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一、杨辉的数学成就和发展
（一）杨辉的数学成就
1.《详解九章算法》的主要数学成就
从杨辉的《详解九章算法》自序中，可知杨辉认为《九章算术》虽然是一经典著作，但并不方便初学者学习，所以才对《九章算法》进行详细解释、注释。
2.《日用算法》的主要数学成就
据其他文献记载可知，它的主要内容有度量衡换算、丈量土地、仓窖容积、建筑工程等与日常生产和生活密切相关的数学问题。杨辉编撰此书是为初学者而学的启蒙之书，多讲解日常所用的乘除算法，有插图并且有详细的解题过程。
3.《杨辉算法》的主要数学成就
《杨辉算法》的主要特点就是适用于数学普及和数学教育，《杨辉算法》是南宋时期流传至今使用算术的杰出著作。
（二）杨辉的创新和发展
1.对乘除捷法的创新
中国古代数学是随着算筹的发明而形成的。与笔算一样，筹算的基础也是加、减、乘、除四则运算。杨辉继承并发展了唐、宋數学家以加减代乘除的思想方法，对乘除算法加以创新，提出了很多乘除运算的简捷算法。
2.纵横图的构成规律以及组合数学的发展
“纵横图”这个词是从杨辉才开始的。所谓纵横图，“即在各种几何形状的表上排列数字，使得这些数进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，得到的和或积都能完全相同。”杨辉被誉为中国数学史上研究纵横图即组合数学的开拓者。
二、杨辉数学教育思想主要特点和对现代教育发展指导意义
（一）“须责实有”的教育主张
所谓“须责实有”就是数学教育的教材内容，必须和社会生产、生活实践相结合，所提出的问题必须来自于生产和生活实际。杨辉编入书中的题目，无一不是来自于他工作和生活的实际，这也在很大程度上体现了来源于生活应用与生活的现代数学教育思想。
（二）“先算再理”的教学方法
在教学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。先熟练习题的运算，之后再总结算理、算法。“习算纲目”通篇都体现了杨辉由易到难、由浅入深、循序渐进的教学思想以及先熟练运算再明算理的教学主张。
（三）“明法设题”的习题训练
在杨辉看来，教师编书或讲课时，应“法将题验”，并且应“欲明一法，必设一题”。也就是说，用算法统帅习题。要说明一种算法，都要先设置一种数学问题。每种算法都要有相应的数学题目来验证和练习。在要求学生要进行大量的习题训练的同时，杨辉还强调要精选例题，并且在讲清楚算法的来龙去脉之后，启发、引导学生要学会举一反三，并提高学习上的自觉性和主动性。
（四）杨辉数学教育思想对小学数学教育发展的指导意义
1.善于利用社会生活中的课程资源，注重学生应用能力的培养
杨辉书中所选取的例题大都是日常所用的问题，如日用度量衡、土地丈量、修建和商品交换等问题，这些利用社会生活中的资源来建设课程的做法给我们现代教育很多启发。中国学生的数学基础知识、基本技能很好，但是创新能力和应用能力却很低，这是我们要注意的。基础数学教育课应充分利用社会生活中的课程资源，给学生展示丰富多彩的数学知识，以培养数学观念和应用能力、动手能力，提高我国中小学生的创新能力。
2.教材编写应充分考虑到学习者的现有发展水平
当前，我国的小学数学教材存在很多不合理的地方，例如，忽视数学知识内在的逻辑性、有些内容缺乏对学生的身心发展水平的考虑。杨辉在著书时就充分考虑到了学习者的学习需要和发展水平以及知识的连贯性与完整性。《义务教育数学课程标准》指出：教材内容设计要有一定的弹性，重要的数学概念与数学思想宜螺旋上升，关注各部分内容之间的联系与综合等。所以教材的编写要充分考虑学习者的需要，否则教材将不适应学生的发展，起不到应有的效果。在这方面，我们的教育研究者可借鉴杨辉的有关思想来改善我国的小学教材的编写。
3.重视学习者对知识的练习和温习
杨辉十分强调学习者对所学知识的演算，无论是学习乘除，还是学习加减，杨辉都提出习题的演算并规定了具体的练习强度，如功课一日、功课五日等。在杨辉的《习算纲目》中，几乎每学一项内容杨辉都会指出及时温习。但杨辉指导学习者练习和温习不是无节制地练习题目和温习知识，不浪费学习者的宝贵时间。教育家杨辉是根据知识的难易和重要程度来安排练习和温习的强度的，所以不会造成今天我国小学中普遍存在的“题海”现象。教育研究者应仔细研究我国基础教育的数学内容，像数学家杨辉那样，给学习者指引明路，列出一个提纲指导学生如何练习，改变现在小学中作业过多的现状。
4.注重数学知识体系的连贯性和完整性
在杨辉看来，数学知识的联系是紧密的且都是环环相扣的，学生学习必须知道知识和用法的来源，才能更好地掌握知识，而不能把知识和用法看成是孤立的。在给初学者制定学习计划时，杨辉也是非常注重知识的连贯性和数学知识的内在逻辑性。例如，先学九九合数，次学乘除，然后学加减、求一、九归等法。其次学分数运算，最后学开方。整个体系是衔接的、完整的、层层深入的。如今，我国小学数学教育就存在了许多肢解数学知识的现象并且数学知识体系不完整，数学知识不是孤立的，学生应在教师的指导安排下系统地学习数学知识。
（一）杨辉的数学成就
1.《详解九章算法》的主要数学成就
从杨辉的《详解九章算法》自序中，可知杨辉认为《九章算术》虽然是一经典著作，但并不方便初学者学习，所以才对《九章算法》进行详细解释、注释。
2.《日用算法》的主要数学成就
据其他文献记载可知，它的主要内容有度量衡换算、丈量土地、仓窖容积、建筑工程等与日常生产和生活密切相关的数学问题。杨辉编撰此书是为初学者而学的启蒙之书，多讲解日常所用的乘除算法，有插图并且有详细的解题过程。
3.《杨辉算法》的主要数学成就
《杨辉算法》的主要特点就是适用于数学普及和数学教育，《杨辉算法》是南宋时期流传至今使用算术的杰出著作。
（二）杨辉的创新和发展
1.对乘除捷法的创新
中国古代数学是随着算筹的发明而形成的。与笔算一样，筹算的基础也是加、减、乘、除四则运算。杨辉继承并发展了唐、宋數学家以加减代乘除的思想方法，对乘除算法加以创新，提出了很多乘除运算的简捷算法。
2.纵横图的构成规律以及组合数学的发展
“纵横图”这个词是从杨辉才开始的。所谓纵横图，“即在各种几何形状的表上排列数字，使得这些数进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，得到的和或积都能完全相同。”杨辉被誉为中国数学史上研究纵横图即组合数学的开拓者。
二、杨辉数学教育思想主要特点和对现代教育发展指导意义
（一）“须责实有”的教育主张
所谓“须责实有”就是数学教育的教材内容，必须和社会生产、生活实践相结合，所提出的问题必须来自于生产和生活实际。杨辉编入书中的题目，无一不是来自于他工作和生活的实际，这也在很大程度上体现了来源于生活应用与生活的现代数学教育思想。
（二）“先算再理”的教学方法
在教学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。先熟练习题的运算，之后再总结算理、算法。“习算纲目”通篇都体现了杨辉由易到难、由浅入深、循序渐进的教学思想以及先熟练运算再明算理的教学主张。
（三）“明法设题”的习题训练
在杨辉看来，教师编书或讲课时，应“法将题验”，并且应“欲明一法，必设一题”。也就是说，用算法统帅习题。要说明一种算法，都要先设置一种数学问题。每种算法都要有相应的数学题目来验证和练习。在要求学生要进行大量的习题训练的同时，杨辉还强调要精选例题，并且在讲清楚算法的来龙去脉之后，启发、引导学生要学会举一反三，并提高学习上的自觉性和主动性。
（四）杨辉数学教育思想对小学数学教育发展的指导意义
1.善于利用社会生活中的课程资源，注重学生应用能力的培养
杨辉书中所选取的例题大都是日常所用的问题，如日用度量衡、土地丈量、修建和商品交换等问题，这些利用社会生活中的资源来建设课程的做法给我们现代教育很多启发。中国学生的数学基础知识、基本技能很好，但是创新能力和应用能力却很低，这是我们要注意的。基础数学教育课应充分利用社会生活中的课程资源，给学生展示丰富多彩的数学知识，以培养数学观念和应用能力、动手能力，提高我国中小学生的创新能力。
2.教材编写应充分考虑到学习者的现有发展水平
当前，我国的小学数学教材存在很多不合理的地方，例如，忽视数学知识内在的逻辑性、有些内容缺乏对学生的身心发展水平的考虑。杨辉在著书时就充分考虑到了学习者的学习需要和发展水平以及知识的连贯性与完整性。《义务教育数学课程标准》指出：教材内容设计要有一定的弹性，重要的数学概念与数学思想宜螺旋上升，关注各部分内容之间的联系与综合等。所以教材的编写要充分考虑学习者的需要，否则教材将不适应学生的发展，起不到应有的效果。在这方面，我们的教育研究者可借鉴杨辉的有关思想来改善我国的小学教材的编写。
3.重视学习者对知识的练习和温习
杨辉十分强调学习者对所学知识的演算，无论是学习乘除，还是学习加减，杨辉都提出习题的演算并规定了具体的练习强度，如功课一日、功课五日等。在杨辉的《习算纲目》中，几乎每学一项内容杨辉都会指出及时温习。但杨辉指导学习者练习和温习不是无节制地练习题目和温习知识，不浪费学习者的宝贵时间。教育家杨辉是根据知识的难易和重要程度来安排练习和温习的强度的，所以不会造成今天我国小学中普遍存在的“题海”现象。教育研究者应仔细研究我国基础教育的数学内容，像数学家杨辉那样，给学习者指引明路，列出一个提纲指导学生如何练习，改变现在小学中作业过多的现状。
4.注重数学知识体系的连贯性和完整性
在杨辉看来，数学知识的联系是紧密的且都是环环相扣的，学生学习必须知道知识和用法的来源，才能更好地掌握知识，而不能把知识和用法看成是孤立的。在给初学者制定学习计划时，杨辉也是非常注重知识的连贯性和数学知识的内在逻辑性。例如，先学九九合数，次学乘除，然后学加减、求一、九归等法。其次学分数运算，最后学开方。整个体系是衔接的、完整的、层层深入的。如今，我国小学数学教育就存在了许多肢解数学知识的现象并且数学知识体系不完整，数学知识不是孤立的，学生应在教师的指导安排下系统地学习数学知识。