【摘要】本文通过空间解析几何典型习题的多种解法和利用多元函数求条件极值来证明不等式，拓展学生求异思维，激发学生学习兴趣，培养学生的科学思维方法和创新能力.
　　【关键词】平面;圆周;球面;多元函数;条件极值;不等式
　　【基金项目】2019～2020年度河北省高等教育教学改革研究与实践项目（2019GJJG056）
　　求异思维是沿着不同的方向探索问题答案的思维，在教学中主要表现为“一题多解”.本文首先给出了空间解析几何[1]一道典型习题的多种解法，以拓展学生求异思维，激发学生学习兴趣，培养学生的科学思维方法和创新能力.
　　例1 求过点A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，3）的圆周的方程[2].
　　解一 过A，B，C三点的平面为x2 y z3=1.设所求圆的圆心为D（x0，y0，z0），半径为r，则D在上述平面上，故x02 y0 z03=1.
　　又（x0-2）2 y20 z20=x20 （y0-1）2 z20=x20 y20 （z0-3）2，
　　所以x02 y0 z03=1，-4x0 4=-2y0 1=-6z0 9，
　　解得x0=4049，y0=1398，z0=13598，r=52614.
　　故所求圆周的方程为x-40[]492 y-13[]982 z-135[]982=32598，x2 y z3=1.
　　解二 与A，B两点等距离的平面满足 4x-2y-3=0，与B，C等距离的平面满足y-3z 4=0，∴过A，B，C三点的球面的球心在直线4x-2y-3=0，y-3z 4=0上，即球心为12t 34，t，t3 43. 令t为某一常数（如t=0），得34，0，43，则球半径为48112.所以过A，B，C三点的球面方程为x-342 y2 z-432=481144.而过A，B，C三点的平面为x2 y z3=1，故所求圆周为x-3[]42 y2 z-4[]32=481144，x2 y z3=1.
　　解三 过A，B，C三点的平面方程为x2 y z3=1.所求圆周可看成上述平面与过A，B，C，O四点的球面的交线.设球心为D（x0，y0，z0），由AD2=BD2=CD2=OD2，有
　　x20 y20 z20=（x0-2）2 y20 z20=x20 （y0-1）2 z20=x20 y20 （z0-3）2.
　　解方程组-4x0 4=0，-2y0 1=0，-6z0 9=0，得x0=1，y0=12，z0=32，即D1，12，32，而半径OD=1 14 94=142，故所求圆周的方程为（x-1）2 y-1[]22 z-3[]22=72，x2 y z3=1.
　　下面给出一种利用多元函数求条件极值来证明不等式的方法，即根据要证的不等
　　式将其转化为多元函数的条件极值问题，从而证得不等式.下面看两个例题.
　　例2 证明：对任何正数a，b，c和自然数n，不等式an bn cn3≥a b c3n成立.
　　证 这个问题可以转化为：对于任何给定的正数a，b，c和自然数n，求函数μ=an bn cn 满足条件a b c=3d（d