导数的引出及定义时时刻刻都体现着函数思想， 高中课程里导数的内容不断深入，给切线、不等式、数列等实际问题带来了新思路、新方法， 使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点.
　　一、求解函数单调性及单调区间
　　函数的单调性是函数的基本性质之一.以往在研究函数的单调性时，主要是利用函数增减的定义来判断函数的增减性.在学习了导数之后，我们可以利用函数导数的定义来研究函数的单调性，而函数的单调性是伴随着单调区间存在而存在的，所以可以根据函数的单调性求出函数的单调区间.
　　求解单调区间的主要步骤为：①根据函数f （x）求出导数
　　f ′（x）；②令f ′（x）>0，然后求出其解集就为函数f （x）的单调递增区间；③令f ′（x）<0，然后求解出其解集就为函数f （x）的单调递减区间.
　　例1 求解函数f （x）=x3-3x+1的单调区间.
　　解：由题意可得
　　f ′（x）=3x2-3，然后，令
　　f ′（x）>0，可以求得其解集为（-∞，-1]∪[1，+∞），故函数
　　f （x）=x3-3x+1的递增区间为
　　（-∞，-1]∪[1，+∞）；同理，令
　　f ′（x）<0，然后求其解集为
　　（-1，1），故函数的递减区间为（-1，1）.
　　注：此处的区间（-1，1）也可以写成
　　[-1，1]，因为增减性在独立的一点是无意义的.
　　二、求解函数的极值及最值
　　对于单调函数而言，如果是连续函数，在其定义域内的某一闭区间内都是存在极值或最值的.在传统的求解函数极值、最值时我们所用的方法一般都是根据函数的单调性、函数图象及不等式性质等.然而，随着高考的改革，这些传统的方法有时并不能有效地把所有的问题都给解决了，所以，在学习了导数和微分之后，我们得到了一个新的有效地求解函数最值的方法.
　　定义1：对于连续函数f （x），若
　　f ′（x0）=0，则x0点称为函数
　　f （x）的稳定点.
　　其主要思想为：若函数
　　f （x）在[a，b]上可导，则
　　f （x）在[a，b]上必存在最值.求解函数最值的一般步骤为：①根据函数
　　f （x）求出导数f ′（x）；②令导函数
　　f ′（x）=0求出函数
　　f （x）的稳定点xk；③求出函数f （x）的二阶导函数
　　f ″（x），若
　　f″（xk）>0，则点xk就为极小值点，若f ″（xk）<0，则点
　　xk就为极大值点.
　　注：①由于当f ″（x）=0的情况比较复杂，此处就不再讨论；②函数的稳定点不一定是极值点，但是极值点一定是稳定点；③有些时候，函数的稳定点并不唯一，如果函数的极值点唯一时，不需要与函数的端点值相比较，如果函数的极值点不唯一时，则需要将极值点的函数值与端点值相比较，然后求出最值.这一点对于开区间及无穷区间同样适用.④此方法主要在例4中体现.
　　例2 已知函数f （x）=x3-ax2-3x，其中