论文部分内容阅读
【摘 要】小学数学不乏经典好题，但也会因使用场合不适当或使用不到位，不能发挥出应有的功能。以“周长的认识”一课的练习题为例，教师可以通过以下三方面对一道经典好题进行改造与使用：一是改造原题，变封闭为开放；二是顺水推舟，变结果为结论；三是打破结论，变直观为抽象。由此求得好题使用的一些方法。
【关键词】好题；改造；使用；开放；结论；抽象
在教学“周长的认识”一课时，很多教师会选择与下面类似的习题来进行练习。
这道练习题的精妙之处在于将周长置于图形的背景之中，利用形状、面积对周长产生干扰后准确找出周长并进行比较，以考查学生对周长意义的真正理解。在实际教学中，当学生第一眼看到这幅图时，从心理学角度来看，面积大小、形状是属于强刺激，而周长则属于弱刺激，所以最先反应在学生头脑中的是甲、乙两个图形的形状和面积的差异，而周长在学生头脑中的反应是滞后的。本题在设计时就是借助这个原理，使学生对周长辨别造成干扰甚至误导，如果学生对周长内涵的理解不透彻就很容易填错，因此从习题设计意图以及长期受教师青睐这个角度来讲，这堪称是一道经典好题！如果作为一道检测题，同样也是一道可以有效检测学生对周长概念理解程度的好题。
但是即便是经典好题，如果使用不当或使用不到位，好题也很难发挥出原有的功效。就以这题为例，在实际教学时经常会出现学生看到题目后，个别学生就已知道正确答案的情况，于是教师便会请这些学生来讲解，而其他对答案不是很清楚的学生一旦知道结果，就失去了深入思考图形的周长、面积和形状三者之间关系的机会。而这道练习题的核心价值就在于对这三者之间关系的理解与周长内涵的进一步巩固。
那如何才能用好这道经典好题呢？我们对它进行了改造，并进行了教学尝试。
一、改造原题，变封闭为开放
原题是一道思维含量较高的题，解答结果也是唯一的，这类题在课内进行集中练习、反馈时经常会遭遇个别学生的抢答，从而造成其他学生参与度下降，练习效果大打折扣的情况，如何改变这种现状，让全体学生都参与进来呢？方法之一就是把它改成开放性的习题，让每个学生都有参与，而且让不同的学生表现出不同的学习水平。本题我们是这样改造的。
[画一条线，把下面的长方形分成两个图形，要求：新得到的两个图形周长相等。（在练习纸上画一画，你能画几个）]
学生在练习纸上，按要求画出符合题意的图形，由于按习题要求，只需分成两个周长相等的图形即可，所以方法是多样的，结果也是多样的，比如下面这些不同的画法：
这些方法对于全体学生来说，并不是一个难题，此时他们的参与度相当高。
教师就把这些不同的方法统一展示出来，并提问：“这些分法都符合要求吗？为什么？”
生（齐）：都符合！
师：那我们来看第一种分法，谁来介绍一下方法？
生：在两条对边的正中间点上一个点，然后画一条线段。
师：也就是说这两个点是长方形宽的中点，把这两个中点连起来。
生：是的，分开后两个图形，每个都有两个半条宽。
师：好的，还有吗？
生：长方形的对边相等，上下两条边的长度也是一样。
生：画上去的那条是公共的线。
师：公共是什么意思？
生：大家都可以用的，它们俩都可以用。
师：听明白她的意思了吗？（听明白了）分开后的两个图形，它们每条边都对应相等，那么这两个图形的周长一样。
学生的回答均是肯定的，思维也非常清晰，他们从分成的两个图形根据长方形两组对边相等的特征，确定每组对应边相等，再运用一一对应以及推理、证明两个新图形的周长相等。在这个解答过程中，不仅仅是对周长概念的进一步巩固，同时还借助已学知识，体现了学以致用的效果，而且在这个过程中学生慢慢地接触并运用一些数学思想、方法来解答问题。
二、顺水推舟，变结果为结论
学生经过独立思考与操作，找到了一个或多个结果，这些结果经推理与证明都是正确的。这时从教学的角度来看，到底有几种解答结果意义已经不大，最有价值的是思考这些方法的共性是什么。借助不同的解答方法追求思维方式和解答方法本质的相同，这样的求同思维正是学生在学习小学数学中应培养起来的。
于是，教师提问：这些分法有什么共同特点？你得到了什么结论？
生：这些分法都把长方形分成了两个一样的图形。
生：我补充一下，是分成了两个完全一样的图形。
师：是的，这意味着我们可以得到怎样的结论呢？
生思考后回答。
生：两个完全一样的图形，它们的周长相等。
可见第二个问题，经过学生自己的观察与思考后，不难发现这些經一条线段分开得到的两个图形，形状和大小完全一样，于是水到渠成地得到了结论：完全相等的两个图形，它们的周长也相等。
为了巩固学生对这个结论的认识与理解，继续追问：如果这条线往上或往下移一下（课件演示），这两个图形发生什么变化了？周长呢？
学生经过观察与思考后，一致认为如果往上移，上面的长方形就小了，周长就变小了，也就是认同了图形面积小了，周长自然就跟着变小了，图形面积变大，周长也变大的结论。
应该说这是一种非常合乎情理的推理，是一种常规思维。从多种结果的观察与比较中总结出规律，并形成结论。再通过中间这条线的变化，从侧面的例子进一步来说明这个结论的正确性，结论似乎已非常完美，这也达到了题目事先设计的要求，即本题解答过程的第二个阶段让学生形成一个统一的结论。
三、打破结论，变直观为抽象
学生在这之前解答此题时，画线是直观的，思考也是借助图形的直观思维，虽然也有推理，但这里推理图形的直观成分比较大，所以他们的解答还是离不开形象和直观的。此时，当学生满足于刚才得到的结论时，教师再次提问：你们能不能画一条线，把长方形分成两个大小、形状都不同，但周长还是一样的图形呢？
这个问题将给学生强烈的刺激，因为刚才总结的结论是“完全一样的两个图形周长相等”，教师现在的问题与这个结论是不是背道而驰了呢？这个问题足以让学生陷入深深的思考中，之前这种直观的图形无法提供帮助，思考的方向开始逐渐走向周长概念的内涵：一周的长度。学生也开始想到一些分法。
生：先看长方形的四条边，分成的两个图形都分到了两条，它们是一条长和一条宽。
师：然后呢？
生：然后我思考曲线的长度，因为这曲线既是这个图形的一条边，又是另一个图形的一条边。把每个图形的边都加起来，也就等于这个图形的周长，它们的周长也是相等的
师：同学们看明白也听明白了吗？
生：明白了！
生：就是原来用直线分，现在用曲线分，这条曲线是公共线，所以这两个不一样的图形的周长是相等的。
师：如果老师这么分呢，这两个图形的周长还相等吗？
生（齐）：相等！
师：为什么？看上去一个图形比另一个图形大得多了。
生：周长都是一条长加一条宽再加一条中间的曲线，跟图形大小没有关系。
在解答这道习题的初始阶段，学生认为图形的形状、大小相等周长也相等，形状、大小不相等周长也不相等，这在一定的时间内给了他们比较强的刺激，因此他们一度认为这个结论是完美的。但当教师两次追问后，学生对于两个图形的周长相等的结论，已经从图形的直观渐渐地转向了周长概念的内涵上，求一个图形的周长，直接就关注它一共有几条线的长度组成，这几条线的长度的和就是这个图形的周长，而形状、大小与周长没有必然的联系。
我们思考，在这道练习题的改造与使用中，因为考虑到了学生对事物认识的一般规律，并给了他们这种表达的时间和空间，因此便有了原有认识与知识本质之间的矛盾冲突。教师则要充分并合理利用这种认知上的冲突，再结合自己的组织与引导，让学生真正进入课堂学习状态，促使学生会运用所学知识进行抽象与推理，最终形成数学模型并加以应用。
（浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心 313000）
【关键词】好题；改造；使用；开放；结论；抽象
在教学“周长的认识”一课时，很多教师会选择与下面类似的习题来进行练习。
这道练习题的精妙之处在于将周长置于图形的背景之中，利用形状、面积对周长产生干扰后准确找出周长并进行比较，以考查学生对周长意义的真正理解。在实际教学中，当学生第一眼看到这幅图时，从心理学角度来看，面积大小、形状是属于强刺激，而周长则属于弱刺激，所以最先反应在学生头脑中的是甲、乙两个图形的形状和面积的差异，而周长在学生头脑中的反应是滞后的。本题在设计时就是借助这个原理，使学生对周长辨别造成干扰甚至误导，如果学生对周长内涵的理解不透彻就很容易填错，因此从习题设计意图以及长期受教师青睐这个角度来讲，这堪称是一道经典好题！如果作为一道检测题，同样也是一道可以有效检测学生对周长概念理解程度的好题。
但是即便是经典好题，如果使用不当或使用不到位，好题也很难发挥出原有的功效。就以这题为例，在实际教学时经常会出现学生看到题目后，个别学生就已知道正确答案的情况，于是教师便会请这些学生来讲解，而其他对答案不是很清楚的学生一旦知道结果，就失去了深入思考图形的周长、面积和形状三者之间关系的机会。而这道练习题的核心价值就在于对这三者之间关系的理解与周长内涵的进一步巩固。
那如何才能用好这道经典好题呢？我们对它进行了改造，并进行了教学尝试。
一、改造原题，变封闭为开放
原题是一道思维含量较高的题，解答结果也是唯一的，这类题在课内进行集中练习、反馈时经常会遭遇个别学生的抢答，从而造成其他学生参与度下降，练习效果大打折扣的情况，如何改变这种现状，让全体学生都参与进来呢？方法之一就是把它改成开放性的习题，让每个学生都有参与，而且让不同的学生表现出不同的学习水平。本题我们是这样改造的。
[画一条线，把下面的长方形分成两个图形，要求：新得到的两个图形周长相等。（在练习纸上画一画，你能画几个）]
学生在练习纸上，按要求画出符合题意的图形，由于按习题要求，只需分成两个周长相等的图形即可，所以方法是多样的，结果也是多样的，比如下面这些不同的画法：
这些方法对于全体学生来说，并不是一个难题，此时他们的参与度相当高。
教师就把这些不同的方法统一展示出来，并提问：“这些分法都符合要求吗？为什么？”
生（齐）：都符合！
师：那我们来看第一种分法，谁来介绍一下方法？
生：在两条对边的正中间点上一个点，然后画一条线段。
师：也就是说这两个点是长方形宽的中点，把这两个中点连起来。
生：是的，分开后两个图形，每个都有两个半条宽。
师：好的，还有吗？
生：长方形的对边相等，上下两条边的长度也是一样。
生：画上去的那条是公共的线。
师：公共是什么意思？
生：大家都可以用的，它们俩都可以用。
师：听明白她的意思了吗？（听明白了）分开后的两个图形，它们每条边都对应相等，那么这两个图形的周长一样。
学生的回答均是肯定的，思维也非常清晰，他们从分成的两个图形根据长方形两组对边相等的特征，确定每组对应边相等，再运用一一对应以及推理、证明两个新图形的周长相等。在这个解答过程中，不仅仅是对周长概念的进一步巩固，同时还借助已学知识，体现了学以致用的效果，而且在这个过程中学生慢慢地接触并运用一些数学思想、方法来解答问题。
二、顺水推舟，变结果为结论
学生经过独立思考与操作，找到了一个或多个结果，这些结果经推理与证明都是正确的。这时从教学的角度来看，到底有几种解答结果意义已经不大，最有价值的是思考这些方法的共性是什么。借助不同的解答方法追求思维方式和解答方法本质的相同，这样的求同思维正是学生在学习小学数学中应培养起来的。
于是，教师提问：这些分法有什么共同特点？你得到了什么结论？
生：这些分法都把长方形分成了两个一样的图形。
生：我补充一下，是分成了两个完全一样的图形。
师：是的，这意味着我们可以得到怎样的结论呢？
生思考后回答。
生：两个完全一样的图形，它们的周长相等。
可见第二个问题，经过学生自己的观察与思考后，不难发现这些經一条线段分开得到的两个图形，形状和大小完全一样，于是水到渠成地得到了结论：完全相等的两个图形，它们的周长也相等。
为了巩固学生对这个结论的认识与理解，继续追问：如果这条线往上或往下移一下（课件演示），这两个图形发生什么变化了？周长呢？
学生经过观察与思考后，一致认为如果往上移，上面的长方形就小了，周长就变小了，也就是认同了图形面积小了，周长自然就跟着变小了，图形面积变大，周长也变大的结论。
应该说这是一种非常合乎情理的推理，是一种常规思维。从多种结果的观察与比较中总结出规律，并形成结论。再通过中间这条线的变化，从侧面的例子进一步来说明这个结论的正确性，结论似乎已非常完美，这也达到了题目事先设计的要求，即本题解答过程的第二个阶段让学生形成一个统一的结论。
三、打破结论，变直观为抽象
学生在这之前解答此题时，画线是直观的，思考也是借助图形的直观思维，虽然也有推理，但这里推理图形的直观成分比较大，所以他们的解答还是离不开形象和直观的。此时，当学生满足于刚才得到的结论时，教师再次提问：你们能不能画一条线，把长方形分成两个大小、形状都不同，但周长还是一样的图形呢？
这个问题将给学生强烈的刺激，因为刚才总结的结论是“完全一样的两个图形周长相等”，教师现在的问题与这个结论是不是背道而驰了呢？这个问题足以让学生陷入深深的思考中，之前这种直观的图形无法提供帮助，思考的方向开始逐渐走向周长概念的内涵：一周的长度。学生也开始想到一些分法。
生：先看长方形的四条边，分成的两个图形都分到了两条，它们是一条长和一条宽。
师：然后呢？
生：然后我思考曲线的长度，因为这曲线既是这个图形的一条边，又是另一个图形的一条边。把每个图形的边都加起来，也就等于这个图形的周长，它们的周长也是相等的
师：同学们看明白也听明白了吗？
生：明白了！
生：就是原来用直线分，现在用曲线分，这条曲线是公共线，所以这两个不一样的图形的周长是相等的。
师：如果老师这么分呢，这两个图形的周长还相等吗？
生（齐）：相等！
师：为什么？看上去一个图形比另一个图形大得多了。
生：周长都是一条长加一条宽再加一条中间的曲线，跟图形大小没有关系。
在解答这道习题的初始阶段，学生认为图形的形状、大小相等周长也相等，形状、大小不相等周长也不相等，这在一定的时间内给了他们比较强的刺激，因此他们一度认为这个结论是完美的。但当教师两次追问后，学生对于两个图形的周长相等的结论，已经从图形的直观渐渐地转向了周长概念的内涵上，求一个图形的周长，直接就关注它一共有几条线的长度组成，这几条线的长度的和就是这个图形的周长，而形状、大小与周长没有必然的联系。
我们思考，在这道练习题的改造与使用中，因为考虑到了学生对事物认识的一般规律，并给了他们这种表达的时间和空间，因此便有了原有认识与知识本质之间的矛盾冲突。教师则要充分并合理利用这种认知上的冲突，再结合自己的组织与引导，让学生真正进入课堂学习状态，促使学生会运用所学知识进行抽象与推理，最终形成数学模型并加以应用。
（浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心 313000）