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摘 要：文章针对初中数学竞赛中的组合最值问题，分析了假设法、构造法、分类讨论法、正难则反方法、极端原理在解题中的应用，目的是更加准确的求解数学竞赛习题。
关键词：初中；数学竞赛；组合最值问题
1 假设法
假设法即假设题目中其中几个数量相等，或者是针对要求的其中一个未知量假设为已知数量，将复杂问题转变为简单问题之后展开推算，如此便可以获得题目的准确答案[1]。实际教学过程中，主要将假设法分为条件假设、问题假设、单位假设、情境假设这几种，将其运用于初中数学竞赛的组合最值问题求解中，学生可以通过假设条件或者问题的方式，帮助建设条件，从而快速完成求解，如例1。
例1：有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
解析：设这4袋为a、b、c、d，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，设a、b、c袋糖有20、20、21块糖。则当a、b、d三袋糖在一起时，为了满足条件，d袋糖不少于21块，验证a、b、c、d这4袋糖依次有20，20，21，21时满足条件，且总和最少。这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块。
2 构造法
初中数学教学期间，应用构造法求解数学组合最值问题，根据定向思维无法顺利求解问题时，可以指导学生按照题目中的已知条件以及结论特点、性质等，从另一个角度出发，发现问题条件与结论的关系，通过题目中的数据以及坐标等信息，构造符合条件与结论要求的数学对象，以此清晰的展示问题中的隐藏关系与性质，从而快速求解问题，实际应用如例2所示。
例2：从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解析：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a1 对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），
所以33|（aj-ai）.
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设ai=a1+33di，i=1，2，3，n，
由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），
所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，dn= <61，
故dn≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61.
3 分类讨论法
教师指导学生求解数学竞赛问题时，经常会遇到多种情况，为了更加准确的获得问题的答案，一般会对不同的情况进行分类，分别求解，最终再综合获得结论[2]。将其运用于组合最值问题中，充分体现出化整为零以及积零为整这两种思想。分类讨论方法在数学竞赛问题中的应用，体现出逻辑性、探索性等特点，有利于培养条理性与概括性思维，因此对于初中数学竞赛而言有非常重要的意义。
例3：某文具商店有售价为120元一本和80元一本的两种纪念册，利润都是售价的30%，一（甲/A）顾客要求用1080元以较低的价格购买售价为120元一本的纪念册若干本，商店经理考虑后发现，按顾客的要求卖出这种纪念册的利润和按原价卖出售价为80元一本的纪念册的利润相同，于是同意了顾客的要求，这名顾客共买了多少本纪念册？
解析：原价卖出80元/本的纪念册，每本可获得利润：
80×30%=24元
原价卖出120元/本的纪念册，每本可获得利润：
120×30%=36元
现在按照顾客要求，应该以每本24元利润卖出原价120元的纪念册，
每本的售价为：120-36+24=108元
所以这名顾客一共买了：1080/108=10本
用方程解答如下：
设顾客共买了x本纪念册
1080/x-120×（1-30%）=80×30%
解得x=10.
4 正难则反方法
在数学教学期间，正难则反对于数学解题是一种非常重要的方法，如果解题时从正面思考问题遇到困难，便可以使用逆向思维。具体来说，面对难度较大的组合最值问题，可以采用逆推的方法，如此一来便可以获得准确的答案。
例4：从1，2，3...，1000中任选k个数 若在所选的数中总有三个构成三角形的边长，求k的最小值。
解析：使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987 ①
共15个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k，从而知k的最小值为16.
故而答案为16。
5 极端原理
教师指导学生使用极端原理求解组合最值问题，最为关键的是直接抓住对象的极端情形，或者针对其中存在的某种极端性质展开分析。实际应用中，数字务必具备绝对准确特征，在极端条件下应用，可以做出假设，如“假如一个都没有”以及“假如每一个至少有”等，了解问题的关键，从而确定解题思路。
例5：数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，则x25的值为（）.
解析：∵数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，
∴x2+…+x100=x1+1，
x1+x3+…+x100=x2+2，
…
x1+x2+…+x99=x100+100
将以上所有式子相加即可，
∴99（x1+x2+…+x100）=（x1+x2+…+x100）+1+2+…+100，
∴98（x1+x2+…+x100）=1+2+…+100，
∴98（x1+x2+…+x100）=5050，
∴x1+x2+…+x100= ，
∴x1+x2+…+x100=2x25+25，
∴2×25+25= ，
∴x25= ，
故而答案為 .
参考文献
[1]熊昌进.竞赛中的离散最值[J].中学数学月刊，2016，（10）：44-46.
[2]蔡小雄.复数在竞赛中的运用[J].中学数学月刊，2015，（1）：42-44.
作者简介
郑勇林（1983-12-22）男，福建省莆田市人，民 族：汉 职称：初中数学教师，学历：本科生，研究方向：初中数学最值问题。
（作者单位：福建省金石中学）
关键词：初中；数学竞赛；组合最值问题
1 假设法
假设法即假设题目中其中几个数量相等，或者是针对要求的其中一个未知量假设为已知数量，将复杂问题转变为简单问题之后展开推算，如此便可以获得题目的准确答案[1]。实际教学过程中，主要将假设法分为条件假设、问题假设、单位假设、情境假设这几种，将其运用于初中数学竞赛的组合最值问题求解中，学生可以通过假设条件或者问题的方式，帮助建设条件，从而快速完成求解，如例1。
例1：有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
解析：设这4袋为a、b、c、d，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，设a、b、c袋糖有20、20、21块糖。则当a、b、d三袋糖在一起时，为了满足条件，d袋糖不少于21块，验证a、b、c、d这4袋糖依次有20，20，21，21时满足条件，且总和最少。这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块。
2 构造法
初中数学教学期间，应用构造法求解数学组合最值问题，根据定向思维无法顺利求解问题时，可以指导学生按照题目中的已知条件以及结论特点、性质等，从另一个角度出发，发现问题条件与结论的关系，通过题目中的数据以及坐标等信息，构造符合条件与结论要求的数学对象，以此清晰的展示问题中的隐藏关系与性质，从而快速求解问题，实际应用如例2所示。
例2：从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解析：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a1
所以33|（aj-ai）.
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设ai=a1+33di，i=1，2，3，n，
由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），
所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，dn= <61，
故dn≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61.
3 分类讨论法
教师指导学生求解数学竞赛问题时，经常会遇到多种情况，为了更加准确的获得问题的答案，一般会对不同的情况进行分类，分别求解，最终再综合获得结论[2]。将其运用于组合最值问题中，充分体现出化整为零以及积零为整这两种思想。分类讨论方法在数学竞赛问题中的应用，体现出逻辑性、探索性等特点，有利于培养条理性与概括性思维，因此对于初中数学竞赛而言有非常重要的意义。
例3：某文具商店有售价为120元一本和80元一本的两种纪念册，利润都是售价的30%，一（甲/A）顾客要求用1080元以较低的价格购买售价为120元一本的纪念册若干本，商店经理考虑后发现，按顾客的要求卖出这种纪念册的利润和按原价卖出售价为80元一本的纪念册的利润相同，于是同意了顾客的要求，这名顾客共买了多少本纪念册？
解析：原价卖出80元/本的纪念册，每本可获得利润：
80×30%=24元
原价卖出120元/本的纪念册，每本可获得利润：
120×30%=36元
现在按照顾客要求，应该以每本24元利润卖出原价120元的纪念册，
每本的售价为：120-36+24=108元
所以这名顾客一共买了：1080/108=10本
用方程解答如下：
设顾客共买了x本纪念册
1080/x-120×（1-30%）=80×30%
解得x=10.
4 正难则反方法
在数学教学期间，正难则反对于数学解题是一种非常重要的方法，如果解题时从正面思考问题遇到困难，便可以使用逆向思维。具体来说，面对难度较大的组合最值问题，可以采用逆推的方法，如此一来便可以获得准确的答案。
例4：从1，2，3...，1000中任选k个数 若在所选的数中总有三个构成三角形的边长，求k的最小值。
解析：使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987 ①
共15个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k，从而知k的最小值为16.
故而答案为16。
5 极端原理
教师指导学生使用极端原理求解组合最值问题，最为关键的是直接抓住对象的极端情形，或者针对其中存在的某种极端性质展开分析。实际应用中，数字务必具备绝对准确特征，在极端条件下应用，可以做出假设，如“假如一个都没有”以及“假如每一个至少有”等，了解问题的关键，从而确定解题思路。
例5：数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，则x25的值为（）.
解析：∵数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，
∴x2+…+x100=x1+1，
x1+x3+…+x100=x2+2，
…
x1+x2+…+x99=x100+100
将以上所有式子相加即可，
∴99（x1+x2+…+x100）=（x1+x2+…+x100）+1+2+…+100，
∴98（x1+x2+…+x100）=1+2+…+100，
∴98（x1+x2+…+x100）=5050，
∴x1+x2+…+x100= ，
∴x1+x2+…+x100=2x25+25，
∴2×25+25= ，
∴x25= ，
故而答案為 .
参考文献
[1]熊昌进.竞赛中的离散最值[J].中学数学月刊，2016，（10）：44-46.
[2]蔡小雄.复数在竞赛中的运用[J].中学数学月刊，2015，（1）：42-44.
作者简介
郑勇林（1983-12-22）男，福建省莆田市人，民 族：汉 职称：初中数学教师，学历：本科生，研究方向：初中数学最值问题。
（作者单位：福建省金石中学）