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【摘要】学生学科核心素养的培养越来越受到国内教育工作者的重视，而开展研究性学习，实施生态课堂可以有效提升学生的核心素养。本文以M老师的“函数与方程”公开课为例，谈谈如何在课堂教学中开展研究性学习，发挥生态课堂的育人价值。M老师的公開课通过情境引入，介绍数学史典故，激发了学生探究的欲望，为进一步开展研究奠定了基础，通过研究性学习引导学生在原有知识结构基础上生成新的概念，并注重在课堂中培养学生的探究精神，通过实际问题让学生水到渠成地得出定理。M老师的公开课体现了研究性学习、营造生态课堂对提升学生核心素养的重要作用。
【关键词】生态课堂；研究性学习；数学核心素养；育人价值
生态课堂是以人为本，关注和尊重生命个体的课堂。在生态课堂中，教师尊重学生的主体地位，针对学生的成长背景和特点，以自然有效的方式引导、鼓励、激发学生的内在潜质，使其成为人格健全、素质全面的人。生态课堂关注人性，强调发展，重视教师、学生、教学环境等诸因素的有机整合。如果说和谐教学是一种思想和理念，那么，和谐教学理念的实践结果就是以和谐理念为内涵的生态课堂。由此可以看出，生态课堂的核心理念是教学诸因素的共存、统一与和谐[1]26。[JP+1]这样的课堂可以发展学生的核心素养。那么，怎样打造这样的生态课堂呢？下面，笔者以M老师教学“函数与方程”一课为例，谈谈如何营造生态课堂，在课堂教学中发展学生的数学核心素养，以达“立德树人”之目标。
一、教学案例
1情境引入，弘扬数学文化
近年来，人们对数学内在价值的认识不断发展，数学文化研究更是得到了国内外数学家、教育家的关注。李大潜院士曾提出，数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。我国的数学课程标准也提出，要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值。
【教学片段】PPT显示：神圣罗马帝国的国王腓特烈酷爱数学，经常举行宫廷数学竞赛。在一次竞赛中，有一道题是求三次方程x3+2x2+10x=20的解。来自比萨的斐波那契成功判断其只有一个解，且获得精确到小数点后六位的近似解（1368808）。
学生的学习热情源于好奇心和求知欲。M老师以数学史典故引入，激发了学生探究的欲望，为下面进一步开展研究奠定了基础。正所谓“好的开头是成功的一半”，好的课堂引入会使教学达到事半功倍的效果。
在本课结束时，M老师不仅赞扬了同学们的探究精神，还赞扬了他们运用函数零点理论解决问题的行为，称赞他们比当年的斐波那契高明。
M老师如此处理，虽然仅仅几句话，一方面起到了首尾呼应之效，另一方面突出了人类不畏艰难、不断探索、不断进步的价值导向。小结时，M老师还引用了数学家华罗庚的诗句“形无数难入微，数无形少直觉”，在引导学生利用数形结合思想解决问题的同时，向学生展示华罗庚作为数学大家的另一面——喜欢作诗，以及其他方面的爱好。任何一位大家都不是单一发展的，往往具备较高的综合素养，这在高中一年级的学生心中埋下了数学文化的种子。
听课的W老师在点评中说，数学文化并不神秘，幽默与风趣的语言，一个智慧的比喻，一个典故，和谐的师生关系，都散发着数学文化的芳香，都能调动学生的兴趣，帮助学生理解、记忆所学知识，不仅有利于能力的形成，还是一种生动活泼的教学形式，是提高学生思想境界和文化修养的有效途径。
本课虽然是借班上课，但M老师在课堂教学中运用“直觉是思维的起点”“不求而获”“选择比行动更重要”等睿智的语言，激发了学生探究问题的热情，体现了教师对学生的鼓励、引导、关爱。学生在这样的生态课堂中感受着教师的情感，尽情地张开直观想象的翅膀，绽放理性思维的光芒。
2概念生成，体现建构思想
数学概念不会从天而降，它总是在已经研究过的数学概念的基础上，根据需要从不同的侧面或者以不同的方式加以定义。新的概念往往能够使人们对问题的研究更广阔、更深入。
（1）研究特殊、归纳一般
【教学片段】问题探究一：观察函数f（x）=x2-2x-3的图象。
教师引导学生关注图形中的数字“-1”和“3”。（如图1）
“形”的角度——函数f（x）=x2-2x-3的图象与x轴（函数y=0）交点的横坐标；
“数”的角度——方程x2-2x-3=0的根。
“-1”“3”是使函数f（x）=x2-2x-3的值为0的自变量x的值。
“-1”“3”称为函数f（x）=x2-2x-3的零点。
此处，M老师通过特殊的、学生熟悉的简单问题的研究，引导学生寻找解决一般问题的方法。学生在弄明白何为函数f（x）=x2-2x-3的零点后，可以通过模仿与抽象自然而然地学会定义一般函数的“函数的零点”。
定义一般地，把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点。
（2）同化顺应、建构体系
M老师引导学生观察，从方程和图象的角度研究函数零点，发现这三者本质上是一致的，只不过是在不同语境中的不同表述，因而它们的关系是等价的（如图2）。因此，学生在问题的研究中可以通过这种等价关系自由选择解决问题的角度，以达到解决问题之目的。
从解题学的角度来说，解题就是通过等价转化，逐步缩小条件与结论之间的差异。这其中的目标是缩小差异，手段或者说方法是（等价）转化。
【教学片段】问题探究二：用多种方法判断二次函数f（x）=x2+2x-2零点的个数。
生3：因为f（x）=x2+2x-2=（x+1）2-3，所以f（x）min=-3<0，顶点在x轴下方，且抛物线开口向上，所以y=f（x）的图象“穿过”x轴，y=f（x）的图象与x轴有两个交点，所以y=f（x）有两个零点。 师：这个想法好，利用图形，观察特殊点（最小值点），结合图形性质（定义在实数集上的二次函数的图象是开口向上的抛物线）得出了结论。大家再看看，如果取图象与y轴的交点，即当x=0，y=-2，同样可以达到目的，是不是更简洁？（同学们点头称是。接着，教师用PPT显示表1）
M老师通过探究二，既达到巩固概念，完善学生知识结构的目的，又为下面归纳零点存在性原理做了铺垫，尤其是学生3的回答和教师巧妙的引导。
出示图表就是让学生又从具体到一般，得出解决新问题（函数零点个数）的一般方法，同时体会二次函数的零点与一元二次方程、二次函数图象的关系，使学生将新学习的概念纳入其原有的知识结构中，形成新的知识结构，落实了课程标准中“了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系”的要求。
3定理剖析，培养探究精神
为了减轻学生的学习负担，教材中有不少定理直接由观察、归纳得到。此处的零点存在性定理即为其中之一。如果我们对于定理的教学采用直接告知的方式，然后用大量的练习巩固，或许也能够应付考试。但是，这种教学方式不利于培养学生的探究精神，对学生核心素养的提升作用不大。定理的得到应建立在学生探究的基础上，让学生水到渠成地得出定理。M老师的处理正体现了这样的思想。
师：学生4与学生5用不同的方法都能够判断函数f（x）=x2+2x-2在区间[-3，-2]上存在零点。但是因为方法不同，所以解题过程也有差异。仅就判断一个函数在某个区间上是否有零点而言，哪个方法更好呢？下面大家再来看。
问题探究四：判断函数f（x）=3x+2x-2是否存在零点。
受问题探究三研究的启发，学生又注意到函数f（x）=3x+2x-2对应的方程无法求解。学生尝试计算得到f（0）=-1<0，f（1）=3>0，有f（0）·f（1）<0，函数曲线连续不间断，函数是递增的，因此有零点，而且只有一个零点（如图4）。
此处问题探究二和问题探究三的设计可谓独具匠心，让学生的想法逐渐向定理靠拢，使学生自己从特殊归纳一般结论成为可能。
（2）逐步完善，得出定理
师：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上一定存在零点吗？
生6：不一定。举个反例，如y=1/x，有f（1）·f（-1）<0，图象是断开的，所以要增加条件，即函数f（x）在区间（a，b）上的圖象连续不间断。
师：好！要说明一个命题不正确，就举反例。你还补充了条件，那么，现在有如下的命题：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）<0，且函数f（x）在区间（a，b）上的图象连续不间断，则函数f（x）在区间（a，b）上存在零点。这个命题正确吗？
同学们正在艰难思考之时，教师写出下面的函数： 。这时，大家看到在区间（0，1）上，f（1）·f（0）=-1<0，但是y=f（x）在区间（0，1）上没有零点。所以命题还要修正：将区间（a，b）改成[a，b]。
师：结论中的开区间需要改成闭区间吗？
经过讨论，大家一致认为没有必要，因为由条件可知，零点不可能在区间端点取到，所以用（a，b）比用[a，b]更精确。
PPT显示：设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，如果f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。
师生的讨论，使学生经历了从特殊情况归纳得出一般结论的过程，难能可贵！尤其是学生学会了举反例，对于一个有缺陷的命题，如何去否定它，进一步补充或调整条件，从而培养了学生的理性精神和逻辑思维能力。
（3）剖析定理，培养思维
教师强调：①条件：在闭区间上连续不间断，且端点处函数值异号——两者缺一不可；②结论：存在c[XC属于.TIF，JZ]（a，b），使得f（x）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根——也可用于方程根的判断。
【教学片段】
师：设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，如果f（x）在区间（a，b）上存在零点，那么f（a）·f（b）<0成立吗？
这个问题实际上是原问题的逆命题。学生通过讨论，做草图，用二次函数的图象说明了这个命题不成立，也就是，有零点，区间端点的函数值不一定异号。
问题探究五：设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且有f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）上存在的零点个数一定为一个吗？
学生通过讨论认为，零点可能是一个，也可能是两个，也可能是三个……
上述两个问题，在讨论的过程中，教师顺手在黑板上作出草图，为学生理解做了直观的解释，便于学生认识、接受，同时也为学生做出了示范。
师：你增加什么条件，可确保函数f（x）在区间（a，b）上的零点恰为一个？
学生思考，有人说出单调性，即如果再加上函数在区间（a，b）上是单调递增或者单调递减的条件，则可确保函数f（x）在区间（a，b）上的零点恰为一个。
师：很好！如果f（x）的图象是不间断的曲线，且存在零点，则是否一定存在区间（a，b），使得f（a）·f（b）<0？回到前面的引例上来，判断方程lnx+2x-3=0是否有实根。如果有，有几个？
生：设f（x）=lnx+2x-3，定义域是（0，+∞），则f（1）=ln1+2-3=-1<0，f（e）=lne+2e-3=2（e-1）>0，所以f（1）·f（e）<0，所以f（x）=lnx+2x-3在（1，e）有零点。
师：区间可以缩小吗？
师：很好！关于怎样进一步缩小零点所在区间的问题，我们以后再研究。
学生在教师的引领下开展了一系列的探索和研究，经过学生自己的思考和交流解决了定理里隐含的重要信息，并且为下面用二分法求方程的近似解做了铺垫。更重要的是在这个过程中，学生研究问题的能力得到了提高，学生的核心素养也得到了发展。 二、生态课堂
1开展研究性学习能促进生态课堂的良性发展
《普通高中数学课程标准（实验）》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
研究性学习是学生在教师的指导下，从学习的材料中选择或确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。研究性学习的着眼点就是改变学生过去单纯地被动接受教师传授知识的学习方式，有利于学生在有意义接受学习的同时，形成一种对知识技能进行主动探究，并重视实际问题解决的主动、积极的学习方式[2]。数学研究性学习的特点主要体现在它的开放性、问题性、自主性和参与性[3]93-95，它的功能在于能够营造一个使学生勇于探索争论、相互鼓励学习的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习的过程。
研究性学习的课堂生态不可能是一朝一夕形成的，必须要求教师改变教学理念，尊重学生，发挥学生的主体作用。研究性学习不仅可以在解决实际问题的领域开展，還可以在引进新概念、辨析新概念、巩固新概念中进行。这节课就是一节研究性学习味很浓的课，不但可以在某些章节结束的知识结构完善中进行，也可以在多种知识交汇时进行。这种学习方式往往以问题串的形式开展，或者以师生对话的形式进行，或者两者兼而有之。总之，它是一种自然流畅的课堂生态。这种自然流畅基于教师认真的准备和深厚的功底，通过提问、交流、讨论等形式展开。反之，没有教师主导、问题引领的课堂，任其自然发展的课堂，虽然可能也会让学生学到一些东西，但是更多是长出一堆杂乱无章的“荒草”，这样的课堂也就不能称之为“生态课堂”。
尊重学生的自主权和主动权是开放（生态）课堂的重要特征。在学生探究时，教师不要做过多的干预，因为学生在这个时候的思维是开放的，教师给他们的提示越多，他们的思维也就越受束缚[3]95。
2生态课堂能够促进学生核心素养的发展
林崇德先生指出，核心素养（key competencies）是学生在接受相应学段教育的过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。
生态课堂是从生态系统思想出发，着眼于学生未来发展，强调生态课堂是生命个体（学生、教师）在由教师、学生和环境等生态元素有机整合与协调运动而生成的生态场中主动发展、健康成长的时空场所，是一种符合教学主体生理特征和教学规律的课堂形式[4]。
教师在日常教学中怎样才能落实核心素养的培养这项艰巨的任务呢？生态课堂的建设能够挑起这样的重任。首先，生态课堂具有平等、和谐的课堂氛围。教师从传统角色定位，即教育中的主角转向“平等的首席”，成为学生的朋友，促进学生的发展。教师能够以民主方式尊重、接纳学生，关心、爱护学生，激励、宽容学生。在教与学的关系上，教师能够与学生共同开展探究活动。在探究过程中，教师是学生求知道路上的同行者，而不是原来的“知识的传播者”“话语权的垄断者”。学生从知识的接受者、学习的被动者，转化为知识的探究者、学习的主动者[1]26。
其次，生态课堂重视课堂文化建设。以往的课堂重视制度与规范，较少考虑文化的因素。有些学校（教师）往往要求学生安静地听课，认真记笔记，学生处于被动学习状态。新课程改革课堂文化的价值取向，是从“知识性课堂”走向“生命性课堂”，即关注学生生命的生态课堂。关注学生生命的生态课堂不排斥知识的传授和学生能力的培养，也绝不会把教学局限于认知层面，而是把教学过程变成学生愉悦的情绪生活和积极的情感体验。伴随着数学知识的获得，学生对数学学习的态度越来越积极而不是越来越消极，学生对数学学习的信心越来越强而不是越来越弱。教学过程还应丰富学生高尚的道德生活和人生体验，让学生在学科知识增长的同时，健全和发展人格，变得越来越有爱心，越来越有同情心，越来越有责任感，越来越有教养[5]。
生态课堂强调以人为本，追求自然、民主、和谐的课堂氛围，关注学生的全面发展和生命体验。将课堂教学的意义提升到发展学生的核心素养、立德育人的思想境界，不仅为考察课堂打开了一扇窗，也为研究数学课堂教学提供了新的视角。
参考文献：
[1]张华冕.和谐教学理念下生态式课堂的构建[J].天津教育，2010（4）：25-26.
[2]徐永忠.开展研究性学习提高数学复习效率[J].数学通讯，2015（7）：53-57.
[3]吴晓红.数学课堂教学反思[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[4]仲小敏，贾芸，张立岩.地理生态课堂的理念与实践[J].天津师范大学（基础教育版），2016（2）：48-52.
[5]余文森.从有效教学走向卓越教学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
【关键词】生态课堂；研究性学习；数学核心素养；育人价值
生态课堂是以人为本，关注和尊重生命个体的课堂。在生态课堂中，教师尊重学生的主体地位，针对学生的成长背景和特点，以自然有效的方式引导、鼓励、激发学生的内在潜质，使其成为人格健全、素质全面的人。生态课堂关注人性，强调发展，重视教师、学生、教学环境等诸因素的有机整合。如果说和谐教学是一种思想和理念，那么，和谐教学理念的实践结果就是以和谐理念为内涵的生态课堂。由此可以看出，生态课堂的核心理念是教学诸因素的共存、统一与和谐[1]26。[JP+1]这样的课堂可以发展学生的核心素养。那么，怎样打造这样的生态课堂呢？下面，笔者以M老师教学“函数与方程”一课为例，谈谈如何营造生态课堂，在课堂教学中发展学生的数学核心素养，以达“立德树人”之目标。
一、教学案例
1情境引入，弘扬数学文化
近年来，人们对数学内在价值的认识不断发展，数学文化研究更是得到了国内外数学家、教育家的关注。李大潜院士曾提出，数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。我国的数学课程标准也提出，要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值。
【教学片段】PPT显示：神圣罗马帝国的国王腓特烈酷爱数学，经常举行宫廷数学竞赛。在一次竞赛中，有一道题是求三次方程x3+2x2+10x=20的解。来自比萨的斐波那契成功判断其只有一个解，且获得精确到小数点后六位的近似解（1368808）。
学生的学习热情源于好奇心和求知欲。M老师以数学史典故引入，激发了学生探究的欲望，为下面进一步开展研究奠定了基础。正所谓“好的开头是成功的一半”，好的课堂引入会使教学达到事半功倍的效果。
在本课结束时，M老师不仅赞扬了同学们的探究精神，还赞扬了他们运用函数零点理论解决问题的行为，称赞他们比当年的斐波那契高明。
M老师如此处理，虽然仅仅几句话，一方面起到了首尾呼应之效，另一方面突出了人类不畏艰难、不断探索、不断进步的价值导向。小结时，M老师还引用了数学家华罗庚的诗句“形无数难入微，数无形少直觉”，在引导学生利用数形结合思想解决问题的同时，向学生展示华罗庚作为数学大家的另一面——喜欢作诗，以及其他方面的爱好。任何一位大家都不是单一发展的，往往具备较高的综合素养，这在高中一年级的学生心中埋下了数学文化的种子。
听课的W老师在点评中说，数学文化并不神秘，幽默与风趣的语言，一个智慧的比喻，一个典故，和谐的师生关系，都散发着数学文化的芳香，都能调动学生的兴趣，帮助学生理解、记忆所学知识，不仅有利于能力的形成，还是一种生动活泼的教学形式，是提高学生思想境界和文化修养的有效途径。
本课虽然是借班上课，但M老师在课堂教学中运用“直觉是思维的起点”“不求而获”“选择比行动更重要”等睿智的语言，激发了学生探究问题的热情，体现了教师对学生的鼓励、引导、关爱。学生在这样的生态课堂中感受着教师的情感，尽情地张开直观想象的翅膀，绽放理性思维的光芒。
2概念生成，体现建构思想
数学概念不会从天而降，它总是在已经研究过的数学概念的基础上，根据需要从不同的侧面或者以不同的方式加以定义。新的概念往往能够使人们对问题的研究更广阔、更深入。
（1）研究特殊、归纳一般
【教学片段】问题探究一：观察函数f（x）=x2-2x-3的图象。
教师引导学生关注图形中的数字“-1”和“3”。（如图1）
“形”的角度——函数f（x）=x2-2x-3的图象与x轴（函数y=0）交点的横坐标；
“数”的角度——方程x2-2x-3=0的根。
“-1”“3”是使函数f（x）=x2-2x-3的值为0的自变量x的值。
“-1”“3”称为函数f（x）=x2-2x-3的零点。
此处，M老师通过特殊的、学生熟悉的简单问题的研究，引导学生寻找解决一般问题的方法。学生在弄明白何为函数f（x）=x2-2x-3的零点后，可以通过模仿与抽象自然而然地学会定义一般函数的“函数的零点”。
定义一般地，把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点。
（2）同化顺应、建构体系
M老师引导学生观察，从方程和图象的角度研究函数零点，发现这三者本质上是一致的，只不过是在不同语境中的不同表述，因而它们的关系是等价的（如图2）。因此，学生在问题的研究中可以通过这种等价关系自由选择解决问题的角度，以达到解决问题之目的。
从解题学的角度来说，解题就是通过等价转化，逐步缩小条件与结论之间的差异。这其中的目标是缩小差异，手段或者说方法是（等价）转化。
【教学片段】问题探究二：用多种方法判断二次函数f（x）=x2+2x-2零点的个数。
生3：因为f（x）=x2+2x-2=（x+1）2-3，所以f（x）min=-3<0，顶点在x轴下方，且抛物线开口向上，所以y=f（x）的图象“穿过”x轴，y=f（x）的图象与x轴有两个交点，所以y=f（x）有两个零点。 师：这个想法好，利用图形，观察特殊点（最小值点），结合图形性质（定义在实数集上的二次函数的图象是开口向上的抛物线）得出了结论。大家再看看，如果取图象与y轴的交点，即当x=0，y=-2，同样可以达到目的，是不是更简洁？（同学们点头称是。接着，教师用PPT显示表1）
M老师通过探究二，既达到巩固概念，完善学生知识结构的目的，又为下面归纳零点存在性原理做了铺垫，尤其是学生3的回答和教师巧妙的引导。
出示图表就是让学生又从具体到一般，得出解决新问题（函数零点个数）的一般方法，同时体会二次函数的零点与一元二次方程、二次函数图象的关系，使学生将新学习的概念纳入其原有的知识结构中，形成新的知识结构，落实了课程标准中“了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系”的要求。
3定理剖析，培养探究精神
为了减轻学生的学习负担，教材中有不少定理直接由观察、归纳得到。此处的零点存在性定理即为其中之一。如果我们对于定理的教学采用直接告知的方式，然后用大量的练习巩固，或许也能够应付考试。但是，这种教学方式不利于培养学生的探究精神，对学生核心素养的提升作用不大。定理的得到应建立在学生探究的基础上，让学生水到渠成地得出定理。M老师的处理正体现了这样的思想。
师：学生4与学生5用不同的方法都能够判断函数f（x）=x2+2x-2在区间[-3，-2]上存在零点。但是因为方法不同，所以解题过程也有差异。仅就判断一个函数在某个区间上是否有零点而言，哪个方法更好呢？下面大家再来看。
问题探究四：判断函数f（x）=3x+2x-2是否存在零点。
受问题探究三研究的启发，学生又注意到函数f（x）=3x+2x-2对应的方程无法求解。学生尝试计算得到f（0）=-1<0，f（1）=3>0，有f（0）·f（1）<0，函数曲线连续不间断，函数是递增的，因此有零点，而且只有一个零点（如图4）。
此处问题探究二和问题探究三的设计可谓独具匠心，让学生的想法逐渐向定理靠拢，使学生自己从特殊归纳一般结论成为可能。
（2）逐步完善，得出定理
师：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上一定存在零点吗？
生6：不一定。举个反例，如y=1/x，有f（1）·f（-1）<0，图象是断开的，所以要增加条件，即函数f（x）在区间（a，b）上的圖象连续不间断。
师：好！要说明一个命题不正确，就举反例。你还补充了条件，那么，现在有如下的命题：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）<0，且函数f（x）在区间（a，b）上的图象连续不间断，则函数f（x）在区间（a，b）上存在零点。这个命题正确吗？
同学们正在艰难思考之时，教师写出下面的函数： 。这时，大家看到在区间（0，1）上，f（1）·f（0）=-1<0，但是y=f（x）在区间（0，1）上没有零点。所以命题还要修正：将区间（a，b）改成[a，b]。
师：结论中的开区间需要改成闭区间吗？
经过讨论，大家一致认为没有必要，因为由条件可知，零点不可能在区间端点取到，所以用（a，b）比用[a，b]更精确。
PPT显示：设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，如果f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。
师生的讨论，使学生经历了从特殊情况归纳得出一般结论的过程，难能可贵！尤其是学生学会了举反例，对于一个有缺陷的命题，如何去否定它，进一步补充或调整条件，从而培养了学生的理性精神和逻辑思维能力。
（3）剖析定理，培养思维
教师强调：①条件：在闭区间上连续不间断，且端点处函数值异号——两者缺一不可；②结论：存在c[XC属于.TIF，JZ]（a，b），使得f（x）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根——也可用于方程根的判断。
【教学片段】
师：设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，如果f（x）在区间（a，b）上存在零点，那么f（a）·f（b）<0成立吗？
这个问题实际上是原问题的逆命题。学生通过讨论，做草图，用二次函数的图象说明了这个命题不成立，也就是，有零点，区间端点的函数值不一定异号。
问题探究五：设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且有f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）上存在的零点个数一定为一个吗？
学生通过讨论认为，零点可能是一个，也可能是两个，也可能是三个……
上述两个问题，在讨论的过程中，教师顺手在黑板上作出草图，为学生理解做了直观的解释，便于学生认识、接受，同时也为学生做出了示范。
师：你增加什么条件，可确保函数f（x）在区间（a，b）上的零点恰为一个？
学生思考，有人说出单调性，即如果再加上函数在区间（a，b）上是单调递增或者单调递减的条件，则可确保函数f（x）在区间（a，b）上的零点恰为一个。
师：很好！如果f（x）的图象是不间断的曲线，且存在零点，则是否一定存在区间（a，b），使得f（a）·f（b）<0？回到前面的引例上来，判断方程lnx+2x-3=0是否有实根。如果有，有几个？
生：设f（x）=lnx+2x-3，定义域是（0，+∞），则f（1）=ln1+2-3=-1<0，f（e）=lne+2e-3=2（e-1）>0，所以f（1）·f（e）<0，所以f（x）=lnx+2x-3在（1，e）有零点。
师：区间可以缩小吗？
师：很好！关于怎样进一步缩小零点所在区间的问题，我们以后再研究。
学生在教师的引领下开展了一系列的探索和研究，经过学生自己的思考和交流解决了定理里隐含的重要信息，并且为下面用二分法求方程的近似解做了铺垫。更重要的是在这个过程中，学生研究问题的能力得到了提高，学生的核心素养也得到了发展。 二、生态课堂
1开展研究性学习能促进生态课堂的良性发展
《普通高中数学课程标准（实验）》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
研究性学习是学生在教师的指导下，从学习的材料中选择或确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。研究性学习的着眼点就是改变学生过去单纯地被动接受教师传授知识的学习方式，有利于学生在有意义接受学习的同时，形成一种对知识技能进行主动探究，并重视实际问题解决的主动、积极的学习方式[2]。数学研究性学习的特点主要体现在它的开放性、问题性、自主性和参与性[3]93-95，它的功能在于能够营造一个使学生勇于探索争论、相互鼓励学习的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习的过程。
研究性学习的课堂生态不可能是一朝一夕形成的，必须要求教师改变教学理念，尊重学生，发挥学生的主体作用。研究性学习不仅可以在解决实际问题的领域开展，還可以在引进新概念、辨析新概念、巩固新概念中进行。这节课就是一节研究性学习味很浓的课，不但可以在某些章节结束的知识结构完善中进行，也可以在多种知识交汇时进行。这种学习方式往往以问题串的形式开展，或者以师生对话的形式进行，或者两者兼而有之。总之，它是一种自然流畅的课堂生态。这种自然流畅基于教师认真的准备和深厚的功底，通过提问、交流、讨论等形式展开。反之，没有教师主导、问题引领的课堂，任其自然发展的课堂，虽然可能也会让学生学到一些东西，但是更多是长出一堆杂乱无章的“荒草”，这样的课堂也就不能称之为“生态课堂”。
尊重学生的自主权和主动权是开放（生态）课堂的重要特征。在学生探究时，教师不要做过多的干预，因为学生在这个时候的思维是开放的，教师给他们的提示越多，他们的思维也就越受束缚[3]95。
2生态课堂能够促进学生核心素养的发展
林崇德先生指出，核心素养（key competencies）是学生在接受相应学段教育的过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。
生态课堂是从生态系统思想出发，着眼于学生未来发展，强调生态课堂是生命个体（学生、教师）在由教师、学生和环境等生态元素有机整合与协调运动而生成的生态场中主动发展、健康成长的时空场所，是一种符合教学主体生理特征和教学规律的课堂形式[4]。
教师在日常教学中怎样才能落实核心素养的培养这项艰巨的任务呢？生态课堂的建设能够挑起这样的重任。首先，生态课堂具有平等、和谐的课堂氛围。教师从传统角色定位，即教育中的主角转向“平等的首席”，成为学生的朋友，促进学生的发展。教师能够以民主方式尊重、接纳学生，关心、爱护学生，激励、宽容学生。在教与学的关系上，教师能够与学生共同开展探究活动。在探究过程中，教师是学生求知道路上的同行者，而不是原来的“知识的传播者”“话语权的垄断者”。学生从知识的接受者、学习的被动者，转化为知识的探究者、学习的主动者[1]26。
其次，生态课堂重视课堂文化建设。以往的课堂重视制度与规范，较少考虑文化的因素。有些学校（教师）往往要求学生安静地听课，认真记笔记，学生处于被动学习状态。新课程改革课堂文化的价值取向，是从“知识性课堂”走向“生命性课堂”，即关注学生生命的生态课堂。关注学生生命的生态课堂不排斥知识的传授和学生能力的培养，也绝不会把教学局限于认知层面，而是把教学过程变成学生愉悦的情绪生活和积极的情感体验。伴随着数学知识的获得，学生对数学学习的态度越来越积极而不是越来越消极，学生对数学学习的信心越来越强而不是越来越弱。教学过程还应丰富学生高尚的道德生活和人生体验，让学生在学科知识增长的同时，健全和发展人格，变得越来越有爱心，越来越有同情心，越来越有责任感，越来越有教养[5]。
生态课堂强调以人为本，追求自然、民主、和谐的课堂氛围，关注学生的全面发展和生命体验。将课堂教学的意义提升到发展学生的核心素养、立德育人的思想境界，不仅为考察课堂打开了一扇窗，也为研究数学课堂教学提供了新的视角。
参考文献：
[1]张华冕.和谐教学理念下生态式课堂的构建[J].天津教育，2010（4）：25-26.
[2]徐永忠.开展研究性学习提高数学复习效率[J].数学通讯，2015（7）：53-57.
[3]吴晓红.数学课堂教学反思[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[4]仲小敏，贾芸，张立岩.地理生态课堂的理念与实践[J].天津师范大学（基础教育版），2016（2）：48-52.
[5]余文森.从有效教学走向卓越教学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.