论文部分内容阅读
一、轻风级
庄库买了智力拼图、玩具汽车和航模三种玩具，已知它们的数目是各不相同的质数，而且满足“智力拼图数×(玩具汽车数 航模数)=110 航模数”，问庄库买了多少个玩具汽车?
思路点击：用奇偶分析法解答。
因为智力拼图、玩具汽车和航模的数目是各不相同的质数，若都是奇数，则等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾，所以必有一个质数是偶数，唯一的偶质数就是2。其他的两个质数就是奇数了。
(1)如果智力拼图数是2，则等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾。
(2)如果航模数是2，则等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾。
(3)所以只能是玩具汽车数是2。
智慧存档：
质数中唯一的偶数是2，2在质数中比较特殊。有关质数问题的许多赛题都与它有关。同学们要结合奇偶分析法解题。
模拟操练(一)
(1)两个质数的和是80，这两个质数的积最大是多少?
(提示：两个数的和一定，差越小，积越大)
(2)已知A×B 13=x，其中A、B均为小于1000的质数，x是奇数。那么x的最大值是多少?
二、微风级
判断109和437是质数还是合数。
思路点击：对于一个不很大的自然数n(n＞1，为非完全平方数)可以用质数试除的方法判断它是质数还是合数。先找出一个大于n的最小的完全平方数a2，再写出a以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数；如果有一个质数能整除n，那么n是合数。
109＜112，而11以内的质数有2、3、5、7，他们都不能整除109，所以109是质数。
437＜441，21以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，用每一个质数逐一去试除，19能够整除437，所以437是合数。
智慧存档：
对于一个不很大的自然数n，要判断它是质数还是台数，可以先找出一个大于n的最小的完全平方数a2，再写出a以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数；如果有一个质数能整除n，那么n是合数。
模拟操练(二)
判断119和227是质数还是合数。
三、和风级
明明、茜茜和乐乐是住在一个小区的三个数学迷，他们的年龄一个比一个大5岁，乐乐最大，茜茜最小。已知他们年龄数的乘积是1 620。你知道他们三人各有多少岁吗?
思路点击：
用分解质因数的方法先将1620进行分解，然后根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件将分解出来的质因数进行组合。
因为1620=2×2×3×3×3×3×5 ……分解
=9×12×15……组合
所以乐乐是15岁，明明是12岁，茜茜是9岁。
智慧存档：
先分解质因数，再根据题意将分解的质因数进行重新组台，这种方法在小学数学解题中经常用到。
四、清风级
班主任老师带领学生去种树，学生平均分成5组，师生每人种树棵数相等，已知师生共种树572棵。一共有多少个学生?每人种多少棵树?
思路点击：
由题意可知，师生人数和每人种树棵数都是572的约数，学生人数是3的倍数，再加上1位老师，师生人数除以3余1。将572分解质因数得：572＝2×2×11×13=每人种树棵树×人数。
按照题意搭配重组得出：572＝11×(13×2×2)=11×(51 1)。所以这个班共有学生51人，每人种树1 1棵。
智慧存档：
分解后的重组要根据题目的条件，结合数量关系式具体安排。
模拟操练(四)
(1)小华翻开《数学大王》看了看这相邻两页的页码数，发现它们的积是210。你知道这两个页码各是多少吗?
(2)杨老师用216元钱买了一种笔记本，正好将钱用完。如果每本笔记本便宜1元，则可多买5本，钱也正好用完。杨老师一共买了多少本笔记本?
五、强风级
一个不为0的自然数A与1080的乘积是一个完全平方数。求A的最小值和这个完全平方数。
思路点击：
一个完全平方数分解质因数后各质因数的个数一定是偶数个(写成各质因数的若干次方的形式，指数是偶数)。因为1080 x A=23×33×5×A，又因为1080=23×33×5的质因数中各质因数的指数都是奇数，所以A肯定包含质因数2、3、5，要凑成完全平方数A最小为2×3 ×5=30，这样所有质因数的指数都成了偶数。这个完全平方数就是1080÷A=1080×30=32400。
智慧存档：
完全平方数的尾数一定是0、1、4、5、6、9。奇数的平方是奇数，尾数只能是1、5、9。偶数的平方是偶数，其尾数只能是0、4、6。
模拟操练(五)
1512乘一个不为零的自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
六、疾风级
一个自然数可以分解为3个质因数的积，如果这3个质因数的平方和为39630，求这个自然数。
思路点击：
因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，而39630是偶数，所以三个质因数的平方的奇偶性只能是两奇一偶，于是3个质因数也只能是两奇一偶。可以肯定有一个质因数是2。那么另两个质因数的平方和为39630-22=89626，而奇数平方的末位数只能是1、5、9。所以这两个质因数的平方的末位数字为1和5，于是可以确定有一个质因数是5。还剩下一个质因数的平方为39626-52=39601，用估算的方法可得1992=39601，因此有个质因数是199。所以所求自然数为2×5×199＝1990。
模拟操练(六)
算式1 1×2 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×4×5 1×2×2×3×3×5× 6的得数是否可能为完全平方数?
七、大风级
在100至300之间，只有三个因数的数有哪些?
思路点击：
因为只有3个因数的数一定是质数的平方数。而在100至300之间共有7个平方数：112、122、132……172。只有11、13、17是质数。所以只有三个因数的数是：121(112) 169(132) 289(172)。
智慧存档：
完全平方数有奇数个因数，只有奇数个因数的自然数是完全平方数。只有3 个因数的数一定是质数的平方数。
模拟操练(七)
在150至550之间，只有三个因数的数有哪些?
八、烈风级
要使乘积195×86×72×380×□的末5位都是零，□中应填入的自然数最小应该是多少?
思路点击：
乘积中只要含有质因数2和5各一个，乘积末尾就出现1个零。根据题意可知乘积中应该含有质因数2和5各5个，可以将195、86、72、380都分解质因数，找一找各有几个2和5，不足5个的就是口中应该补足的。
195×86×72×380＝5×3×1 3×2×43×2×2×2×3×3×2×2×5×19=52×26×33×13×19×43，可知还缺53。所以□中最小填53=125。
智慧存档：
在所有的质因数中，只有2与5的乘积的末尾有零，且只有一个零，因此一个质因数相乘的式子中含有几个2与5的积，其末尾就有几个零。
模拟操练(八)
要使乘积25×26×27×28×29×30×□的末5位都是零，□中应填入的自然数最小应该是多少?
九、狂风级
360的因数有多少个?360的因数的和是多少?
思路点击：
如果找一个比较小的数的因数，可以用列举法，但是写出一个较大的数的因数就比较麻烦了。可以借助分解质因数的方法。
因为360=23×32×5，23有1、2、22、23四种因数情况；32有1、3、32三种因数情况；5有1、5两种因数情况，所以360有4×3×2=24(个)因数，即(3 1)×(2 1)×(1 1)=24(个)(指数加1连乘)。
360的所有因数的和是(1 2 22 23)×(1 3 32)×(1 5)=1170。
智慧存档：
一个大于1的整数的因数个数等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。
模拟操练(九)
(1)600的因数有多少个?并求出这些因数的和是多少。
(2)筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不是一个一个地拿，要求每次拿的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法?
十、暴风级
有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少?
思路点击：因为8=1×8=2×4=2×2×2＝(7 1)：(1 1)×(3 1)=(1 1)×(1 1)×(1 1)
若令a、b、c为较小的三个不同的质数，那么所求的自然数只能有三种情况：a7、a×b3、a×b×c。最小的三个质数是2、3、5。所以a7=27=128，a×b3：3×23：24，a×b×c=2×3×5=30。所以最小的一个是24。
模拟操练(十)
有一个自然数含有8个不同的因数，但质因数只含有5和5，那么这个自然数最大是几?
庄库买了智力拼图、玩具汽车和航模三种玩具，已知它们的数目是各不相同的质数，而且满足“智力拼图数×(玩具汽车数 航模数)=110 航模数”，问庄库买了多少个玩具汽车?
思路点击：用奇偶分析法解答。
因为智力拼图、玩具汽车和航模的数目是各不相同的质数，若都是奇数，则等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾，所以必有一个质数是偶数，唯一的偶质数就是2。其他的两个质数就是奇数了。
(1)如果智力拼图数是2，则等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾。
(2)如果航模数是2，则等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾。
(3)所以只能是玩具汽车数是2。
智慧存档：
质数中唯一的偶数是2，2在质数中比较特殊。有关质数问题的许多赛题都与它有关。同学们要结合奇偶分析法解题。
模拟操练(一)
(1)两个质数的和是80，这两个质数的积最大是多少?
(提示：两个数的和一定，差越小，积越大)
(2)已知A×B 13=x，其中A、B均为小于1000的质数，x是奇数。那么x的最大值是多少?
二、微风级
判断109和437是质数还是合数。
思路点击：对于一个不很大的自然数n(n＞1，为非完全平方数)可以用质数试除的方法判断它是质数还是合数。先找出一个大于n的最小的完全平方数a2，再写出a以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数；如果有一个质数能整除n，那么n是合数。
109＜112，而11以内的质数有2、3、5、7，他们都不能整除109，所以109是质数。
437＜441，21以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，用每一个质数逐一去试除，19能够整除437，所以437是合数。
智慧存档：
对于一个不很大的自然数n，要判断它是质数还是台数，可以先找出一个大于n的最小的完全平方数a2，再写出a以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数；如果有一个质数能整除n，那么n是合数。
模拟操练(二)
判断119和227是质数还是合数。
三、和风级
明明、茜茜和乐乐是住在一个小区的三个数学迷，他们的年龄一个比一个大5岁，乐乐最大，茜茜最小。已知他们年龄数的乘积是1 620。你知道他们三人各有多少岁吗?
思路点击：
用分解质因数的方法先将1620进行分解，然后根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件将分解出来的质因数进行组合。
因为1620=2×2×3×3×3×3×5 ……分解
=9×12×15……组合
所以乐乐是15岁，明明是12岁，茜茜是9岁。
智慧存档：
先分解质因数，再根据题意将分解的质因数进行重新组台，这种方法在小学数学解题中经常用到。
四、清风级
班主任老师带领学生去种树，学生平均分成5组，师生每人种树棵数相等，已知师生共种树572棵。一共有多少个学生?每人种多少棵树?
思路点击：
由题意可知，师生人数和每人种树棵数都是572的约数，学生人数是3的倍数，再加上1位老师，师生人数除以3余1。将572分解质因数得：572＝2×2×11×13=每人种树棵树×人数。
按照题意搭配重组得出：572＝11×(13×2×2)=11×(51 1)。所以这个班共有学生51人，每人种树1 1棵。
智慧存档：
分解后的重组要根据题目的条件，结合数量关系式具体安排。
模拟操练(四)
(1)小华翻开《数学大王》看了看这相邻两页的页码数，发现它们的积是210。你知道这两个页码各是多少吗?
(2)杨老师用216元钱买了一种笔记本，正好将钱用完。如果每本笔记本便宜1元，则可多买5本，钱也正好用完。杨老师一共买了多少本笔记本?
五、强风级
一个不为0的自然数A与1080的乘积是一个完全平方数。求A的最小值和这个完全平方数。
思路点击：
一个完全平方数分解质因数后各质因数的个数一定是偶数个(写成各质因数的若干次方的形式，指数是偶数)。因为1080 x A=23×33×5×A，又因为1080=23×33×5的质因数中各质因数的指数都是奇数，所以A肯定包含质因数2、3、5，要凑成完全平方数A最小为2×3 ×5=30，这样所有质因数的指数都成了偶数。这个完全平方数就是1080÷A=1080×30=32400。
智慧存档：
完全平方数的尾数一定是0、1、4、5、6、9。奇数的平方是奇数，尾数只能是1、5、9。偶数的平方是偶数，其尾数只能是0、4、6。
模拟操练(五)
1512乘一个不为零的自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
六、疾风级
一个自然数可以分解为3个质因数的积，如果这3个质因数的平方和为39630，求这个自然数。
思路点击：
因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，而39630是偶数，所以三个质因数的平方的奇偶性只能是两奇一偶，于是3个质因数也只能是两奇一偶。可以肯定有一个质因数是2。那么另两个质因数的平方和为39630-22=89626，而奇数平方的末位数只能是1、5、9。所以这两个质因数的平方的末位数字为1和5，于是可以确定有一个质因数是5。还剩下一个质因数的平方为39626-52=39601，用估算的方法可得1992=39601，因此有个质因数是199。所以所求自然数为2×5×199＝1990。
模拟操练(六)
算式1 1×2 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×4×5 1×2×2×3×3×5× 6的得数是否可能为完全平方数?
七、大风级
在100至300之间，只有三个因数的数有哪些?
思路点击：
因为只有3个因数的数一定是质数的平方数。而在100至300之间共有7个平方数：112、122、132……172。只有11、13、17是质数。所以只有三个因数的数是：121(112) 169(132) 289(172)。
智慧存档：
完全平方数有奇数个因数，只有奇数个因数的自然数是完全平方数。只有3 个因数的数一定是质数的平方数。
模拟操练(七)
在150至550之间，只有三个因数的数有哪些?
八、烈风级
要使乘积195×86×72×380×□的末5位都是零，□中应填入的自然数最小应该是多少?
思路点击：
乘积中只要含有质因数2和5各一个，乘积末尾就出现1个零。根据题意可知乘积中应该含有质因数2和5各5个，可以将195、86、72、380都分解质因数，找一找各有几个2和5，不足5个的就是口中应该补足的。
195×86×72×380＝5×3×1 3×2×43×2×2×2×3×3×2×2×5×19=52×26×33×13×19×43，可知还缺53。所以□中最小填53=125。
智慧存档：
在所有的质因数中，只有2与5的乘积的末尾有零，且只有一个零，因此一个质因数相乘的式子中含有几个2与5的积，其末尾就有几个零。
模拟操练(八)
要使乘积25×26×27×28×29×30×□的末5位都是零，□中应填入的自然数最小应该是多少?
九、狂风级
360的因数有多少个?360的因数的和是多少?
思路点击：
如果找一个比较小的数的因数，可以用列举法，但是写出一个较大的数的因数就比较麻烦了。可以借助分解质因数的方法。
因为360=23×32×5，23有1、2、22、23四种因数情况；32有1、3、32三种因数情况；5有1、5两种因数情况，所以360有4×3×2=24(个)因数，即(3 1)×(2 1)×(1 1)=24(个)(指数加1连乘)。
360的所有因数的和是(1 2 22 23)×(1 3 32)×(1 5)=1170。
智慧存档：
一个大于1的整数的因数个数等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。
模拟操练(九)
(1)600的因数有多少个?并求出这些因数的和是多少。
(2)筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不是一个一个地拿，要求每次拿的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法?
十、暴风级
有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少?
思路点击：因为8=1×8=2×4=2×2×2＝(7 1)：(1 1)×(3 1)=(1 1)×(1 1)×(1 1)
若令a、b、c为较小的三个不同的质数，那么所求的自然数只能有三种情况：a7、a×b3、a×b×c。最小的三个质数是2、3、5。所以a7=27=128，a×b3：3×23：24，a×b×c=2×3×5=30。所以最小的一个是24。
模拟操练(十)
有一个自然数含有8个不同的因数，但质因数只含有5和5，那么这个自然数最大是几?