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本文研究两类非线性发展方程的初边值问题和Cauchy问题,在一定条件下证明这些问题局部广义解,整体广义解和整体古典解的存在唯一性,整体解的衰减性,并给出解发生爆破的充分条件。主要结果包括以下四部分的内容。 在第二章,借助于常微分方程的Green函数,利用压缩映射原理和解的延拓定理证明具有阻尼的广义IMBq方程的初边值问题整体广义解和整体古典解的存在唯一性和正则性,并给出解在有限时刻爆破的充分条件。 主要结果如下:定理1若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],,u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,f∈C3(R),g∈.C1(R),|f’(s)|,|g’(s)}≤C1,则问题(1)-(3)存在唯一整体古典解u∈C2([0,T];C2[0,1]),(?)T＞0.定理2若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,g=g∈C3(R),且其中F(s)=(?),A,B＞0是常数.则问题(1)-(3)有唯一整体古典解u∈C2([0,T];C1[0,1]),(?)T＞0.定理3若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,g=0,αβ+γ=0,f∈C3(R),且满足(4)式及其中C,D＞0是常数.则问题(1)-(3)存在唯一整体古典解u∈C2([0,T];C2[0,1]),(?)T＞0.定理4设u(x,t)为问题(1)-(3)的古典解,若以下条件成立:其中λ=π2,(3)(?)增长的足够快,使得当αβ-λγ＞。时,收敛,且B0＜1;或者当αβ-λγ≤0时,收敛.则当αβ-λγ＞0时,存在有限时刻t0≤T2=(?),使得当αβ-λγ≤0时。 存在有限时刻t0≤T1,使得在第三章,借助于常微分方程的基本解,通过压缩映射原理和解的延拓定理证明具阻尼广义IMBq方程的Cauchy问题在Wk,p(R)中的整体强解和整体古典解的存在唯一性和正则性,并且给出解爆破的充分条件。主要结果为定理5假设u0,u1∈Wk+2,p(R),f,g∈Ck+3(R),其中k＞1/p,且对于任意s∈R,|f’(s)|,|g’(s)|≤A0.则问题(5),(6)有唯一整体古典解u∈C3([0,∞);Wk+2,p(R)),即u∈C3([0,∞);C2(R)∩L∞(R)).定理6假设u0,u1∈Wk+2,p(R),g=g∈Ck+3(R),其中k＞1/p,F(s)≤0,或者f’(s)≤A0.则问题(5),(6)有唯一整体古典解u∈C3([0,∞);Wk+2,p(R)),即u∈C3([0,∞);C2(R)∩L∞(R)).定理7假设u0,u1∈Wk+2,p(R)∩L2(R),∧-1u1∈L2(R),g=0,β=0,f∈Ck+3(R),其中k＞1/p为非负整数,且F(u0)∈L1(R),f’(s)≤A0或者F(s)≤0,且满足其中A,B＞0为常数,A-rΨ=F-1(|x|-r)FΨ(x)),F,F-1分别表示Fourier变换和Fourier逆变换.则问题(5),(6)有唯一整体古典解u(x,t)∈C3([0,∞);Wk+2,p(R)n L2(R)),即u∈C3([0,∞);C2(R)∩L2(R)∩L∞(R))。定理8假设β=0,γ≤0,g(s)=0,f(s)∈C(R),F(s)=(?),u0,u1∈L1(R),∧-1u0,∧-1u1∈L2(R),F(u0)∈L1(R)和存在常数δ1,δ2＞0,使得则Cauchy问题(5),(6)的解u(x,t)在有限时刻爆破,如果下列条件之一成立:其中定理9假设β=0,γ≤0,g(s)=0,g(s)∈C(R),F(s)=(?),u0,u1∈L2(R),∧-1u0,∧-1u1∈L2(R),F(u0)∈L1(R)和存在常数δ1,δ2＞0,使得则当(?)(0)≤0,且时,Cauchy问题(5),(6)的解在有限时刻爆破。 在第四章,借助于Fourier变换,通过压缩映射原理和解的延拓定理证明具阻尼广义IMBq方程的Cauchy问题(5),(6)在Hs(R)中的整体广义解和整体古典解的存在唯一性。主要结果为定理10假设u0,u1∈Hs(R),g=f∈C[s]+1(R),s＞5/2,F(s)≤0,或者f’(s)≤A0.则问题(5),(6)有唯一整体解u(x,t)∈C2([0,∞);C2(R)).定理11假设u0,u1∈Hs(R),g=0,β=0,f∈C[s]+1(R),且s＞5/2.∧-1u1∈L1(R),且F(u0)∈L1(R),f’(s)≤A0或者F(s)≤0和满足其中A,B＞0为常数.则问题(5),(6)有唯一整体古典解u∈C1([0,∞);CB2(R))。 在第五章,研究下列具有非线性阻尼边界的粘性杆问题整体解的能量衰减借助于能量扰动法和一个比较不等式证明在F(s)=s+|s|α-2(α≥2)和F(s)=|s|α-2(α＞2)条件下,问题(8)-(10)的整体解和f(x,t)有相同的指数衰减或代数衰减。主要结果有定理12(1)若存在M1≥0,λ1＞1,使得则存在C4＞0,成立(2)若存在M2≥0,λ2＞0,使得则存在C5＞0,成立其中,特别地,定理13若存在M3≥0,λ4＞1,成立则(?)t∈[0,∞)。