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[摘 要] 二元函数值域问题是高考和各类竞赛的热点，由于此类问题涉及的知识面广，难度大，往往包含了高中数学各方面的知识，经常与函数、方程、不等式、三角、向量与几何等知识整合，灵活性、综合性强，求解方法较多，蕴含丰富的数学思想和方法，而且利于学生思维发散，培养学生转化与化归能力.
[关键词] 二元函数值域；三角换元；函数与方程；转化与化归
二元函数问题最早出现在人教版教材必修5中的線性规划部分，以探究二元线性目标函数z=ax by在线性区域上的值域为主，通过转化，变化为平行线族y=-x z在线性区域上的纵截距值域问题，并在此基础上继续研究与距离相关的二元非线性目标函数z=（x-a）2 （y-b）2或与斜率相关的二元非线性目标函数z=为主的值域问题. 在高三数学一轮复习后，我们发现很多高三学生对于二元函数的值域问题，还是比较陌生，无从下手，导致失分，或者不能马上找到解题的切入点，耗费较长时间来答题，效率低下，甚至影响整张试卷的得分，高三学生处理二元函数值域问题的能力亟待加强. 为此，我们高三备课组在二轮复习中，把这一块内容与函数内容相融合. 由于是复习课，我们尽可能将知识与方法融合在一起，力求从多个视角、多种思想方法来渗透. 教师将通过“一题多解”，实现知识的纵向关联以期有效构建学生的知识方法体系，最后回归“多题一解”，实现问题解法的优化，使得学生能脱离“题海”，提高解题效率.
[?] 专题学案：二元函数值域问题的解法
问题1：若正数x，y满足2x y=xy，则x y的最小值为_______，此时x=______，y=_______.
1. 试题回放，梳理知识系统
高三复习中二元函数值域问题蕴含知识内容多，思想方法也多，一个问题由于视角不同，往往可以开展“一题多解”；而多个问题看似不同，蕴含的知识或思想方法相似甚至相同，往往可以开展“多题一解”. 通过一轮复习中发现的问题以及高三模拟卷的检测，我们高三备课组发现，学生对于解决此类问题的思维和解题能力颇有欠缺. 教师要弥补这些缺失，势必从学生的认知基础出发，以一轮复习及高三模拟题中的典型问题为引子，通过试题回放，学生参与解题，力求让学生自主探究，梳理知识系统，提高解题能力，进一步培养学生的纠错能力，帮助他们树立信心，提升数学素养.
2. 课堂活动，体现生本课堂
在课堂教学中，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，如果这样，教师就起到了主导作用，也就把课堂交给了学生，体现生本课堂的理念.教师在课堂教学中，应调动每位学生的积极性，重视每位学生的思维参与，教师要注重思维品质，让学生在课堂教学中展示解题过程，充分暴露思维过程，唤起学生对数学问题“火热”的思考. 如若教师独自讲解，则换来的是学生对数学问题“冰冷美”的感触，效果不佳.在考虑学生主体作用的基础上，对本专题的学习活动，我们备课组做了如下设计：
（1）展示学生的解法（拍照后用多媒体展示），提出解题思路；
（2）师生交流，点评小结.
在问题1学生展示中有2个片段：
片段1：传统解法 水到渠成
学生1：因为x，y都是正数，用基本不等式来处理，根据条件给出的结构特点，等式两边同除以xy，得到 =1，代入有x y=（x y）
=3 ≥3 2，再检验等号可以取到.
学生2：根据方程2x y=xy，得出y=，代入有x y=x =3 （x-1） ≥3 2. 由条件中的y=>0，可以得到x>1，最后检验等号能否取到.
学生3：令x y=t，则y=t-x，代入2x y=xy，整理成关于x的方程x2 （1-t）x t=0.
由题知x2 （1-t）x t=0在（0，t）上有解，所以Δ=（1-t）2-4t≥0，得t≥3 2.
检验：当t=3 2时，有x=1 ，y=2 ，符合题意，故（x y）min=3 2.
备注：三位学生的解法是根据高三一轮复习后，对此类二元函数最值解法已经形成的思维定式. 根据解题经验，代表了传统解法，思维与解法非常流畅，水到渠成.
片段2：另类解法 旁敲侧击
给出这三种解法后，学生一片欢呼，大部分同学认为已无别法，教师继续问：还有其他解法吗？
学生4：先将条件转换成 =1，然后用三角换元来处理.令=cos2θ，=sin2θ，得出x=，y=，但代入后，我就做不下去了，形式太复杂了.
教师按照学生4的解法，在黑板上给出如下过程：x y= .
教师追问：你打算怎么求？
学生4：通分，但是感觉很烦琐，好像做不出来.
教师继续按照学生4的要求，板书过程：x y= =.
教师：同学们，如果我们按照这个办法坚持下去，应该怎么做？
教室里沉默了. 过了一会儿，有学生提出用降幂公式，教师按照学生的要求继续板书：
==.
教师追问：那然后呢？
学生3（又站起来）：用我刚才的方法，令=t，看成以cos2θ为整体的二次方程有解问题.
教室里又一片欢呼，教师继续板书：tcos22θ 2cos2θ 6-t=0，看成以cos2θ为变量的二次方程，在（-1，1）上有解，必有Δ≥0，解得t≥3 2，再检验等号取到是否有意义.
备注：方法4是本节课的一个意外，是个别学生思维的自然生成，是教师在执教过程中没有预料到的. 但通过教师循循善诱，学生思维拾级而上，看似解法不合理，但是最后却能解决，实属意料之外. 不一样的收获，培养了学生的运算求解能力、消元意识，有较好教益.
教师评析1：方法1适用的范围是：当二元是正数，且给出的等式与所求式子是次数互补的结构特点时，又例如ax by=1（a，b，x，y∈R），求二元函数z= （c，d，x，y∈R）最值时往往用“1”的代换，结果不变，但效果变了，没有和（或积）一定，但可以构造积（或和）一定. 此类问题形式灵活，需要我们观察并转化，在用基本不等式的时候务必检验等号能否取到. 教师评析2：方法2适用的范围是：通过给定的等式，减少变量，也就是消元后代入二元函数转化为单元函数，最后可以采用对勾函数的图像与性质来求最值，也可以用基本不等式求最值，需检验等号能否取到.
教师评析3：方法3适用的范围是：通过换元，即将所求的二元函数（往往是一次）换元为变量t，再确定某主元为变量的二次方程有解，利用判别式构建不等式，等号能否取到要检验. 实际上，当x，y为实数时，用方程有根即Δ≥0来获得t的取值范围较受推荐，当然最后还是应该检验是否符合题目条件.
教师评析4：方法4主要适用于有平方关系的两个变量，是方法2与方法3的并用. 利用三角换元虽然烦琐，但可以实现消元，蕴含的数学思想与方法2如出一辙，有异曲同工之妙，都是减少未知数，实现多元消元的功能，体现了数学中的转化与化归，值得肯定，也值得推荐.
教师：我们来小结一下常见的求二元函数值域的方法（板书展示）.
（1）基本不等式法：主要适用于两个正数和（积）一定时，求积（和）的单向值域.
（2）多元消元法：借助换元或代入，实现多元函数单元化，用函数视角或基本不等式来求最值.
（3）判别式法：记所求二元函数（往往为一次）为t，确定某主元为变量的二次方程有解，利用判别式来构建不等式，特殊情况要检验.
（4）三角换元法：适用于有平方关系的两个变量，往往分别用正弦、余弦来换元.
教师：二元函数值域的求解方法还有很多，比如，二元函数问题能转化成函数图像（曲线），若所求目标有几何意义，则用数形结合来求解更直观有效，只要掌握基本的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，再以一些基本方法为辅助，如换元法、配方法、待定系数法、判别式法等，很多问题的求解会更加方便.
3. 巩固训练，实现“一题多解”（“多题一解”）
为了巩固学生已有方法，提升解题效率，教师又布置了如下任务，要求每位学生尝试不同方法，让他们学会同类迁移，实现二元函数值域问题“一题多解”，如若掌握了一种题型的解法也就实现了“多题一解”.
问题2：（1）课堂训练：已知实数x，y满足4x2 y2 xy=1，则2x y的最大值为________.
（2）巩固训练：①已知正数x，y满足x2 4y2 2xy=1，则x y的取值范围为________.
②已知x，y满足x2 2y2-xy=1，则x2 2y2的取值范围为________.
③已知0 ④已知a>0，b>0，且 =1，则a 2b的最小值是________.
对于课堂训练，学生给出了以下几种方法进行展示：
解法1：不妨设x，y>0，则（2x y）2==1 =1 ≤1 =. 故2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法2：4x2 y2 xy=1?（2x y）2-3xy=1?2x·y=[（2x y）2-1]≤（2x y）2，解得2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法3：不妨设x，y>0，（2x y）2=4x2 4xy y2=1 3xy，根据条件，结合基本不等式有：
4x2 y2 xy=1?4x2 y2=1-xy≥4xy，得出xy≤，故（2x y）2=1 3xy≤，即2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法4：令2x y=t，则y=t-2x，代入4x2 y2 xy=1，有6x2-3tx t2-1=0，则Δ=9t2-4·6（t2-1）≥0，得≤t≤，即2x y的最大值为.
解法5：4x2 y2 xy=1?
y x
x
=1，则可得cosθ=
x，
sinθ
=y x，解得
x=cosθ，
y=sinθ
-cosθ.代入得2x y=cosθ sinθ-·cosθ=sinθ cosθ=sin（θ φ）≤.
巩固训练的学生展示不再赘述.
教师评析：这是2011年浙江理科高考题，从问题1变化到问题2，虽然题设条件变了，但是对于问题解决的方式还是可以从原有视角出发，入口较宽，能够巩固已有方法，教学效益好.
4. 对话交流，升华专题价值
教师：通过今天的二元函数值域专题复习，大家有何收获？
学生经过小组讨论、交流、汇总，教师整理最终形成以下认识：二元函数值域问题的处理方式多种多样，关键是转化，将未知转化为已知的解题模型，比如基本不等式模型、函数模型、二次方程模型、三角模型等.
波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”本节内容是高三二轮关于“二元函數值域问题”的专题复习，由于是二轮复习，高三学生对二元函数值域问题已有一定的认知基础，故从一个基本的问题1解法引入，根据解法中的数学思想方法归纳出通法，从而实现“一题多解”；再提出问题2，实现同类迁移、类比巩固，实现“多题一解”.本节课的专题复习，学生思维参与，有比较，有发现，师生互动，重视思维碰撞，实现思维多元化、明了化，提高二轮专题复习效率，升华专题价值，对学生以后的相关问题的解决有较大帮助.
[关键词] 二元函数值域；三角换元；函数与方程；转化与化归
二元函数问题最早出现在人教版教材必修5中的線性规划部分，以探究二元线性目标函数z=ax by在线性区域上的值域为主，通过转化，变化为平行线族y=-x z在线性区域上的纵截距值域问题，并在此基础上继续研究与距离相关的二元非线性目标函数z=（x-a）2 （y-b）2或与斜率相关的二元非线性目标函数z=为主的值域问题. 在高三数学一轮复习后，我们发现很多高三学生对于二元函数的值域问题，还是比较陌生，无从下手，导致失分，或者不能马上找到解题的切入点，耗费较长时间来答题，效率低下，甚至影响整张试卷的得分，高三学生处理二元函数值域问题的能力亟待加强. 为此，我们高三备课组在二轮复习中，把这一块内容与函数内容相融合. 由于是复习课，我们尽可能将知识与方法融合在一起，力求从多个视角、多种思想方法来渗透. 教师将通过“一题多解”，实现知识的纵向关联以期有效构建学生的知识方法体系，最后回归“多题一解”，实现问题解法的优化，使得学生能脱离“题海”，提高解题效率.
[?] 专题学案：二元函数值域问题的解法
问题1：若正数x，y满足2x y=xy，则x y的最小值为_______，此时x=______，y=_______.
1. 试题回放，梳理知识系统
高三复习中二元函数值域问题蕴含知识内容多，思想方法也多，一个问题由于视角不同，往往可以开展“一题多解”；而多个问题看似不同，蕴含的知识或思想方法相似甚至相同，往往可以开展“多题一解”. 通过一轮复习中发现的问题以及高三模拟卷的检测，我们高三备课组发现，学生对于解决此类问题的思维和解题能力颇有欠缺. 教师要弥补这些缺失，势必从学生的认知基础出发，以一轮复习及高三模拟题中的典型问题为引子，通过试题回放，学生参与解题，力求让学生自主探究，梳理知识系统，提高解题能力，进一步培养学生的纠错能力，帮助他们树立信心，提升数学素养.
2. 课堂活动，体现生本课堂
在课堂教学中，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，如果这样，教师就起到了主导作用，也就把课堂交给了学生，体现生本课堂的理念.教师在课堂教学中，应调动每位学生的积极性，重视每位学生的思维参与，教师要注重思维品质，让学生在课堂教学中展示解题过程，充分暴露思维过程，唤起学生对数学问题“火热”的思考. 如若教师独自讲解，则换来的是学生对数学问题“冰冷美”的感触，效果不佳.在考虑学生主体作用的基础上，对本专题的学习活动，我们备课组做了如下设计：
（1）展示学生的解法（拍照后用多媒体展示），提出解题思路；
（2）师生交流，点评小结.
在问题1学生展示中有2个片段：
片段1：传统解法 水到渠成
学生1：因为x，y都是正数，用基本不等式来处理，根据条件给出的结构特点，等式两边同除以xy，得到 =1，代入有x y=（x y）
=3 ≥3 2，再检验等号可以取到.
学生2：根据方程2x y=xy，得出y=，代入有x y=x =3 （x-1） ≥3 2. 由条件中的y=>0，可以得到x>1，最后检验等号能否取到.
学生3：令x y=t，则y=t-x，代入2x y=xy，整理成关于x的方程x2 （1-t）x t=0.
由题知x2 （1-t）x t=0在（0，t）上有解，所以Δ=（1-t）2-4t≥0，得t≥3 2.
检验：当t=3 2时，有x=1 ，y=2 ，符合题意，故（x y）min=3 2.
备注：三位学生的解法是根据高三一轮复习后，对此类二元函数最值解法已经形成的思维定式. 根据解题经验，代表了传统解法，思维与解法非常流畅，水到渠成.
片段2：另类解法 旁敲侧击
给出这三种解法后，学生一片欢呼，大部分同学认为已无别法，教师继续问：还有其他解法吗？
学生4：先将条件转换成 =1，然后用三角换元来处理.令=cos2θ，=sin2θ，得出x=，y=，但代入后，我就做不下去了，形式太复杂了.
教师按照学生4的解法，在黑板上给出如下过程：x y= .
教师追问：你打算怎么求？
学生4：通分，但是感觉很烦琐，好像做不出来.
教师继续按照学生4的要求，板书过程：x y= =.
教师：同学们，如果我们按照这个办法坚持下去，应该怎么做？
教室里沉默了. 过了一会儿，有学生提出用降幂公式，教师按照学生的要求继续板书：
==.
教师追问：那然后呢？
学生3（又站起来）：用我刚才的方法，令=t，看成以cos2θ为整体的二次方程有解问题.
教室里又一片欢呼，教师继续板书：tcos22θ 2cos2θ 6-t=0，看成以cos2θ为变量的二次方程，在（-1，1）上有解，必有Δ≥0，解得t≥3 2，再检验等号取到是否有意义.
备注：方法4是本节课的一个意外，是个别学生思维的自然生成，是教师在执教过程中没有预料到的. 但通过教师循循善诱，学生思维拾级而上，看似解法不合理，但是最后却能解决，实属意料之外. 不一样的收获，培养了学生的运算求解能力、消元意识，有较好教益.
教师评析1：方法1适用的范围是：当二元是正数，且给出的等式与所求式子是次数互补的结构特点时，又例如ax by=1（a，b，x，y∈R），求二元函数z= （c，d，x，y∈R）最值时往往用“1”的代换，结果不变，但效果变了，没有和（或积）一定，但可以构造积（或和）一定. 此类问题形式灵活，需要我们观察并转化，在用基本不等式的时候务必检验等号能否取到. 教师评析2：方法2适用的范围是：通过给定的等式，减少变量，也就是消元后代入二元函数转化为单元函数，最后可以采用对勾函数的图像与性质来求最值，也可以用基本不等式求最值，需检验等号能否取到.
教师评析3：方法3适用的范围是：通过换元，即将所求的二元函数（往往是一次）换元为变量t，再确定某主元为变量的二次方程有解，利用判别式构建不等式，等号能否取到要检验. 实际上，当x，y为实数时，用方程有根即Δ≥0来获得t的取值范围较受推荐，当然最后还是应该检验是否符合题目条件.
教师评析4：方法4主要适用于有平方关系的两个变量，是方法2与方法3的并用. 利用三角换元虽然烦琐，但可以实现消元，蕴含的数学思想与方法2如出一辙，有异曲同工之妙，都是减少未知数，实现多元消元的功能，体现了数学中的转化与化归，值得肯定，也值得推荐.
教师：我们来小结一下常见的求二元函数值域的方法（板书展示）.
（1）基本不等式法：主要适用于两个正数和（积）一定时，求积（和）的单向值域.
（2）多元消元法：借助换元或代入，实现多元函数单元化，用函数视角或基本不等式来求最值.
（3）判别式法：记所求二元函数（往往为一次）为t，确定某主元为变量的二次方程有解，利用判别式来构建不等式，特殊情况要检验.
（4）三角换元法：适用于有平方关系的两个变量，往往分别用正弦、余弦来换元.
教师：二元函数值域的求解方法还有很多，比如，二元函数问题能转化成函数图像（曲线），若所求目标有几何意义，则用数形结合来求解更直观有效，只要掌握基本的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，再以一些基本方法为辅助，如换元法、配方法、待定系数法、判别式法等，很多问题的求解会更加方便.
3. 巩固训练，实现“一题多解”（“多题一解”）
为了巩固学生已有方法，提升解题效率，教师又布置了如下任务，要求每位学生尝试不同方法，让他们学会同类迁移，实现二元函数值域问题“一题多解”，如若掌握了一种题型的解法也就实现了“多题一解”.
问题2：（1）课堂训练：已知实数x，y满足4x2 y2 xy=1，则2x y的最大值为________.
（2）巩固训练：①已知正数x，y满足x2 4y2 2xy=1，则x y的取值范围为________.
②已知x，y满足x2 2y2-xy=1，则x2 2y2的取值范围为________.
③已知0
对于课堂训练，学生给出了以下几种方法进行展示：
解法1：不妨设x，y>0，则（2x y）2==1 =1 ≤1 =. 故2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法2：4x2 y2 xy=1?（2x y）2-3xy=1?2x·y=[（2x y）2-1]≤（2x y）2，解得2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法3：不妨设x，y>0，（2x y）2=4x2 4xy y2=1 3xy，根据条件，结合基本不等式有：
4x2 y2 xy=1?4x2 y2=1-xy≥4xy，得出xy≤，故（2x y）2=1 3xy≤，即2x y≤. 经检验，等号可以取到.
解法4：令2x y=t，则y=t-2x，代入4x2 y2 xy=1，有6x2-3tx t2-1=0，则Δ=9t2-4·6（t2-1）≥0，得≤t≤，即2x y的最大值为.
解法5：4x2 y2 xy=1?
y x
x
=1，则可得cosθ=
x，
sinθ
=y x，解得
x=cosθ，
y=sinθ
-cosθ.代入得2x y=cosθ sinθ-·cosθ=sinθ cosθ=sin（θ φ）≤.
巩固训练的学生展示不再赘述.
教师评析：这是2011年浙江理科高考题，从问题1变化到问题2，虽然题设条件变了，但是对于问题解决的方式还是可以从原有视角出发，入口较宽，能够巩固已有方法，教学效益好.
4. 对话交流，升华专题价值
教师：通过今天的二元函数值域专题复习，大家有何收获？
学生经过小组讨论、交流、汇总，教师整理最终形成以下认识：二元函数值域问题的处理方式多种多样，关键是转化，将未知转化为已知的解题模型，比如基本不等式模型、函数模型、二次方程模型、三角模型等.
波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”本节内容是高三二轮关于“二元函數值域问题”的专题复习，由于是二轮复习，高三学生对二元函数值域问题已有一定的认知基础，故从一个基本的问题1解法引入，根据解法中的数学思想方法归纳出通法，从而实现“一题多解”；再提出问题2，实现同类迁移、类比巩固，实现“多题一解”.本节课的专题复习，学生思维参与，有比较，有发现，师生互动，重视思维碰撞，实现思维多元化、明了化，提高二轮专题复习效率，升华专题价值，对学生以后的相关问题的解决有较大帮助.