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有效教学是教育界永恒追求的目标，远至孔子，近至夸美纽斯、加涅，从古至今无研究者不想攻克这个难题。那么教师如何才能做到有效教学呢？教师的思维方式、教学方法运用是否恰当，不是教师说了算，必须以学生在学习过程中的间断性反馈或学习结果作为评判的依据。因此，教师只有立足于学生实际，才能合理地选用真正适合学生的教与学的方法。
【教学案例】
二年级学生做过这样一道推理题：
小林：我比小凡大3岁。
小凡：我比小明小2岁。
小明：……
请按从大到小的顺序把他们的名字写出来。（ ）>（ ）>（ ）
结果发现：“小凡最小”错的学生很少，而“小林与小明谁大谁小”错的学生比较普遍。于是有了下面笔者与学生的交流过程。
师：这道题，你们是怎么想的？
生1：小林说“我比小凡大3岁”，说明小林比小凡大。小凡说“我比小明小2岁”，说明小凡比小明小。所以最大是小林，第二是小明，第三是小凡。
师：为什么小林最大呢？（生1迟疑着答不上来）
师：有哪位小朋友能讲得更清楚？
生2：小林说“我比小凡大3岁”，说明小凡比小林小。小凡说“我比小明小2岁”，说明小凡比小明还要小。那么说明小凡最小。
师：嗯，从他的表达中，让我们明白了什么？（生齐答：小凡最小）对，小凡是最小的。那么小明与小林到底谁应该是最大的呢？
生3：小凡说“我比小明小2岁”，倒过来可以说“小明比小凡大2岁”。小林说“我比小凡大3岁”，小林比小凡大了3岁，小明比小凡大2岁，说明小林比小明大1岁。所以小林第一，小明第二，小凡最小。
师：很好。谁也听清楚了？
看到举手跃跃欲试的只有少数几位学生，笔者自己又重新叙述一遍推理过程。
师（再问）：哪些小朋友听清楚了？
生4：小林说“我比小凡大3岁”，说明小凡比小林小3岁。小凡说“我比小明小2岁”，小凡比小明小2岁，小凡比小林小了3岁，说明小林最大，小明第二，小凡最小。
这时笔者观察到大多数学生仍是满头雾水，一双双充满疑惑的眼睛透露着无奈，想起上一届学生对这道题也存在着同样的不理解。笔者内心急得像热锅上的蚂蚁，但不急着结束此题讲解，仍等待学生消化这一知识，希望结果能出现转机。笔者又叫一位学生说说思考过程，没想到他的回答起到了“柳暗花明又一村”的效果。
生5：小林说“我比小凡大3岁”，如果小凡是10岁的话，小林是10 3=13（岁）。小凡说“我比小明小2岁”，那意思是小明比小凡大2岁，小明应该是10 2=12（岁）。（笔者已根据他的回答在每句信息下面写出了算式）
生6迫不及待地接着说：假设小凡是10岁，那么小林是13岁，小明是12岁，最大是小林，第二是小明，第三是小凡。
这时，笔者看到刚才还不知所措的学生眼前一亮，恍然大悟似的，都笑着点头表示听明白了，并纷纷举手要求也来说说思考过程。
师：感谢刚才两位小朋友的发言，让我们终于弄清楚了图上三位小朋友的年龄关系。他们刚才用了什么办法让我们听得更明白了？谁也能学着他们的方法来说说你的思考过程……
【教学反思】
诸如以上情况在教学过程中经常会出现，教师往往认为已经讲得很清楚的内容，学生却仍旧疑惑不解。在这种情况下，教师即使重复讲解多遍，收效仍然甚微。于是教师就会妄下结论，学生如此之笨，而事实上其中的原因有可能也是教师自身造成的。这个实例让笔者深刻体会到了以下三点。
一、感性具象，撑思维理解
数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学。学生有效的学习是一种以思维为核心的理解性学习，教学最终必须落实到学生对教学内容的意义建构上。所以需要依据学生的最近发展区以及课堂的教学目标，智慧准确地判断出用什么方式方法才能让学生听懂知识、理解知识、掌握知识。
从教学内容来分析，题目属于一道“简单推理题”，前面生3、生4的推理过程缜密得无可挑剔。可为什么大部分学生仍听不明白呢？原来，一个小学二年级的学生还是以具体形象思维为主，生3讲的“小明比小凡大2岁，小林比小凡大了3岁，说明小林比小明大1岁”，在没有任何辅助手段作依托的情况下，对这句话的理解与推理还是存在相当大的跳跃性。对生4讲的“小凡比小明小2岁，小凡比小林小了3岁，说明小林最大”，同样也存在着无法理解的现实。
一个人认识一种数量关系，需要经过具象—表象—抽象的过程（张奠宙）。以具体形象思维为主的小学生，借助丰富的感性材料，比如主题图、学具、简单示意图、线段图等，可以看得见摸得着，比较具体形象。然后是脑子里画图，形成思维表象，把复杂的数学问题变得简明、形象、生动。最后，直接面对数量关系，完全抽象地进行思考。假设“小凡是10岁”，使他的年龄得以具体化，一个假设信息可以较顺利地沟通信息与问题之间的关系，有效帮助学生获得感受、体验与理解，从而顺利解决问题。
所以教师在教学过程中碰到学生无法理解与掌握的知识时，必须跳出成人固定的思维模式，深入了解学生的思维需求，创造性地寻找一种具象，有效支撑抽象思维，运用可以理解的思维方式展开学习。
二、差异教学，助认识丰富
由于学生个体的生活环境、已有经验、知识背景和智力发育的不同，在数学学习过程中必然存在着“差异”。教师如果能尊重、正视差异，并根据这种差异设计、组织开展教学活动，可以让每个学生都得到全面的、充分的发展。
学生的学习差异首先表现为学习能力的差异。在数学学习过程中，有的学生感知敏锐、观察能力强、思维灵活、理解与掌握知识较快，总是一点就通；而有的学生则感知迟钝、观察能力弱、思维断层、理解掌握知识较慢、易出错，讲了多遍的知识点还是表现出后知后觉的样子。实施差异教学，对不同的学生可以制订不同的学习目标，这样利于激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。 学生的学习差异也表现在思维的差异上，有的倾向于直觉思维，有的倾向于借助形象思维分析问题，有的倾向于抽象逻辑思考。前面教学中的生3、生4就是属于后者，而大部分学生在这道题上还不善于层层抽象推理，运用假设法不失为是一种很好的解决问题的策略。学生由于思维水平的差异，解决同一个问题会有各种不同的思考角度，产生“百家争鸣”的现象，形成对数学问题的丰富认识。
有效教学有时依赖于教师对教学策略的选择上。尊重差异，正视差异，可以让每个学生得以和谐发展。
三、还话语权，促知识建构
美国教育家弗兰德斯通过调查发现了所谓的三分之二规则：在课堂教学中，大约有三分之二的课堂时间要用来师生讲话。其中，大约三分之二的讲话时间是教师在讲话。教师的讲话中，大约有三分之二是直接影响学生的（如讲授、指导、控制、批评等）。而进一步的调查发现，这些影响学生的教师讲话中，大约有三分之二无法起到其应有的作用。既然如此，那么教师就应将话语权还给学生。
把话语权还给学生，宽容学生的错误和认识缺陷，耐心等待学生的自主学习、自主发展。当发现问题时，不要急于草草收场，也不要用教师的“讲”来代替学生的“思”，而是要为学生多创造一点思考的情境，多一点思考的时间，要舍得花时间进行适度等待。吴正宪老师曾说过：“等待是一种教学理念；等待是一种教学策略；等待是一种教学艺术。”等待学生找到适合自己思维的方法，等待他们学会运用已有的经验来表达自己的想法，等待他们把新知识纳入自己已有的知识结构中，知识领域得以开拓、思维得到启迪。
对于学习个体来说，不是拥有话语权就能主动发展了，倾听在数学课堂学习中同样起着非常重要的作用。“听”是获取外界信息、提炼信息并内化信息的主要渠道，有效的倾听能促进师生之间、生生之间的信息多向、立体互动的交流。引领学生带着自己的观点倾听与思考别人的发言，及时调整自己的观点，又要学会合理地评价、质疑别人的发言。使学生的思维由表层走向深入，促进知识的内化建构。
总之，教是为学服务的，教无定法，关键要看哪种方式对学生的知识建构最为有效。当教师上出一节失败的课、遇到学生无法理解与掌握的知识时，不要总是一味地责怪学生的无能，要多在自己身上寻找失败的症结，也许是教学方式方法上存在着与学生实际需求的不匹配。所以，教师要读懂学生的需求，从学生实际出发，寻找到适合学生的最佳教学策略，从而实现有效教学。
（浙江省桐乡市崇德小学语溪校区 314511）
【教学案例】
二年级学生做过这样一道推理题：
小林：我比小凡大3岁。
小凡：我比小明小2岁。
小明：……
请按从大到小的顺序把他们的名字写出来。（ ）>（ ）>（ ）
结果发现：“小凡最小”错的学生很少，而“小林与小明谁大谁小”错的学生比较普遍。于是有了下面笔者与学生的交流过程。
师：这道题，你们是怎么想的？
生1：小林说“我比小凡大3岁”，说明小林比小凡大。小凡说“我比小明小2岁”，说明小凡比小明小。所以最大是小林，第二是小明，第三是小凡。
师：为什么小林最大呢？（生1迟疑着答不上来）
师：有哪位小朋友能讲得更清楚？
生2：小林说“我比小凡大3岁”，说明小凡比小林小。小凡说“我比小明小2岁”，说明小凡比小明还要小。那么说明小凡最小。
师：嗯，从他的表达中，让我们明白了什么？（生齐答：小凡最小）对，小凡是最小的。那么小明与小林到底谁应该是最大的呢？
生3：小凡说“我比小明小2岁”，倒过来可以说“小明比小凡大2岁”。小林说“我比小凡大3岁”，小林比小凡大了3岁，小明比小凡大2岁，说明小林比小明大1岁。所以小林第一，小明第二，小凡最小。
师：很好。谁也听清楚了？
看到举手跃跃欲试的只有少数几位学生，笔者自己又重新叙述一遍推理过程。
师（再问）：哪些小朋友听清楚了？
生4：小林说“我比小凡大3岁”，说明小凡比小林小3岁。小凡说“我比小明小2岁”，小凡比小明小2岁，小凡比小林小了3岁，说明小林最大，小明第二，小凡最小。
这时笔者观察到大多数学生仍是满头雾水，一双双充满疑惑的眼睛透露着无奈，想起上一届学生对这道题也存在着同样的不理解。笔者内心急得像热锅上的蚂蚁，但不急着结束此题讲解，仍等待学生消化这一知识，希望结果能出现转机。笔者又叫一位学生说说思考过程，没想到他的回答起到了“柳暗花明又一村”的效果。
生5：小林说“我比小凡大3岁”，如果小凡是10岁的话，小林是10 3=13（岁）。小凡说“我比小明小2岁”，那意思是小明比小凡大2岁，小明应该是10 2=12（岁）。（笔者已根据他的回答在每句信息下面写出了算式）
生6迫不及待地接着说：假设小凡是10岁，那么小林是13岁，小明是12岁，最大是小林，第二是小明，第三是小凡。
这时，笔者看到刚才还不知所措的学生眼前一亮，恍然大悟似的，都笑着点头表示听明白了，并纷纷举手要求也来说说思考过程。
师：感谢刚才两位小朋友的发言，让我们终于弄清楚了图上三位小朋友的年龄关系。他们刚才用了什么办法让我们听得更明白了？谁也能学着他们的方法来说说你的思考过程……
【教学反思】
诸如以上情况在教学过程中经常会出现，教师往往认为已经讲得很清楚的内容，学生却仍旧疑惑不解。在这种情况下，教师即使重复讲解多遍，收效仍然甚微。于是教师就会妄下结论，学生如此之笨，而事实上其中的原因有可能也是教师自身造成的。这个实例让笔者深刻体会到了以下三点。
一、感性具象，撑思维理解
数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学。学生有效的学习是一种以思维为核心的理解性学习，教学最终必须落实到学生对教学内容的意义建构上。所以需要依据学生的最近发展区以及课堂的教学目标，智慧准确地判断出用什么方式方法才能让学生听懂知识、理解知识、掌握知识。
从教学内容来分析，题目属于一道“简单推理题”，前面生3、生4的推理过程缜密得无可挑剔。可为什么大部分学生仍听不明白呢？原来，一个小学二年级的学生还是以具体形象思维为主，生3讲的“小明比小凡大2岁，小林比小凡大了3岁，说明小林比小明大1岁”，在没有任何辅助手段作依托的情况下，对这句话的理解与推理还是存在相当大的跳跃性。对生4讲的“小凡比小明小2岁，小凡比小林小了3岁，说明小林最大”，同样也存在着无法理解的现实。
一个人认识一种数量关系，需要经过具象—表象—抽象的过程（张奠宙）。以具体形象思维为主的小学生，借助丰富的感性材料，比如主题图、学具、简单示意图、线段图等，可以看得见摸得着，比较具体形象。然后是脑子里画图，形成思维表象，把复杂的数学问题变得简明、形象、生动。最后，直接面对数量关系，完全抽象地进行思考。假设“小凡是10岁”，使他的年龄得以具体化，一个假设信息可以较顺利地沟通信息与问题之间的关系，有效帮助学生获得感受、体验与理解，从而顺利解决问题。
所以教师在教学过程中碰到学生无法理解与掌握的知识时，必须跳出成人固定的思维模式，深入了解学生的思维需求，创造性地寻找一种具象，有效支撑抽象思维，运用可以理解的思维方式展开学习。
二、差异教学，助认识丰富
由于学生个体的生活环境、已有经验、知识背景和智力发育的不同，在数学学习过程中必然存在着“差异”。教师如果能尊重、正视差异，并根据这种差异设计、组织开展教学活动，可以让每个学生都得到全面的、充分的发展。
学生的学习差异首先表现为学习能力的差异。在数学学习过程中，有的学生感知敏锐、观察能力强、思维灵活、理解与掌握知识较快，总是一点就通；而有的学生则感知迟钝、观察能力弱、思维断层、理解掌握知识较慢、易出错，讲了多遍的知识点还是表现出后知后觉的样子。实施差异教学，对不同的学生可以制订不同的学习目标，这样利于激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。 学生的学习差异也表现在思维的差异上，有的倾向于直觉思维，有的倾向于借助形象思维分析问题，有的倾向于抽象逻辑思考。前面教学中的生3、生4就是属于后者，而大部分学生在这道题上还不善于层层抽象推理，运用假设法不失为是一种很好的解决问题的策略。学生由于思维水平的差异，解决同一个问题会有各种不同的思考角度，产生“百家争鸣”的现象，形成对数学问题的丰富认识。
有效教学有时依赖于教师对教学策略的选择上。尊重差异，正视差异，可以让每个学生得以和谐发展。
三、还话语权，促知识建构
美国教育家弗兰德斯通过调查发现了所谓的三分之二规则：在课堂教学中，大约有三分之二的课堂时间要用来师生讲话。其中，大约三分之二的讲话时间是教师在讲话。教师的讲话中，大约有三分之二是直接影响学生的（如讲授、指导、控制、批评等）。而进一步的调查发现，这些影响学生的教师讲话中，大约有三分之二无法起到其应有的作用。既然如此，那么教师就应将话语权还给学生。
把话语权还给学生，宽容学生的错误和认识缺陷，耐心等待学生的自主学习、自主发展。当发现问题时，不要急于草草收场，也不要用教师的“讲”来代替学生的“思”，而是要为学生多创造一点思考的情境，多一点思考的时间，要舍得花时间进行适度等待。吴正宪老师曾说过：“等待是一种教学理念；等待是一种教学策略；等待是一种教学艺术。”等待学生找到适合自己思维的方法，等待他们学会运用已有的经验来表达自己的想法，等待他们把新知识纳入自己已有的知识结构中，知识领域得以开拓、思维得到启迪。
对于学习个体来说，不是拥有话语权就能主动发展了，倾听在数学课堂学习中同样起着非常重要的作用。“听”是获取外界信息、提炼信息并内化信息的主要渠道，有效的倾听能促进师生之间、生生之间的信息多向、立体互动的交流。引领学生带着自己的观点倾听与思考别人的发言，及时调整自己的观点，又要学会合理地评价、质疑别人的发言。使学生的思维由表层走向深入，促进知识的内化建构。
总之，教是为学服务的，教无定法，关键要看哪种方式对学生的知识建构最为有效。当教师上出一节失败的课、遇到学生无法理解与掌握的知识时，不要总是一味地责怪学生的无能，要多在自己身上寻找失败的症结，也许是教学方式方法上存在着与学生实际需求的不匹配。所以，教师要读懂学生的需求，从学生实际出发，寻找到适合学生的最佳教学策略，从而实现有效教学。
（浙江省桐乡市崇德小学语溪校区 314511）