最高阶导数，所以我们可以运用泰勒公式对其展开证明。
证明：根据题目以及泰勒公式可得知
（二）泰勒公式在行列式的计算方式中的应用
在行列式计算时，我们一般采用代数知识如递推法、数学的归纳法等进行有效的计算，很少会运用到微积分等知识原理进行行列式的计算，根据这个特点泰勒公式很适合运用于行列式的计算中。我们可以根据所求行列式的自身特点，对其先进行相应的研究，再对其构造相应的行列式函数，再把该行列式函数根据泰勒公式在某一个点展开并求出行列式函数的各阶导数值。
三、结束语
根据本文的描述，我们对泰勒公式的一些相关知识以及其在高等数学中的应用都有了一定的了解，它可以有效的解决高等数学中遇到的一系列难度较大的问题，是高等数学应用中必不可少的公式，我们根据泰勒公式在高等数学中的广泛应用，举例并说明了这一特征，但是为了使泰勒公式在教育方面有更大更高效的作用，我们还应对其进行深入的分析研究，从而将它的作用扩大到最大化，以便更好的适应现代教育并有效的解决现代教育遇到的一系列难题。
【参考文献】
[1]董海峰，孔文聪.泰勒公式及其应用[J].课程教育研究，2013（30）：185-187.
[2]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2015（01）：86-89.
[3]赖华丹.泰勒公式在数学研究中的应用研究[J].数学学习与研究，2014（23）：123.
[4]李艳萍.泰勒公式在数学研究中的应用[J].才智，2012（33）：66.
责任编辑：张丽
[关键词]泰勒公式 不等式 行列式 应用
[中图分类号]O178 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2015）08-0251-02
泰勒公式是高等数学中的必不可少的计算公式，它在教学科研中积极的发挥着自己的作用，在解决数学难题中，将其优点可以发挥到最大化，泰勒公式在高等数学中的应用非常广泛，其中就包括在不等式与行列式中的具体应用，根据自身优点对数学教学或学术研究方面遇到的问题都能够有效的解决，所以，它可以提高我国高等数学的整体教育水平以及科研實力，同时能有效的开发学生的智慧，提高学生的思维能力，对其自身综合素质的发展也具有很大的作用。[1]
一、泰勒公式
（一）泰勒公式的定义
它主要是根据该函数的特性，对其进行分析并计算，为了准确且高效的对该函数进行求解，对其进行精准的分析并对其进行计算，我们可以使用泰勒公式将一些初等函数转换为幂函数进行计算，从而打破无理和超越函数的极限对其换算，在一定程度上省略了很多换算的步骤，这也是它能广泛应用于高等数学的一个重要特点。
（二）泰勒公式
二、泰勒公式在不等式和行列式中的应用
（一）泰勒公式在不等式中的应用
1.泰勒公式在证明定积分不等式中的应用。在有的数学证明题目中，已知了最高阶数符号，且该被积函数具有二阶或者以上连续可导性，就可以设置该函数的辅助函数，在该函数所需要的地方运用泰勒公式对其进行开展，可将其展开，再根据具体的题目要求运用介值定理或者放缩的技巧对该函数的余项进行合理的处理。[2]
例1.假设f（x）在（a，b）上单调增加，而且已知证明。
分析：根据该题的已知条件，我们可以知道二阶可导，所以当高阶导数存在时，我们应该运用泰勒公式对其进行分析并证明，该函数的左边有被积函数f（x），右边有（a，b），所以我们可以在点x处运用泰勒公式将其展开，使t=a，同时也让t=b。从而找出其中三者之间的关系，证明该题目。
根据函数的特性，我们在证明有关定积分不等式的过程中，为了使不等式在证明问题的过程中，能够比较明确易懂的证明，有时候会需要构造一个函数与泰勒公式和介值定理进行证明并相互使用。泰勒公式在对某一定点的证明问题上也有很大的作用。[3]
根据以上描述题目，我们了解一个步骤，在以后使用泰勒公式证明与定积分不等式有关的问题时，我们可以遵循这些步骤快速又准确的对其进行分析并证明，如：在用泰勒公式进行证明时，定积分不等式中必然会存在二阶或者二阶以上的导数，在函数中，在对不等式进行证明之前，可以先选一个展开点，然后在展开点的地方使用泰勒公式，可以使用介值定理对（a，b）进行合理的放缩。
2.泰勒公式在证明初等函数和幂函数不等式中的应用。在题目要求证明的不等式中有初等函数、三角函数、超越函数和幂函数相结合的证明问题时，应该选取合适的基本函数，利用泰勒公式中的迈克劳林展开式对要证明的题目问题进行有效的分析。
例2.并且已知要求证明该不等式。
在证明不等式的问题时，如果出现以下几种时，我们可以优先考虑泰勒公式的迈克劳林表达式，如已知的题目中已经告知含有一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或者超越函数与幂函数等。
3.泰勒公式在证明一般的不等式时的应用。对于证明一般不等式时我们则可以运用泰勒公式根据以下几个方面对其进行证明：首先我们根据此不等式中含有的高阶导数写出比已知的最高的导数要低一阶的泰勒展开式，而且要根据题目的特征，选择合适的等式，然后再根据题目中已知的最高阶导数的大小进行合理的放缩展开式。[4]
分析：从该题目中我们可以得知该函数连续可到并且直到最高阶导数，所以我们可以运用泰勒公式对其展开证明。
证明：根据题目以及泰勒公式可得知
（二）泰勒公式在行列式的计算方式中的应用
在行列式计算时，我们一般采用代数知识如递推法、数学的归纳法等进行有效的计算，很少会运用到微积分等知识原理进行行列式的计算，根据这个特点泰勒公式很适合运用于行列式的计算中。我们可以根据所求行列式的自身特点，对其先进行相应的研究，再对其构造相应的行列式函数，再把该行列式函数根据泰勒公式在某一个点展开并求出行列式函数的各阶导数值。
三、结束语
根据本文的描述，我们对泰勒公式的一些相关知识以及其在高等数学中的应用都有了一定的了解，它可以有效的解决高等数学中遇到的一系列难度较大的问题，是高等数学应用中必不可少的公式，我们根据泰勒公式在高等数学中的广泛应用，举例并说明了这一特征，但是为了使泰勒公式在教育方面有更大更高效的作用，我们还应对其进行深入的分析研究，从而将它的作用扩大到最大化，以便更好的适应现代教育并有效的解决现代教育遇到的一系列难题。
【参考文献】
[1]董海峰，孔文聪.泰勒公式及其应用[J].课程教育研究，2013（30）：185-187.
[2]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2015（01）：86-89.
[3]赖华丹.泰勒公式在数学研究中的应用研究[J].数学学习与研究，2014（23）：123.
[4]李艳萍.泰勒公式在数学研究中的应用[J].才智，2012（33）：66.
责任编辑：张丽