数学建模:赋予学习的力量

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  摘要:中学数学教学不但要教会学生解答题,而且要教会学生解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力。因此,在中学数学教学中,教师必须向学生传授“数学建模”的思想。
  关键词:数学建模;应用意识;抽象概括;系统归纳
  长期以来,有很多学生在潜意识中认为自己没有能力学好数学。以前对数学教材的认识掩盖了学生学习的内部机制,曲解了学习内容。但其实,只有当学生从观察具体事例而获得直觉猜想,对不同的猜想的正确性的分析、比较、讨论,从而真正建构起自己的思想体系,数学学习才富有成效。因此,学生需要培养出这样一种数学头脑:会数学地提出问题、分析问题、解决问题。近年来,“数学知识在实际中的应用”及“从实际问题中建立数学模型”的教学越来越引起了人们的重视。
  教学中怎样建模
  模式建构的基本思想是教师通过创设问题情境,让学生体验教学建构的过程,从而取得创造性的数学活动经验,它是把“创造过程中的数学”纳入数学教育的一种可行的手段,因而,在数学教学中的重要作用越来越被数学教育工作者所认可。弗赖登特尔认为“学生自己发明数学就会学得更好”。在建构过程中,由于激发学生参与发现的热情,因而增加了学习数学的兴趣,增长创新智慧。
  模式的建构必须从问题开始 模式的建构是一种创造性数学思维活动,“思维自疑问题”,没有问题就不可能有思维,当然更谈不上创造性思维。
  随着经济的发展,把生活中的经济问题转化为常规数学问题是数学建模中常见的例子。如某公司向银行贷款40万元用来开发某种新产品,已知该贷款的年利率为15%(不计复利,即还贷前每年利息不重复计息),每个新产品的成本是2.3元,售价是4元,应纳税款为销售额的10%,如果每年生产该种产品20万个,并把所得利润用来归还贷款,问需几年后才能一次性还清。(利润=销售额-成本-税款)。
  略解:设需x年后才能一次性还清贷款,根据所得利润等于贷款的本息和得:(4×20-2.3×20-4×20×10%)x=40 40×15%x整理得x=2答:略
  解决这类产销问题,首先要理解“成本价”“销售价”“利润”“本息和”名词的意义。明确有关量之间关系式:利润=销售额-成本-税款,本息和=本金 本金×利率×期限,销售利润率=销售利润÷成本×100%等,通过“模型”移植建立数学模型,使之成为常规数学问题,这不仅能体会理论与实践相互关系和相互作用,还能从结果的实际意义中看到数学的价值。
  教材是一种导向,要求教师和学生不仅要重视数学建模思想,还要有的放矢地采用,去解决一类实际应用问题。而设定一个或几个难度恰当的问题对模式的建构至关重要。而且它一般是以某种情境给出,既要有典型性和启发性,又要背景丰富引人入胜。
  模式的建构必须充分发挥学生的主体作用 现代建构主义的学习论认为:学生的数学学习并非是被动吸收知识的过程,“而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程”。这就是说,主体只有亲身经历自己内心世界的建构和体验才能更好地学好数学。
  模式的建构过程正是猜想与证明的过程 模式的建构,是学生模仿数学家发现真理创造模式的过程。而要实现这个过程,既需要形式逻辑思维,更需要观察、实验、归纳、类比、抽象、猜测等辨证逻辑思维。因此,在这个教学过程中,教师既要教猜测,又要教证明。G·波利亚认为“先猜后证——这是大多数的发现之道”。
  猜测在数学学习中非常重要,尤其几何证题中。如教材第三册中讲授定理全等三角形对应角的平分线对应相等,在学此定理后,教师应及时指导学生猜测与此类似的命题,通过学生讨论可得出“全等三角形对应边上的高线、中线对应相等”,然后教学生证明。类似的还有“等腰三角形两底角的平分线相等”,先教学生猜测类似的命题“等腰三角形两腰上的高线、中线相等。”在猜测和证明的过程中,引导学生模仿数学家发现真理创造模式,从中学会数学的思想,学会从方法论的角度去自覺地总结数学活动中的经验。
  学生建模能力的培养
  细水长流,培养学生数学应用意识 数学问题源于现实生活,是从生活、生产实际问题中抽象出来的。所以在数学知识、数学方法、数学思想的传授时,应尽可能地联系生活、生产实际。
  首先,在教学中重视数学概念的实际引入,如通过“温度计”引入负数;由直角三角形的勾股定理引入无理数;用“细胞分裂”的实例引入了指数函数和对数函数等。这样的教学既加深了学生对概念的理解,又培养了学生对应用问题的兴趣。
  其次,用好课本上带有应用性的习题是培养学生建模能力的一个重要环节。在教材各章节中,编入了涉及广泛的应用知识习题,如测量建筑物的高度、两岸两点间的距离、控制人口增长、产量的递增、水池中喷水管的高度等。为数学知识的应用,加强建模训练,提高将实际问题“数学化”能力提供丰富的材料,在平常教学中应本着“能渗透,就渗透,能联系就联系”的原则,要克服单纯追求课堂上教学的容量,而忽视“实例引入”和“知识实际应用”的数学方法。
  突破题意阅读关,提高学生抽象概括能力 在教学中,我们经常见到部分学生在解决实际问题时,往往表现得无从下手,束缚于旧知,苦思而不得其解,在已知与未知之间不能建立一种等量关系。而解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题,即建立数学模型,而要建立恰当的数学模型必须突破题意阅读大关。
  由于应用题表达问题的方式较间接,题意转化较为困难,部分学生往往因读不懂题目而采取回避的态度,久而久之,看到应用题就害怕,失去解题的信心。
  要解决上述问题,首先教师应明确目前学生的认知水平,必须考虑到学生的生活阅历及掌握的数学知识和解题经验。其次应积极引导学生主动理解题意,重视语言的转化,切不可为学生代劳,要启发学生自己总结数学模型,切不可贪快贪多。在教学中教师指导学生阅读题目建立模型一般分为三步:阅读原题寻找关键词,明确题意;设置未知数,实践阶段列式目标;寻找关系,建立模型。
  系统归纳,提高学生的数学建模能力 系统归纳常见的数学模型是提高学生建模能力的重要途径,因此在教学中及时指导学生归纳整理,形成能力,消除畏难情绪,提高建模能力。如建立函数模型,其特点题目往往涉及最优化问题,如前面提到的销售价;建立不等模型,其特点:题目中涉及到“不超过……”“不少于……”“至少……”“至多……”等叙述句;建立方程模型,其特点题中有等量关系;建立几何模型,其特点涉及行走路线、测量、航行等。
  结束语
  数学素质可归结为“归纳,演绎,建模,创新”,而数学来源于实际,又应用到实际中去。我们既要重视基础知识,基本技能,更要重视基础知识、基本技能的转化应用,只有这样的数学教学,才能掌握数学的内函,形成全面的数学素质。因此,在数学教学中,要把培养建模能力和创新能力作为突破口,经常地、有意识地把有关的数学知识与现实生活联系起来,引导学生运用数学立场、观点、思想去观察分析各种社会现象,寻找其本质特性,建立数学模型达到解决问题的目的。
  参考文献
  [1]丁尔升,唐复苏.中学数学课程导论[M],上海:上海教育出版社,1994.
  [2]戴再平.数学习题理论[M].上海:上海教育出版社,1996.
  [3]徐利治、郑毓信,数学模式论[M].南宁:广西教育出版社,1993.
  (作者单位:浙江省诸暨市开放双语实验学校)
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