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【摘要】三角形五“心”——外心、重心、垂心、内心以及旁心的向量形式的充要条件并加以证明，推广到四面体的五“心”——外心、重心、垂心及其棱心的向量形式的充要条件并加以证明.
【关键词】外心；内心；垂心；重心；旁心；棱心
三角形作为最基本的图形之一，在几何中有着特殊重要地位.从《周髀》《九章》《几何原本》到现在一直对它的性质进行广泛的研究并推广，特别在现代数学的各种研究文献中对三角形在空间中的“正规推广”——四面体的研究有很大的突破.
三角形的几乎所有性质都可推广到四面体上去.本文主要对三角形的五“心”——外心、重心、垂心、内心及其旁心的向量形式的充要条件进行研究并推广到四面体的五“心”——外心、重心、垂心、内心及其棱心的向量形式的充要条件.
一、三角形五“心”向量形式的充要条件
1.外 心
结论1 如图1，若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的外心的充要条件是OA2=OB2=OC2.
证明 由向量数量积的运算性质,可得a2=|a|2，
∴OA2=OB2=OC2|OA2|=|OB2|=|OC2||OA|=|OB|=|OC|O是△ABC的外心.
2.重 心
结论2 若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0.
证明 充分性.若OA+OB+OC=0，如图2，作以OA，OB为邻边的OBC′A，OC′与AB交于D点，则D为AB的中点且由OA+OB+OC=0OA+OB=-OC，而根据向量加法定义，可得OA+OB=OC′，OC=-OC′，
∴C，O，C′三点共线，而D在OC′上，∴D在CC′上.
∴OD是△ABC的边AB上的中线.设AO，BO的延长线交对边分别于E，F，同理可得AE，BF为边BC，AC的中线.
∴O是△ABC的重心.
必要性.设O是△ABC的重心，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点.如图3，延长OD到M，使得|OM|=2|OD|，则四边形OAMB为平行四边形，根据向量加法的定义，可得
OA+OB=OM.
∵O是△ABC的重心，
∴|OC|=2|OD|，
∴|OC|=|OM|.
又 ∵C，O，M三点共线，
∴OM=-OC，即OA+OB=-OC.
∴OA+OB+OC=0.
3.垂 心
结论3 如图4，若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的垂心的充要条件是OA•OB=OB•OC=OC•OA.
证明 充分性.若OA•OB=OB•OC=OC•OA，有OA•OB=OB•OC，得OA•OB-OB•OC=0.
∴OB•(OA-OC)=0，
∴OB⊥CA，同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，
∴O是△ABC的垂心.
必要性.若O是△ABC的垂心，则
OB⊥CA，OC⊥AB，OA⊥BC.
由OC⊥AB，得OB•OC=0.
而AB=OB-OA，∴OC•(OB-OA)=0，
∴OB•OC-OC•OA=0，即OB•OC=OC•OA.
同理可得OA•OB=OC•OA，
∴OA•OB=OB•OC=OC•OA.
4.内 心
结论4 若O是△ABC所在平面上一点，∠A，∠B，∠C所对的边的边长分别是a，b，c，则O是△ABC的内心的充要条件是aOA+bOB+cOC=0.
证明 必要性.若O是△ABC的内心，延长AO交BC于D.如图5，由三角形内角平分线的性质定理，得
AOOD=ABBD=ACCD=b+ca.
于是aOA+(b+c)OD=0，
再由BDDC=cb，有OD=bb+cOB+cb+cOC（定比分点），代入前式中，便有aOA+bOB+cOC=0.反之，若点I满足aIA+bIB+cIC=0，则aIA+bIB+cIC=0与aOA+bOB+cOC=0相减，可得(a+b+c)IO=0.于是IO=0，从而I与O重合，即I为△ABC的内心.
5.旁 心
结论5 点O是△ABC的∠A的旁心的充要条件是aOA=bOB+cOC；∠B的旁心的充要条件是bOB=aOA+cOC.其证明与结论4的证明相仿（唯一的区别是结论4中OA与OD方向相反而结论5中O为∠A的旁心时OA与OD方向相同）.
二、四面体的五“心”向量形式的充要条件
1.外 心
结论1 O是四面体PABC的外心的充要条件是OP2=OA2=OB2=OC2.
证明 由向量数量积的运算性质，可得a2=|a|2.
∴OP2=OA2=OB2=OC2
|OP2|=|OA2|=|OB2|=|OC2|
|OP|=|OA|=|OB|=|OC|
O是四面体PABC的外心.
2.重 心
结论2 O是四面体PABC的重心的充要条件是OP+OA+OB+OC=0.
证明 作以四面体PABC的外心I为原点的坐标系，如图8，并设O(x,y,z),P(x1,y1,z1),A(x2,y2,z2),B(x3,y3,z3),C(x4,y4,z4).
必要性.若O是四面体PABC的重心，则
x=14∑4i=1xi,y=14∑4i=1yi,
z=14∑4i=1zi，
则OP+OA+OB+OC
=∑4i=1xi-14∑4i=1xi，∑4i=1yi-14∑4i=1yi，
∑4i=1zi-14∑4i=1zi，
而∑4i=1xi-14∑4i=1xi=∑4i=1xi-4×14∑4i=1xi=0，
同理可得∑4i=1yi-14∑4i=1yi=0，
∑4i=1zi-14∑4i=1zi=0，
∴OP+OA+OB+OC=0.
充分性.若OP+OA+OB+OC=0，则
4x-∑4i=1xi=0，4y-∑4i=1yi=0，4z-∑4i=1zi=0，
即x=14∑4i=1xi，y=14∑4i=1yi，z=14∑4i=1zi.
则O是四面体PABC的重心.
3.垂 心
结论3 如图9，O是四面体PABC的垂心的充要条件是OP•OA=OP•OB=OP•OC=OB•OA=OC•OB=OA•OC.
证明 充分性.
∵OP•OA=OP•OB，
∴OP•（OA-OB）=0.
∴OP•AB=0，∴OP⊥AB.
同理可得OP⊥CB，则OP⊥面ABC.
同理可得OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP，
∴O是四面体PABC的垂心.
必要性.若O是四面体PABC的垂心，则OP⊥面ABC，OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP.
则OP⊥AB，∴OP•AB=0.
即OP•（OA-OB）=0，即OP•OA=OP•OB.
同理可得OP•OB=OP•OC，
OP•OA=OA•OB，OC•OA=OC•OB.
∴OP•OA=OP•OB=OP•OC
=OB•OA=OC•OB=OA•OC.
4.内 心
结论4 如图10，O是四面体PABC的内一点，分别连接PO，AO，BO，CO并分别延长与对面交于O1，O2，O3，O4，则O是四面体PABC的内心的充要条件是|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.
证明必要性.若O是四面体PABC的内心，设O到各面的距离是R，P到面ABC的高、A到面PBC的高、B到面PAC的高、C到面PAB的高分别为H1,H2,H3,H4，则
|PO1||OO1|=H1R，|AO2||OO2|=H2R，|BO3||OO3|=H3R，|CO4||OO4|=H4R，
∴|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=H1 ∶ H2 ∶ H3 ∶ H4.
∵H1S△ABC=H2S△PBC=H3S△PAC=H4S△PAB，
|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|
=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.
充分性.设O到各面的距离分别是r1，r2，r3，r4，则由必要性的逆推可知
|PO1||OO1|=H1r1，|AO2||OO2|=H2r2，|BO3||OO3|=H3r3，|CO4||OO4|=H4r4，
而|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|
=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP，
∴r1∶ r2∶ r3∶ r4=H1S△ABC∶ H2S△PBC∶ H3S△ACP∶ H4S△ABP
=1 ∶1 ∶1 ∶1，
∴O为四面体PABC的内心.
5.棱 心
结论5 如图11，设BC=a，AC=b，AB=c，PA=d，PB=e，PC=f，O是四面体PABC内一点，分别作OO1⊥面ABC于O1，OO2⊥面PBC于O2，OO3⊥面APC于O3，OO4⊥面PAB于O4，则O是四面体PABC的棱心的充要条件是aO1A+bO1B+cO1C=0，eO2C+fO2B+aO2P=0，bO3P+dO3C+fO3A=0，cO4P+dO4B+eO4A=0.
证明 充分性.由前面三角形的内心向量形式的充要条件可知O1，O2，O3，O4分别是△ABC， △PBC， △PAC， △PAB的内心，由射影定理得O到各条棱的距离相等，所以O是四面体PABC的棱心.
必要性显然可得.
【参考文献】
［1］杨之.初等数学研究论文选［Ｍ］.上海：上海教育出版社，1992:489-500.
［2］赵加营.三角形五“心”向量的充要条件［J］.数学通讯，2002（11）:36-38.
［3］李运兴.四面体的重心定理及其证明［J］.中学数学教学参考，1992（1-2）：36.
［4］几何学辞典［O］.上海：上海教育出版社.
［5］段惠民.四面体的外四号心及其作用［J］.数学通讯，2003（6）.
【关键词】外心；内心；垂心；重心；旁心；棱心
三角形作为最基本的图形之一，在几何中有着特殊重要地位.从《周髀》《九章》《几何原本》到现在一直对它的性质进行广泛的研究并推广，特别在现代数学的各种研究文献中对三角形在空间中的“正规推广”——四面体的研究有很大的突破.
三角形的几乎所有性质都可推广到四面体上去.本文主要对三角形的五“心”——外心、重心、垂心、内心及其旁心的向量形式的充要条件进行研究并推广到四面体的五“心”——外心、重心、垂心、内心及其棱心的向量形式的充要条件.
一、三角形五“心”向量形式的充要条件
1.外 心
结论1 如图1，若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的外心的充要条件是OA2=OB2=OC2.
证明 由向量数量积的运算性质,可得a2=|a|2，
∴OA2=OB2=OC2|OA2|=|OB2|=|OC2||OA|=|OB|=|OC|O是△ABC的外心.
2.重 心
结论2 若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0.
证明 充分性.若OA+OB+OC=0，如图2，作以OA，OB为邻边的OBC′A，OC′与AB交于D点，则D为AB的中点且由OA+OB+OC=0OA+OB=-OC，而根据向量加法定义，可得OA+OB=OC′，OC=-OC′，
∴C，O，C′三点共线，而D在OC′上，∴D在CC′上.
∴OD是△ABC的边AB上的中线.设AO，BO的延长线交对边分别于E，F，同理可得AE，BF为边BC，AC的中线.
∴O是△ABC的重心.
必要性.设O是△ABC的重心，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点.如图3，延长OD到M，使得|OM|=2|OD|，则四边形OAMB为平行四边形，根据向量加法的定义，可得
OA+OB=OM.
∵O是△ABC的重心，
∴|OC|=2|OD|，
∴|OC|=|OM|.
又 ∵C，O，M三点共线，
∴OM=-OC，即OA+OB=-OC.
∴OA+OB+OC=0.
3.垂 心
结论3 如图4，若O是△ABC所在平面上一点，则O是△ABC的垂心的充要条件是OA•OB=OB•OC=OC•OA.
证明 充分性.若OA•OB=OB•OC=OC•OA，有OA•OB=OB•OC，得OA•OB-OB•OC=0.
∴OB•(OA-OC)=0，
∴OB⊥CA，同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，
∴O是△ABC的垂心.
必要性.若O是△ABC的垂心，则
OB⊥CA，OC⊥AB，OA⊥BC.
由OC⊥AB，得OB•OC=0.
而AB=OB-OA，∴OC•(OB-OA)=0，
∴OB•OC-OC•OA=0，即OB•OC=OC•OA.
同理可得OA•OB=OC•OA，
∴OA•OB=OB•OC=OC•OA.
4.内 心
结论4 若O是△ABC所在平面上一点，∠A，∠B，∠C所对的边的边长分别是a，b，c，则O是△ABC的内心的充要条件是aOA+bOB+cOC=0.
证明 必要性.若O是△ABC的内心，延长AO交BC于D.如图5，由三角形内角平分线的性质定理，得
AOOD=ABBD=ACCD=b+ca.
于是aOA+(b+c)OD=0，
再由BDDC=cb，有OD=bb+cOB+cb+cOC（定比分点），代入前式中，便有aOA+bOB+cOC=0.反之，若点I满足aIA+bIB+cIC=0，则aIA+bIB+cIC=0与aOA+bOB+cOC=0相减，可得(a+b+c)IO=0.于是IO=0，从而I与O重合，即I为△ABC的内心.
5.旁 心
结论5 点O是△ABC的∠A的旁心的充要条件是aOA=bOB+cOC；∠B的旁心的充要条件是bOB=aOA+cOC.其证明与结论4的证明相仿（唯一的区别是结论4中OA与OD方向相反而结论5中O为∠A的旁心时OA与OD方向相同）.
二、四面体的五“心”向量形式的充要条件
1.外 心
结论1 O是四面体PABC的外心的充要条件是OP2=OA2=OB2=OC2.
证明 由向量数量积的运算性质，可得a2=|a|2.
∴OP2=OA2=OB2=OC2
|OP2|=|OA2|=|OB2|=|OC2|
|OP|=|OA|=|OB|=|OC|
O是四面体PABC的外心.
2.重 心
结论2 O是四面体PABC的重心的充要条件是OP+OA+OB+OC=0.
证明 作以四面体PABC的外心I为原点的坐标系，如图8，并设O(x,y,z),P(x1,y1,z1),A(x2,y2,z2),B(x3,y3,z3),C(x4,y4,z4).
必要性.若O是四面体PABC的重心，则
x=14∑4i=1xi,y=14∑4i=1yi,
z=14∑4i=1zi，
则OP+OA+OB+OC
=∑4i=1xi-14∑4i=1xi，∑4i=1yi-14∑4i=1yi，
∑4i=1zi-14∑4i=1zi，
而∑4i=1xi-14∑4i=1xi=∑4i=1xi-4×14∑4i=1xi=0，
同理可得∑4i=1yi-14∑4i=1yi=0，
∑4i=1zi-14∑4i=1zi=0，
∴OP+OA+OB+OC=0.
充分性.若OP+OA+OB+OC=0，则
4x-∑4i=1xi=0，4y-∑4i=1yi=0，4z-∑4i=1zi=0，
即x=14∑4i=1xi，y=14∑4i=1yi，z=14∑4i=1zi.
则O是四面体PABC的重心.
3.垂 心
结论3 如图9，O是四面体PABC的垂心的充要条件是OP•OA=OP•OB=OP•OC=OB•OA=OC•OB=OA•OC.
证明 充分性.
∵OP•OA=OP•OB，
∴OP•（OA-OB）=0.
∴OP•AB=0，∴OP⊥AB.
同理可得OP⊥CB，则OP⊥面ABC.
同理可得OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP，
∴O是四面体PABC的垂心.
必要性.若O是四面体PABC的垂心，则OP⊥面ABC，OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP.
则OP⊥AB，∴OP•AB=0.
即OP•（OA-OB）=0，即OP•OA=OP•OB.
同理可得OP•OB=OP•OC，
OP•OA=OA•OB，OC•OA=OC•OB.
∴OP•OA=OP•OB=OP•OC
=OB•OA=OC•OB=OA•OC.
4.内 心
结论4 如图10，O是四面体PABC的内一点，分别连接PO，AO，BO，CO并分别延长与对面交于O1，O2，O3，O4，则O是四面体PABC的内心的充要条件是|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.
证明必要性.若O是四面体PABC的内心，设O到各面的距离是R，P到面ABC的高、A到面PBC的高、B到面PAC的高、C到面PAB的高分别为H1,H2,H3,H4，则
|PO1||OO1|=H1R，|AO2||OO2|=H2R，|BO3||OO3|=H3R，|CO4||OO4|=H4R，
∴|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=H1 ∶ H2 ∶ H3 ∶ H4.
∵H1S△ABC=H2S△PBC=H3S△PAC=H4S△PAB，
|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|
=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.
充分性.设O到各面的距离分别是r1，r2，r3，r4，则由必要性的逆推可知
|PO1||OO1|=H1r1，|AO2||OO2|=H2r2，|BO3||OO3|=H3r3，|CO4||OO4|=H4r4，
而|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|
=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP，
∴r1∶ r2∶ r3∶ r4=H1S△ABC∶ H2S△PBC∶ H3S△ACP∶ H4S△ABP
=1 ∶1 ∶1 ∶1，
∴O为四面体PABC的内心.
5.棱 心
结论5 如图11，设BC=a，AC=b，AB=c，PA=d，PB=e，PC=f，O是四面体PABC内一点，分别作OO1⊥面ABC于O1，OO2⊥面PBC于O2，OO3⊥面APC于O3，OO4⊥面PAB于O4，则O是四面体PABC的棱心的充要条件是aO1A+bO1B+cO1C=0，eO2C+fO2B+aO2P=0，bO3P+dO3C+fO3A=0，cO4P+dO4B+eO4A=0.
证明 充分性.由前面三角形的内心向量形式的充要条件可知O1，O2，O3，O4分别是△ABC， △PBC， △PAC， △PAB的内心，由射影定理得O到各条棱的距离相等，所以O是四面体PABC的棱心.
必要性显然可得.
【参考文献】
［1］杨之.初等数学研究论文选［Ｍ］.上海：上海教育出版社，1992:489-500.
［2］赵加营.三角形五“心”向量的充要条件［J］.数学通讯，2002（11）:36-38.
［3］李运兴.四面体的重心定理及其证明［J］.中学数学教学参考，1992（1-2）：36.
［4］几何学辞典［O］.上海：上海教育出版社.
［5］段惠民.四面体的外四号心及其作用［J］.数学通讯，2003（6）.