摘 要：以直代曲是微積分初步中最重要的问题解决思想，其将无限的分割用有限的步骤方式进行了解决，从而将数学学习大大往前推进了一大步。数学教学中，对于以直代曲思想的渗透不仅仅是教会其在导数中的运用，更是大大开拓了学生问题解决的视野。
　　关键词：导数；以直代曲；体积；表面积；割圆术；无限；有限
　　众所周知，数学学科是基础学科，而中学数学又是数学中的基础。从现阶段的教学来看，中学数学在经典知识的教学中往往极为深入，并且可以在技巧的使用上达到了如火纯青的地步，但是在教学思想上的渗透却还是远远不足的。比如以导数为例，学生掌握的往往是导数这一解题工具，学生理解导数的概念吗？理解导数是怎么来的吗？它的精妙在哪里？
　　大量的调查研究表明，中学生在导数一章的学习中大部分掌握的是求导的公式，根本不了解导数的作用是什么，也不明了其中蕴含的数学思想。笔者想说，这样的教学是功利的，不利于学生长期的思维的发展，如何在教学中渗透相关的数学思想呢？笔者以导数教学中，以直代曲思想的渗透做一番简单介绍。
　　1割圆术
　　“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这是中国古代数学家刘徽在其数学巨作《九章算术》中提出的一段经典名言，也是以直代曲思想最早的体现。以数学文化结合数学的美，将知识的传递以古代数学著作为背景进行，首先激发学生对于学习的热情。如下图所示，请学生体会以直代曲思想的含义：
　　要计算圆的面积，首先刘徽想到的是用正六边形入手思想，其发现这样损失的面积有些多，因此将其又进一步分割成正十二边形，即“割之弥细，所失弥少”，当其发现这的损失更小时，可以用正二十四边形进一步替代，即“割之又割”；当边数n趋向于无穷时，则正多边形最终逼近圆周，即“以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，从而获得了面积的计算方式。这是无穷小分割思想和极限思想通往微积分的桥梁，让“有限的正多边形”转换为“无限的圆周”，这恰恰是导数最开始中所涉及的以直代曲思想，其恰恰为用有限方式解决无限的问题开辟了崭新的天地。
　　2球的体积和表面积
　　学生知道球的表面积和体积公式，但是很少有学生理解其公式推导的过程和以及涉及到的思想方法。这种仅仅知其然，不知其所以然的学习方式，不是新课程教学理念所推崇的。我们知道，球是一个非常奇特是几何体，在学生学习之前都没有现成的公式可以套用，运用无穷小分割思想以及极限以直代曲的思想，大大开拓了问题解决的视野，从而获得了更好的思想升华。
　　以此为例，我们就不难启发学生如何求解球的体积和表面积问题了，利用无穷小分割思想，首先我们将上半球分割成n等分，试想当分割的越细时，每一个球台几乎逼近为一个圆柱，这种弯曲的几何体近似看成了一个直的圆柱，因此以直代曲与极限思想融入其中，自然而然的找到了寻求解决体积的方式，这种开拓思路，发散思维的方式，恰恰是数学教学最值得渗透和引导的。
　　说明：“以直代曲”思想是微积分初步中最关键的思想，其将各种不规则的图形的运算转换为有限步骤的处理，当这个有限步骤逼近无限时，每一个“直”图形就形成了“曲”图形，这种思想恰恰是提高学生思维含量和眼界的重要思想，给予学生无限的思路开拓。
　　总之，导数教学初步中并不是以解题作为最关键的突破点，教师更要以教材知识中所蕴含的足够充分的数学思想进行渗透，将知识的核心和本质在教学中给予渗透，才能让学生获得更好思维提升。笔者想说，导数的工具性作用在问题解决过程中必不可少，但是思想渗透的缺失却是我们当下教学必需直面的，没有灵魂的教学往往教育的学生是解题的机器，这是新课程最最需要回避的。因此教师在数学教学过程中，将这种数学美和数学文化完美的融合进课堂教学，让无穷小分割思想、极限思想、“以直代曲”思想光辉的印在每一个学生的心上，让数学教学充满思想、充满睿智。
　　参考文献：
　　[1]叶飞.再谈对中学生数学“无限”观念的教育[J].数学教育学报，2007（11）.
　　[2]蔺云.对中学生数学“无限”观念的教育庶谈[J].数学教育学报，2007（2）.
　　[3]张国定.数学史从幕后到台前[J].中国数学教育，2010（1～2）.
　　作者简介：
　　孙娟（1979.09—），女，汉，江苏泰州，本科，中学一级，数学教育。