單位向量和其它向量一样既有代数方面严密准确的特点，又具有几何方面直观形象的优势，但作为一种特殊的向量，又有着区别于其它向量的许多美好的特性，尝试运用单位向量这些特有的性质去解决解析几何问题，可以减少一些问题的运算量，起到化难为易的作用。
　　一、简化解析几何中的共线问题的运算过程
　　若非零向量■和单位向量■共线，当■和■同向时，■=|■|■（或■=■）；当■和■反向时，■=-|■|■(或■=-■)。这种非零向量能用共线的单位向量来表示的性质，对简化解析几何共线问题的运算起着重要的作用。
　　例1：已知点A，B，C三点共线，且B，C在点A的同一侧，若A（1，-2），C（3，1），|AB|=2■，求点B的坐标。
　　解：设点B（x,y），则■=（x-1,y+2），|■|=2■，所以与■同向的单位向量■■=■■=■(x-1,y+2)。
　　同理，与■同向的单位向量■2=■■=■(2,3)，由■■，■2是两个同向的单位向量，可知■■=■2，所以■（x-1,y+2）=■(2,3)，解得x=5y=4。
　　所以点B的坐标为(5,4)。
　　本题若用常规的解析法，不但要解二元二次方程组，还要对方程组的解进行检验取舍。对比而言，单位向量的运用在很大程度上简化了计算。
　　例2：（1995年全国高考理科）已知椭圆■+■=1，直线l:■+■=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R。又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2。当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
　　解：因为O，Q，R，P四点共线，设与■同向的单位向量为■=（m,n）（m2+n2=1），则■=■■=(|■|m,|■|n)，■=|■|■=(|■|m，|■n|),■=■■=(|■|m,|■|n),于是有R(|■|m,|■|n),Q(■m,|■|n),Q(|■|m,|■|n)。
　　设Q(x,y),则有x=■my=■n。
　　因为点P在直线l上，所以■+■=1，可得■=■+■；
　　因为点R在椭圆■+■=1上，所以■+■=1，可得■=■+■；由|OQ||OP|=|OR|2，可得■■=■，于是■(■+■)=■+■，两边同乘以|OQ|2得■+■=■+■，即■+■=■+■。
　　整理得点Q的轨迹方程为■+■=1（其中x,y不同时为零）。
　　单位向量的引入，对于例2在解法上虽然书写量没有减小，但计算难度和计算量得到了明显降低。
　　二、优化解析几何中与角有关的问题的运算过程
　　单位向量与三角函数相结合,可写成■=(cosα，sinα)的形式，在一定条件下赋予α一定的几何意义，可以优化解析几何中与角有关的问题的运算。
　　例3：（2009年全国高考山东理科）设椭圆E:■+■=1(a,b>0)过M(2,■)，N(■,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且■⊥■？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。
　　解:（1）易得椭圆E的方程为■+■=1(过程略)。
　　（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭E恒有两个交点A，B，且■⊥■，则原点到直线AB的距离d是一个定值。
　　因为S△OAB=■|■|·|■|=■|■|·d，（下转第136页）
　　（上接第130页）所以■=■=■=■+■，故只须证明为一定值。
　　设与■同向的单位向量为■■=(cosθ,sinθ)因为■⊥■,与■同向的单位向量可设为■2=（cos（θ+■），sin（θ+■））=（-sinθ，cosθ）， 则■=|OA|·■■=（|■|cosθ，|■|sinθ），■=|OB|·■2=（-|■|sinθ，|■|cosθ）.则A（■cosθ，|■|sinθ），B（-|■|sinθ，|■|cosθ）.
　　所以■+■=1，■+■=1，■=■+■，■=■+■，所以■+■=■+■=■.故d=■。
　　所以存在圆心在原点的圆x2+y2=■，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点A,B，且■⊥■。
　　此题若采用其它解法，不论在表述上，还是在计算上，都会很繁琐，单位向量的引入，使计算过程明显得到优化。通过以上两例，会发现解题中引入单位向量，可以收到化繁为简、化难为易的效果。
　　
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