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张齐华老师在不同的时间、不同的场合，分别执教了苏教版小学数学第十册《用数对确定位置》，他两种不同的教学取向，决定了迥然不同的教学目标设定、截然不同的教学过程与方法，最终学生的所得所获也不尽相同，但都取得了很好的教学效果，正所谓“欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜”。这里，我要评述的不在于探讨张老师教学主张的转变，而是试图通过对张老师这两次不同的教学处理的分析，寻找出对我们当前的小学数学课程与教学改革，以及我们一线教师专业发展的一些有益启示。下面，就与大家一起来分享我对张老师这两次执教的碎思断想。
发展学生的数学认知结构
学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的引导下，把数学知识结构转化成自己的数学认知结构。教师只有充分把握数学知识自身的结构（主要包括数学知识的来龙去脉、纵横联系以及背后的精神、思想和方法等）、教材的编排结构，以及学生已有认知基础、认知经验，这样才能帮助学生在进一步的学习中不断丰富和发展自己的数学认知结构，实现有意义学习。就苏教版小学数学第十册《用数对确定位置》一课而言，在数学知识自身结构上，用有序数对确定物体的位置，是点的坐标的雏形，而坐标的概念则是解析几何的基本概念，解析几何不仅是创立微积分的基础，又与微分几何、高维空间几何等有着密切联系，它们共同构成坐标几何体系；在教材编配结构上，学生在一、二年级已经学习了“上、下、左、右、前、后”以及“第几排第几个”等相关知识，这里是在此基础上学习“用数对表示物体的位置”，而将来到了初中则要学习通过建立直角坐标系来研究图形的位置与运动；从学生的认知基础和认知经验来看，学生不仅具有上述一、二年级学习的相关书本知识，在日常生活中他们已经具有用数对确定物体的经验，如确定教室里、电影院里的座位等。
张老师这两次执教《用数对确定位置》一课，在完善和发展学生的数学认知结构上的有效做法，集中体现在以下几个方面：
1.充分利用学生原有认知结构中的相关因素
在学习新的数学知识时，学生原有认知结构中相应的旧知识，就是学生建构新的认知结构的固着点。可见，原有认知结构中对新的学习起固定作用的观点的可利用性，则成了影响学生数学学习的一个特别重要的因素。张老师在这两次教学中都折射出他对这方面的极其重视。比如，在2007年的教学中的“尝试探索”环节，张老师明确提出“比如，二年级时我们已经研究过用‘第几排第几个’来确定位置，还记得吗？”同样，在2011年的教学中，张老师新课伊始就问道：“今天这节课，我们一起来研究一个既陌生、又熟悉的问题——用数对确定位置（板书课题）。为什么说这个问题既陌生，又熟悉？”学生答道：“要说熟悉，是因为我们二年级的时候好像学过确定位置的。但那时候好像不是用数对，而是第几排、第几个之类的。所以，数对对我们来说又很陌生。”张老师这样处理正是有效地促进新旧知识之间的相互作用，帮助学生实现原有认知结构的扩充和新的认知结构的构建。
在2007年的教学中，张老师接着提出：“下面的照片中，哪一个才是张老师的儿子呢？大胆猜一猜，并用二年级学过的方法确定他的位置”。在几个学生看似漫无目标的猜测后，张老师又缩小范围让学生继续猜，接着锁定目标。2011年的教学中，张老师同样出示了这样一张照片（如下图），也让学生猜测神秘嘉宾是哪一位。咋一看，张老师这两次教学中的处理都是在拿学生寻开心，或是在浪费时间。可是，细细推敲，张老师不正是在加强学生对原有认知结构中的旧知识“第几组第几个”的认识吗？而这正是学生学习本课知识的重要依托。
2.凸显新知识的本质特征
在建构新的认知结构时，学生不仅要能迅速在原有认知结构中找到新知识的固着点，同时还必须能清楚地辨别出新旧知识之间的联系与区别，由此实现数学知识自身结构向学生认知结构的转化。
在2011年的教学中，当学生提出：“光这样猜，很难猜中。你总得给我们提供点线索吧”。于是，张老师告诉学生，除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会有这样一种更简洁的方法，来确定张老师孩子的位置，接着板书（４，２）。这时，学生的争论集中在四个目标上（如下图）。
学生的困惑主要在于“……光说（４，２）是不够的，也是不准确的（生笑）。因为他们没有说清楚，这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排。”这时，张老师接着分析：“现在看来，光有这两个数组成的数对是不够的，我们还得弄清两个关键问题，一个是顺序（板书：顺序），也就是哪个数是横排，哪个数是竖排；另一个是方向（板书：方向），横排或竖排究竟从哪儿数起。对吗？”接着，再引导学生认识有序数对的“前一个数表示列，后一个数表示行”等相关知识。张老师这样处理，强调了本节课学习的新知识是“用数对确定位置”，与二年级学习的用“第几排第几个”来确定位置有联系，也有很大的区别（特别是在表达的准确性、简洁性上），于是有效地凸显了新知的本质，帮助学生迅速建立新旧知识的内在联系。
3.立足当前，着眼未来
为了更好地帮助学生形成良好的数学认知结构，不仅要考察学生原有认知基础和现有认知水平，也要为将来学生的认知发展作孕伏铺垫，这也是考量学生认知水平的一个重要指标。
在2011年的教学中，有学生认为：“数学家最终确定了先列后行，一定是有他们的考虑的。”张老师相机引导：“你的直觉很棒！数学上的很多规定，看起来都是人为设制的，好像很随意。但有些的确是有它的道理的。至于数对中为何要先列后行，到了中学，研究了平面几何以后，大家可能会对这一问题有更深入的思考。”接着，有学生指出“…我觉得有可能需要三个数，因为我们生活的是三维空间。（此语一出，全场愕然！）三维空间，当然需要三个数。”甚至在研究魔方时，有学生认为：“魔方一共有好几层，先要确定它在第几层，然后再确定它在第几列、第几行，这样正好需要3个数。”又有学生补充说：“但是，我们觉得4个数就不可能了。”还有学生认为：“我觉得可能，还可以加上时间啊！”这里，学生的交流互动，无疑将对部分学生将来的数学学习产生不同程度的影响。
著名认知心理学家奥苏伯尔提出了三个主要的影响有意义学习和迁移的认知结构变量，即原有认知结构中观念的可利用性、新旧认知结构中观念的可辨别性和原有认知结构中观念的稳定性与清晰性，在张老师这两次教学中，都很好地得到了体现。
利用人类一切有效的学习方式
学生的数学学习活动是全面的、丰富的，也是多种形式并用的，观察学习、替代经验学习、体验学习、探究学习、发现学习与接受学习，甚至包括模仿与记忆等等，都各有长短。要帮助学生在尽可能短的时间内为终身发展打下基础，就不能拒绝人类一切有效的学习方式。
在2007年的教学中，张老师将“教学目标”预设为“1．在二年级‘第几排第几个’的基础上，自主建构‘用数对确定位置’的方法，体会它的准确性、简洁性；2．感受数学发现的乐趣，体验数学创造的价值。”也就奠定了自主探索、合作交流等学习方式是这节课学生学习的重要方式。同时，从“教学过程”的主要环节来看，学生经历了猜测、推理、验证、运用等数学活动过程。特别是在张老师板书出学生7种典型确定位置的方法后，师生、生生互动交流建构新的认知时，学生的数学学习活动更是突出体现在以上几个方面。
在2011年的教学中，张老师将“教学目标”预设为“1．在具体情境中，体会‘用数对确定位置’规则的合理性，会根据相应规则，用数对确定平面内物体或点的位置；2．感受数学思维、数学方法的严谨与美。”再考察这一教学的主要环节，张老师在直接板书出“（4，2）”这一有序数对后，学生是个“接受学习”的过程，接下来的学习中，学生在教师的引导下，在认真思考、主动探索、互动交流中，将这一新知与原有认知结构形成了“非人为”的“本质”的联系，进而给通过言语讲解的“接受学习”赋予了“意义”，实现了运用多种学习方式达到学习的高效。
目前，《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经颁布，该《课标》对学生的学习方式、师生关系等涉及的课程基本理念已有所调整，我们一线教师在认真学习、实践的同时，要作出理性的思考，“让学生在通过有限知识的学习过程中，掌握探索无限世界之本领”是我们仰望的那片“星空”，是我们追求的目标。张老师两次不同的教学，在学生学习方式的选择方面有明显差异，我要表达的不是要分一分两种处理孰优孰劣，但“尊重知识、尊重儿童、审视课标、审视教材”应该作为我们作出正确判断的出发点和落脚点。
简言之，我们不仅要倡导学习方式的多样化，更要根据学习内容和学生的情况选择合适的学习方式，以获得最佳的学习效果。
数学“四基”协调发展
“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”是当前数学课程的总目标之一。因此，学生“四基”的获得是数学学习的重要任务之一。张老师两次执教中对于“基础知识”和“基本技能”的关注与落实情况，前面已经评述，这里着重分析张老师如何帮助学生感受数学的“基本思想”、获得数学的“基本活动经验”。
1.感受数学的基本思想
数学知识和数学思想是数学教学的两条主线。数学知识是一条明线，它被明明白白地写在教材里；而数学思想则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼，并在教学中凸显。数学思想相比数学知识，具有更高的概括性和包容性，所以数学思想对学生的数学学习品质，以及学生的成长和发展具有更重要的影响，它应成为数学教育的重要内容。张老师在这两次执教中，都先后把要确定位置的对象从照片上的按行列排列的某一个人（如下图），转化为点阵中的某一个点（如下页图），这样的处理使学生初步感受了“数学抽象”的思想，也为学生将来平面直角坐标系概念的建立打下必要基础。
在2011年的教学中，当学生面对（４，２）这个数对，对这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排疑惑不解时，张老师透露：“我孩子最要好的朋友小邓，他所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）……”同时出示左下图：
于是，学生很快明确了数对（４，２）所确定的位置。这样的处理，使学生初步感受了“数学推理”的思想。
２.获得数学的基本活动经验
数学活动的教育意义，是让学生在亲身经历数学活动的过程中，能获得具有个体特征的情感体验、感性认识以及数学能力和数学素养。让学生获得“数学活动经验”,就是培养学生在活动中从数学的视角进行思考，直观地、合理地获得一些结果，这是数学创造的根本。
在2007年的教学中，张老师引导学生“尝试探索”获得7种典型确定位置的方法后，师生、生生互动交流建构新的认知时，学生经历了猜测、推理、验证、运用等数学活动过程，获得了数学思考的活动经验。
在2011年的教学中，在“质疑，拓展思维空间”的教学环节，学生列举出：教室的座位；地球仪上的经线和纬线；围棋、中国象棋或者国际象棋上类似的数字；电影院的座位；航班上的座位；魔方等多种生活中的相关数学活动经验。这些数学活动经验大多不是课堂现场获得的，一般称为延时反思的数学活动经验。
张老师的这两次执教，使我们感受到“四基”不是四个事物简单的累加、混合，它们相辅相成，相互促进：数学基础知识和基本技能是重要的教学内容，是数学教学活动的有效载体；数学基本思想是数学教学活动的灵魂；数学基本活动经验是数学教学活动中不可或缺的重要形式，它们统一于、服务于学生有效的数学学习活动。
张老师对于同一教学内容，给我们呈现了两种不同的教学风景，这种常教常新的做法值得提倡，他给我们展现了一线教师专业发展的一条有效的、可行的、独具优势的路径。同时，也使我们更加深刻地认识到，一线教师虽不是思想家，但要做个思想者；不能仅仅做个实践者，要成为实践家。
（汤雪峰，扬州市广陵区教育局教研室，225000）
发展学生的数学认知结构
学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的引导下，把数学知识结构转化成自己的数学认知结构。教师只有充分把握数学知识自身的结构（主要包括数学知识的来龙去脉、纵横联系以及背后的精神、思想和方法等）、教材的编排结构，以及学生已有认知基础、认知经验，这样才能帮助学生在进一步的学习中不断丰富和发展自己的数学认知结构，实现有意义学习。就苏教版小学数学第十册《用数对确定位置》一课而言，在数学知识自身结构上，用有序数对确定物体的位置，是点的坐标的雏形，而坐标的概念则是解析几何的基本概念，解析几何不仅是创立微积分的基础，又与微分几何、高维空间几何等有着密切联系，它们共同构成坐标几何体系；在教材编配结构上，学生在一、二年级已经学习了“上、下、左、右、前、后”以及“第几排第几个”等相关知识，这里是在此基础上学习“用数对表示物体的位置”，而将来到了初中则要学习通过建立直角坐标系来研究图形的位置与运动；从学生的认知基础和认知经验来看，学生不仅具有上述一、二年级学习的相关书本知识，在日常生活中他们已经具有用数对确定物体的经验，如确定教室里、电影院里的座位等。
张老师这两次执教《用数对确定位置》一课，在完善和发展学生的数学认知结构上的有效做法，集中体现在以下几个方面：
1.充分利用学生原有认知结构中的相关因素
在学习新的数学知识时，学生原有认知结构中相应的旧知识，就是学生建构新的认知结构的固着点。可见，原有认知结构中对新的学习起固定作用的观点的可利用性，则成了影响学生数学学习的一个特别重要的因素。张老师在这两次教学中都折射出他对这方面的极其重视。比如，在2007年的教学中的“尝试探索”环节，张老师明确提出“比如，二年级时我们已经研究过用‘第几排第几个’来确定位置，还记得吗？”同样，在2011年的教学中，张老师新课伊始就问道：“今天这节课，我们一起来研究一个既陌生、又熟悉的问题——用数对确定位置（板书课题）。为什么说这个问题既陌生，又熟悉？”学生答道：“要说熟悉，是因为我们二年级的时候好像学过确定位置的。但那时候好像不是用数对，而是第几排、第几个之类的。所以，数对对我们来说又很陌生。”张老师这样处理正是有效地促进新旧知识之间的相互作用，帮助学生实现原有认知结构的扩充和新的认知结构的构建。
在2007年的教学中，张老师接着提出：“下面的照片中，哪一个才是张老师的儿子呢？大胆猜一猜，并用二年级学过的方法确定他的位置”。在几个学生看似漫无目标的猜测后，张老师又缩小范围让学生继续猜，接着锁定目标。2011年的教学中，张老师同样出示了这样一张照片（如下图），也让学生猜测神秘嘉宾是哪一位。咋一看，张老师这两次教学中的处理都是在拿学生寻开心，或是在浪费时间。可是，细细推敲，张老师不正是在加强学生对原有认知结构中的旧知识“第几组第几个”的认识吗？而这正是学生学习本课知识的重要依托。
2.凸显新知识的本质特征
在建构新的认知结构时，学生不仅要能迅速在原有认知结构中找到新知识的固着点，同时还必须能清楚地辨别出新旧知识之间的联系与区别，由此实现数学知识自身结构向学生认知结构的转化。
在2011年的教学中，当学生提出：“光这样猜，很难猜中。你总得给我们提供点线索吧”。于是，张老师告诉学生，除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会有这样一种更简洁的方法，来确定张老师孩子的位置，接着板书（４，２）。这时，学生的争论集中在四个目标上（如下图）。
学生的困惑主要在于“……光说（４，２）是不够的，也是不准确的（生笑）。因为他们没有说清楚，这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排。”这时，张老师接着分析：“现在看来，光有这两个数组成的数对是不够的，我们还得弄清两个关键问题，一个是顺序（板书：顺序），也就是哪个数是横排，哪个数是竖排；另一个是方向（板书：方向），横排或竖排究竟从哪儿数起。对吗？”接着，再引导学生认识有序数对的“前一个数表示列，后一个数表示行”等相关知识。张老师这样处理，强调了本节课学习的新知识是“用数对确定位置”，与二年级学习的用“第几排第几个”来确定位置有联系，也有很大的区别（特别是在表达的准确性、简洁性上），于是有效地凸显了新知的本质，帮助学生迅速建立新旧知识的内在联系。
3.立足当前，着眼未来
为了更好地帮助学生形成良好的数学认知结构，不仅要考察学生原有认知基础和现有认知水平，也要为将来学生的认知发展作孕伏铺垫，这也是考量学生认知水平的一个重要指标。
在2011年的教学中，有学生认为：“数学家最终确定了先列后行，一定是有他们的考虑的。”张老师相机引导：“你的直觉很棒！数学上的很多规定，看起来都是人为设制的，好像很随意。但有些的确是有它的道理的。至于数对中为何要先列后行，到了中学，研究了平面几何以后，大家可能会对这一问题有更深入的思考。”接着，有学生指出“…我觉得有可能需要三个数，因为我们生活的是三维空间。（此语一出，全场愕然！）三维空间，当然需要三个数。”甚至在研究魔方时，有学生认为：“魔方一共有好几层，先要确定它在第几层，然后再确定它在第几列、第几行，这样正好需要3个数。”又有学生补充说：“但是，我们觉得4个数就不可能了。”还有学生认为：“我觉得可能，还可以加上时间啊！”这里，学生的交流互动，无疑将对部分学生将来的数学学习产生不同程度的影响。
著名认知心理学家奥苏伯尔提出了三个主要的影响有意义学习和迁移的认知结构变量，即原有认知结构中观念的可利用性、新旧认知结构中观念的可辨别性和原有认知结构中观念的稳定性与清晰性，在张老师这两次教学中，都很好地得到了体现。
利用人类一切有效的学习方式
学生的数学学习活动是全面的、丰富的，也是多种形式并用的，观察学习、替代经验学习、体验学习、探究学习、发现学习与接受学习，甚至包括模仿与记忆等等，都各有长短。要帮助学生在尽可能短的时间内为终身发展打下基础，就不能拒绝人类一切有效的学习方式。
在2007年的教学中，张老师将“教学目标”预设为“1．在二年级‘第几排第几个’的基础上，自主建构‘用数对确定位置’的方法，体会它的准确性、简洁性；2．感受数学发现的乐趣，体验数学创造的价值。”也就奠定了自主探索、合作交流等学习方式是这节课学生学习的重要方式。同时，从“教学过程”的主要环节来看，学生经历了猜测、推理、验证、运用等数学活动过程。特别是在张老师板书出学生7种典型确定位置的方法后，师生、生生互动交流建构新的认知时，学生的数学学习活动更是突出体现在以上几个方面。
在2011年的教学中，张老师将“教学目标”预设为“1．在具体情境中，体会‘用数对确定位置’规则的合理性，会根据相应规则，用数对确定平面内物体或点的位置；2．感受数学思维、数学方法的严谨与美。”再考察这一教学的主要环节，张老师在直接板书出“（4，2）”这一有序数对后，学生是个“接受学习”的过程，接下来的学习中，学生在教师的引导下，在认真思考、主动探索、互动交流中，将这一新知与原有认知结构形成了“非人为”的“本质”的联系，进而给通过言语讲解的“接受学习”赋予了“意义”，实现了运用多种学习方式达到学习的高效。
目前，《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经颁布，该《课标》对学生的学习方式、师生关系等涉及的课程基本理念已有所调整，我们一线教师在认真学习、实践的同时，要作出理性的思考，“让学生在通过有限知识的学习过程中，掌握探索无限世界之本领”是我们仰望的那片“星空”，是我们追求的目标。张老师两次不同的教学，在学生学习方式的选择方面有明显差异，我要表达的不是要分一分两种处理孰优孰劣，但“尊重知识、尊重儿童、审视课标、审视教材”应该作为我们作出正确判断的出发点和落脚点。
简言之，我们不仅要倡导学习方式的多样化，更要根据学习内容和学生的情况选择合适的学习方式，以获得最佳的学习效果。
数学“四基”协调发展
“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”是当前数学课程的总目标之一。因此，学生“四基”的获得是数学学习的重要任务之一。张老师两次执教中对于“基础知识”和“基本技能”的关注与落实情况，前面已经评述，这里着重分析张老师如何帮助学生感受数学的“基本思想”、获得数学的“基本活动经验”。
1.感受数学的基本思想
数学知识和数学思想是数学教学的两条主线。数学知识是一条明线，它被明明白白地写在教材里；而数学思想则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼，并在教学中凸显。数学思想相比数学知识，具有更高的概括性和包容性，所以数学思想对学生的数学学习品质，以及学生的成长和发展具有更重要的影响，它应成为数学教育的重要内容。张老师在这两次执教中，都先后把要确定位置的对象从照片上的按行列排列的某一个人（如下图），转化为点阵中的某一个点（如下页图），这样的处理使学生初步感受了“数学抽象”的思想，也为学生将来平面直角坐标系概念的建立打下必要基础。
在2011年的教学中，当学生面对（４，２）这个数对，对这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排疑惑不解时，张老师透露：“我孩子最要好的朋友小邓，他所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）……”同时出示左下图：
于是，学生很快明确了数对（４，２）所确定的位置。这样的处理，使学生初步感受了“数学推理”的思想。
２.获得数学的基本活动经验
数学活动的教育意义，是让学生在亲身经历数学活动的过程中，能获得具有个体特征的情感体验、感性认识以及数学能力和数学素养。让学生获得“数学活动经验”,就是培养学生在活动中从数学的视角进行思考，直观地、合理地获得一些结果，这是数学创造的根本。
在2007年的教学中，张老师引导学生“尝试探索”获得7种典型确定位置的方法后，师生、生生互动交流建构新的认知时，学生经历了猜测、推理、验证、运用等数学活动过程，获得了数学思考的活动经验。
在2011年的教学中，在“质疑，拓展思维空间”的教学环节，学生列举出：教室的座位；地球仪上的经线和纬线；围棋、中国象棋或者国际象棋上类似的数字；电影院的座位；航班上的座位；魔方等多种生活中的相关数学活动经验。这些数学活动经验大多不是课堂现场获得的，一般称为延时反思的数学活动经验。
张老师的这两次执教，使我们感受到“四基”不是四个事物简单的累加、混合，它们相辅相成，相互促进：数学基础知识和基本技能是重要的教学内容，是数学教学活动的有效载体；数学基本思想是数学教学活动的灵魂；数学基本活动经验是数学教学活动中不可或缺的重要形式，它们统一于、服务于学生有效的数学学习活动。
张老师对于同一教学内容，给我们呈现了两种不同的教学风景，这种常教常新的做法值得提倡，他给我们展现了一线教师专业发展的一条有效的、可行的、独具优势的路径。同时，也使我们更加深刻地认识到，一线教师虽不是思想家，但要做个思想者；不能仅仅做个实践者，要成为实践家。
（汤雪峰，扬州市广陵区教育局教研室，225000）