[摘 要] 《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究. 文章将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广.
　　[关键词] 优美不等式；证明；推广
　　《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究，下面本文将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广.
　　问题（第23个优美不等式）在△ABC中，求证：
　　 ≥
　　证明：设？摇 =s，
　　则=，=，
　　=，其中bi>0（i=1，2，3），
　　所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，
　　1-sinCsinA=，3-（sinA·sinB sinBsinC sinCsinA）=.
　　在△ABC中，有sinAsinB sinBsinC sinCsinA=，其中p，R，r分别为△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径.
　　由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，
　　所以sinAsinB sinBsinC sinCsinA≤=，
　　等号成立当且仅当A=B=C=，所以3-（sinAsinB sinBsinC sinCsinA）≥，
　　所以s3≥（1）.
　　要使不等式（1）对bi>0（i=1，2，3）恒成立，必须有s3≥max·.
　　又由幂平均不等式知≥，
　　所以≤9，所以s3≥×9，即s≥，
　　故 ≥.
　　等号成立当且仅当A=B=C=.
　　推广：在△ABC中，n∈N*，求证： ≥·，等号成立当且仅当A=B=C=.
　　证明：设s= （n∈N ），
　　则=，=，
　　=，其中bi>0（i=1，2，3）.
　　所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，
　　1-sinCsinA=，
　　所以3-（sinAsinB sinBsinC sinCsinA）=.
　　在△ABC中，有sinAsinB sinBsinC sinCsinA=，其中p，R，r分别是△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径，
　　由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，
　　所以sinAsinB sinBsinC sinCsinA≤=，
　　等號成立当且仅当A=B=C=.
　　所以3-（sinAsinB sinBsinC sinCsinA）≥，
　　所以sn≥·（2）.
　　要使不等式（2）对于bi>0（i=1，2，3），n∈N 恒成立，必须有
　　sn≥max·.
　　又由幂平均不等式知≥，所以≤3n-1，
　　所以sn≥×3n-1，
　　即s≥，
　　故 ≥，
　　等号成立当且仅当A=B=C=.
　　在《“柯西不等式”引领不等式证明》中，提出问题5：在△ABC中，设n∈N 且n≥4，求证：∑>2，其中∑表示循环和.
　　其实比问题5更强命题是：在△ABC中，设n∈N 且n≥4，求证：
　　∑≥>2.
　　事实上，当n=1时，在△ABC中，求证：∑（1-sinAsinB）≥；
　　当n=2时，在△ABC中，求证：∑≥；
　　当n≥4时，在△ABC中，求证：∑≥；
　　当n=3时，在△ABC中，n∈N ，求证：Σ≥>2.
　　因为>2×2n-2>2n>2n>4. 因为n≥4，≥=>4，
　　故原不等式成立.