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摘要：义务教育小学数学课程标准中提出的“课程目标”、“知识技能”等部分均涉及到了极限思想.由于小学生受认知水平的限制，对极限思想的教学主要在极限意识的渗透上，而课堂教学是渗透极限思想的主渠道.在小学数学极限思想教学活动过程中，教学设计应该基于儿童认知水平，呼应儿童思维特征，通过情境创设让学生初步感了解极限，感受极限的价值.
关键词：数学思想;极限思想;小学数学
中图分类号：G622文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）29-0053-02
数学课堂教学固然应该教会学生许多必要的数学知识，但让学生在学习这些结论的过程中掌握数学思想方法才是更为重要的.随着对数学思想的关注度越来越高，数形结合、分类思想、转化与化归思想、模型思想、方程思想等数学思想应用频率越来越高，数学思想方法已经受到越来越多的教师的重视.然而，在一些小学的数学课堂上，由于很多教师对极限思想的价值认识不足，缺少渗透极限思想的教学设计，数学极限意识的培养痕迹淡薄.
如何在小学生的头脑中播种下极限思想的“种子”，让其生根、发芽，为今后长成数学知识的大树打下坚实的基础，笔者认为必须以课堂教学为主线，瞄准数学极限思想展开课堂教学活动，并且向课外延伸.下面，笔者根据自己所在的乡村学校特点，以课堂教学为背景，谈一谈在小学数学课堂中渗透极限思想的几点策略.
一、建立无限观念
首先，什么是“极限”？简单地说，就是一个变化着的量，在其变化过程中无限趋近于一个固定的数值，我们就把这个固定的数值称为变化的量在其变化过程中的极限.极限是用以描述变化的量在一定的变化过程中的终极状态的概念.
极限的含义中有两个关键词：一是无限量，二是固定值.因此，要让学生接受极限思想，首先要帮助学生建立无限的观念.
1.在数与代数中建立无限观念
在学习四年级下册亿以上数的认识时，学生认识了亿，教师出示数位表后提问“”
追问：为什么亿级前面还有省略？
生：还有比亿位大的数.
师：亿已经特别大了，还会有比它大的数？我们来做一個游戏，请一位同学先写一个较大的数，下一个同学要写一个比他大的数，看看能不能找出最大的自然数.
通过游戏，让学生明白：亿虽然是一个很大数，但它仍然是有限的，比亿更大的数有很多，你想象有多大就有多大.自然数从0开始，后面的数总比前面的数多1，一个一个地数，总也数不完，因此说“自然数的个数是无限的，没有最大的自然数”.这样，在数的认识中初步建立起无限的观念.
在除法的教学中，除了让学生充分理解算理，掌握算法外，还可以有机地引导学生体会有限与无限的思想.两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有两种情况.一种情况是商的小数的位数是有限的;另一种情况，我们要提供感性材料，让学生多算几步，充分感知“除不尽”的新情况.然后引导学生仔细观察小数部分数字排列的规律，得到：商从某位起出现一个数字或几个数字依次不断重复出现.“不断重复出现”表示什么意思？由此引出循环小数的概念.以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数，让学生体会到了无限的思想.
在我们教材中，还有许多知识涉及数量无限多的情况，如：年月日的认识、 小数的意义、分数的意义、因数与倍数等知识中都蕴含着无限思想的影子.
2.在认识图形的教学中建立无限的观念.
在认识图形时也可以渗透有限与无限的思想.例如在教学线段、直线、射线的认识时，让学生联系实际，充分体验，建立对线段、直线、射线的一影象.
如何用有限长度的线段表示无限长度的直线，是学习的一个难点.在学生了解了线段、射线、直线的概念后，让学生在作业本上画出线段，再让他们把线段的一端往前不断延伸，直观感受无限的“概念”.
但是在实际生活中学生很难找到直线的具体实例.射线和直线都是为了深人研究，在头脑中想象出来的一种“线”.让我们闭上眼睛-起想象一下射线，一条线段向一端无限延长，延长，再延长……一直不断延长下去.那直线呢，继续想象一条线段向两端无限延长，延长，再延长……一直不断延长下去.我们需要让学生合理想象，感悟极限，调动多感官参与“无限”的感知中.
在《角的认识》学习中，体会角的两边延伸的特性，通过学习直线的位置关系，感知平行线也、是一种无限的量，体会无限.在教学过程中，我们要充分利用好教材，在传授探索新知的过程中，润物细无声的渗透无限概念.
二、感悟极限思想
极限的概念很抽象，要通过具体的案例，在应用极限思想解决某些“无限”问题的过程中来感悟极限思想.
1.在新知学习中感悟极限思想
在《圆的面积》一课教学中，笔者没有选用书中将圆转化为平行四边形的方法，而是让学生追寻古人的足迹进行摸索.让学生不断对折手中的圆纸片，随着折叠的次数越多，圆被等分的份数也越多，学生发现所得到的图形越接近于三角形，启发学生可以把圆等分成若干个三角形来计算面积.
同时，在多媒体出示魏晋时代的数学家刘微在其《九章算术注》中应用“割圆术”得到圆的半周长与半径之积等于圆的面积，刘微在描述这种作法时说“制之弥细，所失弥少，制之又制，以至不可制，则与圆周合体而无所失奥”. 让学生了解极限思想的产生和应用，可追溯到古代.
接着让学生利用割圆术推导圆的面积公式，先从圆的内接正六边形面积算起，接着研究正八边形面积，正十边形面积，正十二边形面积，多媒体展示正多边形的边数越来越多，正多边形就越来越接近圆.
现代多媒体手段能很好的化抽象为直观，帮助学生理解数学思想与方法.圆的面积是学生第一次接触曲线图形的面积，如何让学生感悟和体会“化曲为直”和“极限”的数学思想呢？教师设计了跟随古人的足迹，结合现代化的教学手段，出示圆内接正六边形，接着是正八边形，随着电脑展示多边形的边数越多这个正多边形就越接近圆，最后把几种正多边形进行对比，对比之后，教师引导学生讨论：是什么原因使最后的正多边形最像圆呢？让学生在观察、想象中感悟“化曲为直”和“极限”的数学思想，课后让学生思考是否还有别的推导方法，让学生利用课堂所学极限思想，把圆剪拼成长方形，推导公式. 在小学阶段如圆的面积、圆柱的体积等公式的推导过程都体现了化曲为直、化圆为方的极限思想，在通过有限分割拼合的变化趋势，想象它们无限分割的最终结果，既让学生掌握了计算公式又萌发了无限逼近的极限思想.由于受年龄特征的制约，小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们教师在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们形成数学思想提高抽象思维能力以至将来学习极限知识奠定基础.
2.在练习中感悟极限思想
六年级下册《数的认识》总复习中有一到题目：
在括号里填适当的数.
（1）0.9，0.99，0.999，（ ），（ ）……
12，14，18，（ ），（ ）……
上面两组数分别会越来越接近几？
学生通过以前的学习积累，都有直观感觉，第（1）题的规律是：每个小数的整数部分都是0，小数部分各数位上都是9，且从第二个数起，每个小数都比前一个小数多一位，题中的数会越来越接近1.第（2）题的规律是：相邻的两个数，后一个数总是前一个数与1/2相乘的积，题中的数会越来越接近0.我们也可以通过数形结合，给学生更直观的逼近感受，第（1）小题让学生在数轴上表示出这几个数，随着位数的增多，学生在数轴上的描的点越接近1.第（2）题可以用方形
形来表示，让学生直观感受随着分的份数越多，每份的面积越趋近于0.
极限思想的渗透是一个螺旋式的上升的过程，作为教师，我们应当有足够的耐心和信心，立足课堂，有选择地、有针对性地、适时地对学生进行极限思想的渗透，为其今后学习高等数学播种下希望之芽.
参考文献：
[1]李军.极限思想在小学數学教学中的渗透[J].黑龙江教育，2008：42.
[2]于雅洁.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].课程教育研究（新教师教学），2013：74.
[3]田丽华.数学思想方法有效渗透的思考[J].文理导航（教育研究与实践），2011（12）：69.
[4]郝克.应渗透极限思想数学教学[J].学苑教育，2010（16）：32.
[5]王炎萍.活用教材渗透“极限”——例谈小学数学极限思想的培养[J].创新时代，2016（10）：82-83.
[责任编辑：李璟]
作者简介：张丽（1988.3-），女，中小学一级教师，从事小学数学教学研究.
关键词：数学思想;极限思想;小学数学
中图分类号：G622文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）29-0053-02
数学课堂教学固然应该教会学生许多必要的数学知识，但让学生在学习这些结论的过程中掌握数学思想方法才是更为重要的.随着对数学思想的关注度越来越高，数形结合、分类思想、转化与化归思想、模型思想、方程思想等数学思想应用频率越来越高，数学思想方法已经受到越来越多的教师的重视.然而，在一些小学的数学课堂上，由于很多教师对极限思想的价值认识不足，缺少渗透极限思想的教学设计，数学极限意识的培养痕迹淡薄.
如何在小学生的头脑中播种下极限思想的“种子”，让其生根、发芽，为今后长成数学知识的大树打下坚实的基础，笔者认为必须以课堂教学为主线，瞄准数学极限思想展开课堂教学活动，并且向课外延伸.下面，笔者根据自己所在的乡村学校特点，以课堂教学为背景，谈一谈在小学数学课堂中渗透极限思想的几点策略.
一、建立无限观念
首先，什么是“极限”？简单地说，就是一个变化着的量，在其变化过程中无限趋近于一个固定的数值，我们就把这个固定的数值称为变化的量在其变化过程中的极限.极限是用以描述变化的量在一定的变化过程中的终极状态的概念.
极限的含义中有两个关键词：一是无限量，二是固定值.因此，要让学生接受极限思想，首先要帮助学生建立无限的观念.
1.在数与代数中建立无限观念
在学习四年级下册亿以上数的认识时，学生认识了亿，教师出示数位表后提问“”
追问：为什么亿级前面还有省略？
生：还有比亿位大的数.
师：亿已经特别大了，还会有比它大的数？我们来做一個游戏，请一位同学先写一个较大的数，下一个同学要写一个比他大的数，看看能不能找出最大的自然数.
通过游戏，让学生明白：亿虽然是一个很大数，但它仍然是有限的，比亿更大的数有很多，你想象有多大就有多大.自然数从0开始，后面的数总比前面的数多1，一个一个地数，总也数不完，因此说“自然数的个数是无限的，没有最大的自然数”.这样，在数的认识中初步建立起无限的观念.
在除法的教学中，除了让学生充分理解算理，掌握算法外，还可以有机地引导学生体会有限与无限的思想.两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有两种情况.一种情况是商的小数的位数是有限的;另一种情况，我们要提供感性材料，让学生多算几步，充分感知“除不尽”的新情况.然后引导学生仔细观察小数部分数字排列的规律，得到：商从某位起出现一个数字或几个数字依次不断重复出现.“不断重复出现”表示什么意思？由此引出循环小数的概念.以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数，让学生体会到了无限的思想.
在我们教材中，还有许多知识涉及数量无限多的情况，如：年月日的认识、 小数的意义、分数的意义、因数与倍数等知识中都蕴含着无限思想的影子.
2.在认识图形的教学中建立无限的观念.
在认识图形时也可以渗透有限与无限的思想.例如在教学线段、直线、射线的认识时，让学生联系实际，充分体验，建立对线段、直线、射线的一影象.
如何用有限长度的线段表示无限长度的直线，是学习的一个难点.在学生了解了线段、射线、直线的概念后，让学生在作业本上画出线段，再让他们把线段的一端往前不断延伸，直观感受无限的“概念”.
但是在实际生活中学生很难找到直线的具体实例.射线和直线都是为了深人研究，在头脑中想象出来的一种“线”.让我们闭上眼睛-起想象一下射线，一条线段向一端无限延长，延长，再延长……一直不断延长下去.那直线呢，继续想象一条线段向两端无限延长，延长，再延长……一直不断延长下去.我们需要让学生合理想象，感悟极限，调动多感官参与“无限”的感知中.
在《角的认识》学习中，体会角的两边延伸的特性，通过学习直线的位置关系，感知平行线也、是一种无限的量，体会无限.在教学过程中，我们要充分利用好教材，在传授探索新知的过程中，润物细无声的渗透无限概念.
二、感悟极限思想
极限的概念很抽象，要通过具体的案例，在应用极限思想解决某些“无限”问题的过程中来感悟极限思想.
1.在新知学习中感悟极限思想
在《圆的面积》一课教学中，笔者没有选用书中将圆转化为平行四边形的方法，而是让学生追寻古人的足迹进行摸索.让学生不断对折手中的圆纸片，随着折叠的次数越多，圆被等分的份数也越多，学生发现所得到的图形越接近于三角形，启发学生可以把圆等分成若干个三角形来计算面积.
同时，在多媒体出示魏晋时代的数学家刘微在其《九章算术注》中应用“割圆术”得到圆的半周长与半径之积等于圆的面积，刘微在描述这种作法时说“制之弥细，所失弥少，制之又制，以至不可制，则与圆周合体而无所失奥”. 让学生了解极限思想的产生和应用，可追溯到古代.
接着让学生利用割圆术推导圆的面积公式，先从圆的内接正六边形面积算起，接着研究正八边形面积，正十边形面积，正十二边形面积，多媒体展示正多边形的边数越来越多，正多边形就越来越接近圆.
现代多媒体手段能很好的化抽象为直观，帮助学生理解数学思想与方法.圆的面积是学生第一次接触曲线图形的面积，如何让学生感悟和体会“化曲为直”和“极限”的数学思想呢？教师设计了跟随古人的足迹，结合现代化的教学手段，出示圆内接正六边形，接着是正八边形，随着电脑展示多边形的边数越多这个正多边形就越接近圆，最后把几种正多边形进行对比，对比之后，教师引导学生讨论：是什么原因使最后的正多边形最像圆呢？让学生在观察、想象中感悟“化曲为直”和“极限”的数学思想，课后让学生思考是否还有别的推导方法，让学生利用课堂所学极限思想，把圆剪拼成长方形，推导公式. 在小学阶段如圆的面积、圆柱的体积等公式的推导过程都体现了化曲为直、化圆为方的极限思想，在通过有限分割拼合的变化趋势，想象它们无限分割的最终结果，既让学生掌握了计算公式又萌发了无限逼近的极限思想.由于受年龄特征的制约，小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们教师在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们形成数学思想提高抽象思维能力以至将来学习极限知识奠定基础.
2.在练习中感悟极限思想
六年级下册《数的认识》总复习中有一到题目：
在括号里填适当的数.
（1）0.9，0.99，0.999，（ ），（ ）……
12，14，18，（ ），（ ）……
上面两组数分别会越来越接近几？
学生通过以前的学习积累，都有直观感觉，第（1）题的规律是：每个小数的整数部分都是0，小数部分各数位上都是9，且从第二个数起，每个小数都比前一个小数多一位，题中的数会越来越接近1.第（2）题的规律是：相邻的两个数，后一个数总是前一个数与1/2相乘的积，题中的数会越来越接近0.我们也可以通过数形结合，给学生更直观的逼近感受，第（1）小题让学生在数轴上表示出这几个数，随着位数的增多，学生在数轴上的描的点越接近1.第（2）题可以用方形
形来表示，让学生直观感受随着分的份数越多，每份的面积越趋近于0.
极限思想的渗透是一个螺旋式的上升的过程，作为教师，我们应当有足够的耐心和信心，立足课堂，有选择地、有针对性地、适时地对学生进行极限思想的渗透，为其今后学习高等数学播种下希望之芽.
参考文献：
[1]李军.极限思想在小学數学教学中的渗透[J].黑龙江教育，2008：42.
[2]于雅洁.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].课程教育研究（新教师教学），2013：74.
[3]田丽华.数学思想方法有效渗透的思考[J].文理导航（教育研究与实践），2011（12）：69.
[4]郝克.应渗透极限思想数学教学[J].学苑教育，2010（16）：32.
[5]王炎萍.活用教材渗透“极限”——例谈小学数学极限思想的培养[J].创新时代，2016（10）：82-83.
[责任编辑：李璟]
作者简介：张丽（1988.3-），女，中小学一级教师，从事小学数学教学研究.