〔关键词〕 初中数学教学;线段积的关系;生成原理;
　　 分析方法
　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2009)11(B)—0051—01
　　
　　 “线段积+线段积=线段积”的证明是初中几何证明中的一个难点,难就难在学生不了解此类命题的生成过程,所以面对这一复杂的证明对象,不知从哪里开始下手.下面,笔者就对此类命题的证明方法进行一些探究和说明.
　　 一、 生成过程
　　 第一类生成方法:
　　 例1 AB为⊙O的直径,M、N为⊙O上任意两点,且AM与BN交于点P,求证:AP·AM+BP·BN=AB2 .
　　 分析:注意到这个问题的设计者所使用的图形,很明显,图1不但满足题目的要求,同时还添加了三条线段(分别连结AN、BM,并作PQ⊥AB于Q),从而出现了两对相似三角形,即△APQ∽△ABM 和 △BPQ∽△BAN .由△APQ∽△ABM易得出AP·AM=AQ·AB(1),由△BPQ∽△BAN易得BP·BN=BQ·AB(2),(1)(2)两式相加便有AP·AM+BP·BN=AQ·AB+BQ·AB(等和式Ⅰ),即AP·AM+BP·BN=AB(AQ+BQ)=AB2.
　　 说明:这个命题的实质是,首先由题设中蕴含的两对相似三角形得到两对等积式,两个等积式相加便形成“线段积+线段积=线段积+线段积”的基本结构(我们不妨称它为等和式I,下同),而这个等和式I的右端(AQ·AB + BQ·AB)由于存在公因式AB,所以可以提取公因式加以合并,于是便形成“线段积+线段积=线段积”的形式.很明显,这里的“线段积+线段积=线段积”是由等和式Ⅰ的一端合并成的.
　　 第二类生成方法:
　　Ⅱ),注意到等积式Ⅱ中CD=CE+ED,故等积式Ⅱ又可变为CA·CB=CE(CE+ED)=CE2·CE·ED ,根据相交弦定理有CE·ED=AE·EB,替换后即得命题结论.
　　 说明:本题是由一对相似三角形,首先得到了等积式Ⅱ,接着,其中一条线段一分为二,从而将“线段积=线段积”的形式变成了“线段积=线段积+线段积”的形式.所以,这里的“线段积+线段积=线段积”是由等积式Ⅱ的一端分裂而成的.
　　 由此看来,“线段积+线段积=线段积”的结构,要么是由等和式Ⅰ的一端合并而成,要么是由等积式Ⅱ的一端分裂而成.
　　 二、分析过程
　　 由上面的剖析不难看出,证明“线段积+线段积=线段积”的首要任务是弄清它是由等和式Ⅰ合并而成,还是由等积式Ⅱ分裂而成.
　　 注意: 若是由等积式Ⅱ分裂而成,其含有两项的一端总能合并,若是由等和式Ⅰ合并而成,其含有两项的一端不能再合并.所以解题的关键要看待证结论含有两项的一端能否合并,如果其含有两项的一端不能再合并,说明它是由一个等和式合并成的,故需化一项为两项,复原成等和式Ⅰ.如果其含有两项的一端能够合并,就说明它是由一个等积式分裂成的,故需合两项为一项,复原成等积式Ⅱ.然后,顺藤摸瓜,完成对命题的分析和解答.
　　 若待证结论复原成等和式Ⅰ,其后的分析过程应该为:
　　 ①写出两个等积式
　　②分别化成比例式
　　③寻找两对相似三角形
　　若待证结论复原成等积式Ⅱ,其后的分析过程为:
　　 ① 写成一个等积式
　　 ② 化成比例式
　　 ③ 寻找一对相似三角形
　　例3在Rt△ACB中,∠C=90°,求证:AC2+BC2=AB2.
　　 分析:①待证式AC2+BC2=AB2左端两项不好合并,故需化AB2为“线段积+线段积”的形式,过C作CD⊥AB于D,则AB=AD+BD,于是待证结论可变为AC2+BC2=AB·AD+AB·DB.
　　 ②令AB·AD=AC2,AB·DB=BC2 .
　　 证明过程略.