向量与三角将数和形紧密的结合在一起.近几年高考中，向量经常与三角函数进行综合，常以解答题的形式出现，题目新颖，考查向量与三角函数的综合应用，值得同学们注意.以向量为背景，化归为三角函数题这类题目出现的频率较高，题目难度中等，经常考查的知识点有向量的平行与垂直、向量的数量积、线性运算结合三角形中的边角关系进行求解.本文用实例说明如何解决向量与三角的综合应用问题，以期对同学们有所帮助.
　　一、向量与三角函数求值综合
　　例1 已知向量m=（3sinx4，1），n=（cosx4，cos2x4）.m·n=1，求cos（2π3-x）的值.
　　分析：由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值.
　　解：（1）m·n=3sinx4cosx4 cos2x4
　　=32sinx2 1 cosx22=sin（x2 π6） 12，
　　∵m·n=1，∴sin（x2 π6）=12.
　　cos（x π3）=1-2sin2（x2 π6）=12，
　　cos（2π3-x）=-cos（x π3）=-12.
　　变式训练：已知角A，B，C是△ABC三边a，b，c所对的角，m=（-cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），a=23，且m·n=12.
　　（1）若△ABC的面积S=3，求b c的值；
　　（2）求b c的取值范围.
　　解法一：（1）由m=（-cosA2，sinA2），
　　n=（cosA2，sinA2），且m·n=12，
　　得-cos2A2 sin2A2=12，∴cosA2=12.
　　又∵A∈（0，π），∴A=2π3.
　　因为S△ABC=12bcsinA=3，所以bc=4.
　　由余弦定理，得a2=b2 c2-2bccos2π3=b2 c2 bc.
　　所以16=（b c）2，即b c=4.
　　（2）由正弦定理得
　　bsinB=csinC=asinA=23sin2π3=4.
　　且B C=π3，
　　所以b c=4sinB 4sinC=4sinB 4sin（π3-B）=4sin（B π3）.
　　因为0　　所以32　　故b c的取值范围是（23，4].
　　解法二：由解法一
　　a2=b2 c2 bc=（b c）2-bc，
　　∴（b c）2-12=bc≤（b c2）2，
　　∴b c≤4，
　　又∵b c>23，
　　∴23　　二、向量与三角函数的最值（范围）综合
　　例2 设向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.
　　（1）若a与b-2c垂直，求tan（α β）的值；
　　（2）求|b c|的最大值；
　　（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b.
　　解题思路：（1）利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值；（2）根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数的最值问题；（3）转化成证明与向量平行等价的三角函数式.
　　解：（1）由a与b-2c垂直，得a·（b-2c）=0，
　　即4sin（α β）-8cos（α β）=0，
　　∴tan（α β）=2.
　　（2）|b c|2=（b c）2=b2 c2 2b·c
　　=sin2β 16cos2β cos2β 16sin2β 2（sinβcosβ-16sinβcosβ）
　　=17-30sinβcosβ
　　=17-15sin2β，最大值为32.
　　所以|b c|的最大值为42.
　　（3）证明：由tanαtanβ=16，
　　得sinαsinβ=16cosαcosβ.
　　即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，故a∥b.
　　例3 已知向量α=（3sinωx，cosωx），β=（cosωx，cosωx），记函数f（x）=α·β，已知f（x）的周期为π.
　　（1）求正数ω的值；
　　（2）当x表示△ABC的内角B的度数，且△ABC三内角A、B、C满sin2B=sinA·sinC，试求f（x）的值域.
　　解：（1）f（x）=3sinωxcosωx cos2ωx
　　=32sin2ωx 1 cos2ωx2
　　=sin（2ωx π6） 12，
　　因T=π=2π2ω得ω=1.
　　（2）由（1）得f（x）=sin（2x π6） 12，
　　由sin2B=sinA·sinC，得b2=ac，
　　又b2=a2 c2-2accosB，∴cosB=a2 c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，
　　∴0　　三、向量与解三角形综合
　　例4 设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2-2AC AB2=0，则BC·AO的范围是.
　　分析：本题考查向量的运算，二次函数在给定区间上的值域.
　　取BC的中点D，
　　则BC·AO=BC·（AD DO）=BC·AD=（AC-AB）·12（AB AC）=12（b2-c2），
　　又由已知知：b2-2b c2=0，得c2=-b2 2b，且0　　变式训练：已知三角形ABC中，AB=6，AC=4，O是三角形的外心，求AO·BC的值.
　　解：取BC的中点M，连接AM，则
　　AO·BC=（AM MO）·BC=AM·BC=12（AB AC）·（AC-AB）=12（AC2-AB2）=-10.
　　例5 已知a、b是两个不共线的向量，且a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）.
　　（1）求证：a b与a-b垂直；
　　（2）若α∈（-π4，π4），β=π4，且|a b|=165，求sinα.
　　解：（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），
　　∴|a|=|b|=1，
　　又∵（a b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0，
　　∴（a b）⊥（a-b）.
　　（2）|a b|2=（a b）2=|a|2 |b|2 2a·b=2 2a·b=165，∴a·b=35，
　　又a·b=cosαcosβ sinαsinβ=35，
　　∴cos（α-β）=35，
　　∵α∈（-π4，π4），∴-π2<α-β<0，
　　∴sin（α-β）=-45，
　　sinα=sin[（α-β） β]=sin（α-β）·cosβ cos（α-β）·sinβ
　　=-45×22 35×22=-210.
　　四、向量与三角函数的图象与性质综合
　　例6 设a=（3sinx，cosx），b=（cosx，cosx），记f（x）=a·b.
　　（1）写出函数f（x）的最小正周期；
　　（2）试用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
　　（3）若x∈[-π6，π3]时，函数g（x）=f（x） m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值.
　　解：（1）∵f（x）=3sinxcosx cos2x
　　=32sin2x 1 cos2x2=sin（2x π6） 12，
　　∴函数f（x）的周期T=2π2=π.
　　（2）列表
　　x-π12π6512π23π1112π
　　2x π60π2π32π2π
　　y123212-1212
　　描点连线得函数f（x）在一个周期内的简图为
　　将函数y=sinx的图象依次进行下列变换：
　　①把函数y=sinx的图象向左平移π6，得到函数y=sin（x π6）的图象；
　　②把函数y=sin（x π6）的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x π6）的图象；
　　③把函数y=sin（2x π6）的图象图象向上平移12个单位，得到函数y=sin（2x π6） 12的图象.
　　注：平移方法不止一种
　　（3）∵-π6≤x≤π3，∴-π6≤2x π6≤5π6，
　　∴-12≤sin（2x π6）≤1.当且仅当x=-π6时，sin（2x π2）=-12，
　　此时，函数f（x）=sin（2x π6） 12取得最小值0，g（x）=f（x） m取最小值2.
　　即-12 12 m=2，解得m=2，
　　所以，函数g（x）=sin（2x π6） 52，当x=π6时，取得最大值72，
　　即g（x）max=72.
　　通过以上实例我们可以看到解向量与三角的综合应用常用方法是：（1）将向量间的关系转化成三角关系式；（2）化简三角函数式；（3）求三角函数式的值或分析三角函数式的性质；（4）明确结论；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和规范解答.要防范的错误是：（1）化简向量的相关运算时一定要看清楚向量的起点和终点，弄清向量夹角与三角形的哪个内角有联系；（2）要根据合适的三角恒等变换选择恰当的求模方式，不要避简就繁；（3）将向量的关系转化成三角形中的边角关系时要注意方向.
　　（作者：陈红梅，如皋市薛窑中学）