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一、问题的提出
目前的高中数学教学有一个非常突出的问题，那就是：教师教的很辛苦，学生学的很痛苦，然而学生却没有得到预期的发展，而且现在的社会又是一个知识爆炸的时代，社会对人的素质的要求也越来越高，取而代之的是学生要学习的东西也会愈来愈多.所以如何提高学生数学学习的效度就变成了当今数学老师急切需要解决的问题，而且新课程的实施很大程度上也力求通过教学改革来变革教师的教学理念和改进现有的教学方法和学生的学习方式，从而达到提高学生数学学习效度的目的。数学学习的高效度能缓和学生学习时间有限和学习要求无限的时代矛盾.作为数学教学系统的重要子系统——数学课堂教学系统，它扮演着一个非常重要的角色。如何来优化数学课堂教学系统，提高学生数学学习的实效度就成为摆在我们每位数学教师面前迫切需要解决的课题。
二、理论支撑
1.系统观下的最优化教学
1968年，有一位原为生物学家的奥地利人贝塔朗菲（Ludwig Von Bertalanffy）发表了一部专著《一般系统理论——基础、发展与应用》，此书被当今世界许多研究者认为是系统理论的代表作。人们普遍认为《一般系统论》的出现，是现代系统理论发展过程中的一个里程碑。因而，贝塔朗菲这个名字就和系统思想及系统方法联系在了一起。他认为系统是为了达到共同的目的，具有相互作用、相互联系的许多要素组成的整体。系统由要素组成，要素之间相互关联，形成一定的结构。系统具有整体性、层次性和动态性三大特点。系统的整体性需要我们从整体出发研究课堂教学，强调各要素的相互配合、相互协调、相互促进，使得整体的效果大于局部之和；系统的层次性要求我们理清各要素在整个课堂教学系统中的不同地位和作用，明确它们的不同层次；系统的动态性告诉我们课堂教学系统处在不断的运动、发展和变化中，要根据实际情况适时作出改变，以适应课堂环境变化的要求。系统论为优化课堂教学提供了指导思想和方法，它需要教师运用系统方法进行课堂教学，从整体和部分，整体和环境之间的相互制约中，综合的考察课堂教学中的各因素，统筹全局，选择最优的教学方案，达到最优的教学效果。
2.最近发展区理论
在确定发展与教学的可能关系时，要使教育对学生的发展起主导和促进作用，就必须明确学生发展的两个水平：①他已经达到的发展水平，表现为学生能够独立解决问题的智力水平；②他可能达到的水平，但要借助老师和他人的帮助才能达到解决问题的水平。学生在老师指导下所能达到的解决问题的水平与独立活动中所能达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区”。课堂教学中，应该以学生发展的明天为目标，努力激发学生的潜能，使得教学能够达到最佳效果。
3.多元智力理论
美国哈佛大学教授、当代世界著名的心理学家和教育家霍华德·加德纳教授于1983年出版了他的力作《智力的结构》，提出了他的多元智力理论。就智力的本质来说，智力是“在某种社会和文化环境的价值标准下，个体用以解决自己遇到的真正难题或生产及创造出社会所需的有效产品的能力”；就智力的结构来说，智力不是某一种能力或围绕某一种能力的几种能力的整合，而是相对独立、相互平等的7种智力，即言语——语言智力、音乐——节奏智力、逻辑——数理智力、视觉——空间智力、身体——动觉智力、自知——自省智力和交往——交流智力（1995年又将自然观察智力增加为第八种智力）。这一理论提出20年来日益受到世界各国教育界的广泛重视。特别是在推行素质教育的今天，在实施新课改的今天，它的提出对传统的课堂教学和传统的智力观造成了很大的冲击，同时也提醒我们重新审视我们在课堂教学中的学生观、教学观和评价观。
三、对数学学习效度的界定
数学学习的效度通俗地讲是指学生数学学习的有效程度，主要是指教师在一段时间的数学教学以后，学生在数学知识、能力和思维及个性品质等方面所获得的具体的进步和发展的程度，它是衡量数学教师教学效益的唯一指标，即教学有没有效益，不是看教师有没有把数学内容教完或教得认真与否，而是看学生有没有学到什么或学生学得好，如果学生学的很辛苦，但却没有得到相应的发展，那还是无效学习。数学学习的高效度很大程度上取决于数学课堂教学的高效度。
四、优化课堂教学系统，提高学生数学学习实效性的途径。
数学课堂教学系统既不是传统的注入式教学思想所鼓吹的简单灌输系统，也不是人本主义所鼓吹的简单的潜能开发系统，数学课堂教学系统应该是依据数学素质的本性及其形成、发展规律而组织起来的一种多因素、多侧面、多层次的复杂系统。
1.激活动力系统，挖掘潜能以增效。
教学活动是一个系统，它有两个子系统：智力品质——操作系统；非智力品质——动力系统，它是指智力品质之外的一切心理因素，主要是指动机、兴趣、情感、意志和性格等，离开动力系统，教学活动既不可能发生，也难以延续，在学生课堂学习的全过程中，非智力品质始终发挥着动力、定向、引导、维持和强化等一系列相关联系的作用。它激活的好坏将直接影响到一堂课的教学效率。如果说智力因素形成了个体的多種能力，是学习活动的“硬件”的话，那么非智力因素在个体身上则表现为学习动机和学习态度，是学习活动的“软件”。它有几个主要的测试量标：理想、兴趣、信心、情感，由于数学本身的抽象性，所以它们的有效激活是提高学生数学学习效度的生长点。
第一，介绍一些与教学内容有关的数学史知识，激发学生的学习动力和坚定努力学习的信心。
在教学中介绍一些与教学内容相关的有名的数学家，发挥榜样的力量，让学生萌发献身数学研究的伟大理想，或是介绍一些与教学内容有关的数学史、数学名题，或是提出一些已经解决或是悬而未解的难题和猜想，一些似是而非的数学悖论，在了解数学发展史，完善学生知识结构的同时，激起学生的钻研热情和对数学知识的求知欲，最大限度的发挥学生的学习潜力。 [片段一]在上数列的极限课时，为了说明极限的思想，我利用了书本中的章头引言：我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立了“割圆术”，他借助圆内接正多边形的周长得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用，刘徽把他的操作方法概括为这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。”在解释完这几个字的含义后，用Flash动画演示由圆内接正多边形的周长趋近圆周长的过程，同时顺势介绍了刘徽对数学的巨大贡献，激起了学生的学习热情和学习动力。
第二，利用最近发展区理论进行巧妙的问题设计，使得问题富有趣味性、启发性、层次性，引导和维持学生积极的思考。
第三，借助现代媒体系统辅助教学，激发学生的学习兴趣和参与的积极性，在有效解决难点的同时又提高了课堂的教学效果。
2.融合教法系统，优势互补以增效。
教学方法是整个教学过程中与学生联系最直接的一个环节，它对教学工作的成效起着特殊的作用，它可以因教学内容而异，也可以因人而异，诚然，无论何种教学方法，都必须遵循一定的规律，但正如“包治百病”的药被认为是无稽之谈一样，绝不存在一种什么情况下都适用的单一的“最优教法”。教有定律，教无定法，说的就是这个道理，而且奥加涅相的话也颇能给人以启发：在说到某一种教学方法是“单一形式”是不一定有意义的，因为这种情形在学校教学实践中的任何时候也不会出现，每一种教学方法和手段都有其自身的特点，同一种教学方法可以说是有效的，也可以说是无效的，这决定于应用它的时间和地点，决定于各种不同的方法、方式和手段相互配合的特点。单一的数学教学方法往往只能解决某一小范围的特定问题，而任何一堂数学课的教学都需要我们结合数学教学目的、内容、学生年龄特征研究特定教学模式或方法的特定组合，找出最佳的组合选择及内在的作用机制，这样才能取得好的效果。现行的教学方法很多，如启发式教学法、讲授式教学法、计算机辅助教学法、自学辅导法、问题教学法、尝试教学法和探究式教学法等等，所有可以应用地教学方法和有待发现和形成的新的教学方法就构成了一个大的教法系统，而每一种教学方法就是它的一个子系统，在教法系统中，某几种教学方法的有机融合、优势互补、有效配合才是提高课堂学习效率的根本保证。
第一，讲授教学和探究教学相融合。讲授教学法就是教师对知识进行系统地、有计划地讲解和指导，作为一种最常用、最古老的教学方法，它有其自身的优点，它能充分发挥教师的主导作用，在较短的时间内能准确地完成较多的教学内容，且不受时间的限制。但这种方法缺少信息反馈，容易忽视调动学生积极性，而且讲授时间过多，不利于学生能力的培养。而探究式教学法是针对某一特殊的教学内容，教师不直接告诉学生与教学目标有关的知识和认知策略，而是创造一个特定的学习环境，让学生从问题情境中提出问题，建立假设，并在收集各种证据的基础上证实和证伪假设，最后得出自己的结论。这样的教学方式有利于发挥学生的自主性，调动学生的能动性和积极性，培养学生的创造性，从而慢慢改变学生的学习方式，但是探究教学比较费时，而且容易轻视教师的作用，一味强调由学生去自由探究和发现，最终可能会演变成学习上的放任自流，引起教学上的混乱。对于高中的数学知识，有些知识本来不易于探究，而且高中的数学任务比较重，从数学的教学实际看，学生的数学探究能力的形成和发展是渐进式的，而不是突發式的，况且探究也需要一些必备知识，而且学生不能一开始就能独立的开始探究，一个知识开端的教学通常采用讲授法来完成。所以数学教学中要注重它们的有机融合，而且尽量地从讲授教学中挖掘探究的因素，并利用传统的讲授、提问等方法引导学生去探究，不至于让自己的教学走向极端。
第二，计算机辅助教学和传统教学相融合。随着现代教育技术的不断发展，现代教学媒体正以它强有力的优势冲进课堂。这种新的技术手段、方式方法，对激发学生的学习兴趣，帮助学生透彻地理解讲授内容，追求“省时”、“高效”的课堂目标，确有明显的优势，亦为沉寂的课堂教学带来了“清新的风”。与传统的教学媒体相比，确实有其不可取代的优势。首先，其新颖性、生动性、直观性的特点和优势，使抽象、复杂的事物形象化，使教学内容图文并茂，声形俱现。现代媒体的使用使课堂气氛生动活泼，信息量、知识精度增强，而且较之传统媒体，现代教学媒体能发挥学生的多种感官，视觉和听觉可以同时感受。其次，现代教学媒体提供了大量的信息，丰富了教学内容。再次，图象的运动性，是传统媒体无法取代的，增强了学生的理解力和想象力。但是时下有一种过分夸大计算机技术与计算机辅助教学的作用倾向，认为计算机辅助教学就要完全脱离传统的教学方法，应该与粉笔与黑板再见，整节课不顾学生的素质，完全采用多媒体技术。从始至终，教师除了讲解，就是点击鼠标，认为只有这样才能解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维，体现现代教育的优势。也有人认为数学教学是训练人的抽象思维和逻辑思维能力的，是训练人的计算能力的，计算机的引入不利于抽象思维和逻辑思维能力的培养，各种计算软件地使用还会降低学生的计算能力，所以计算机技术引入数学课堂教学会产生一定的负面影响。从理论和实验结果来看，两种意见都有一定的道理，但也有片面性，一方面教育需要技术，技术需要教师，现代技术与传统教学要做到优势互补，对具体问题作具体分析、具体处理。计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别是它的表述方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。计算机作为辅助工具是为教学服务的，应适时适当的使用才能发挥最大的作用，如在列举几个数学实例以后，从中概括共同属性的时候，电脑课件很难将它们同时映射在银幕上，不便于比较、分析，这时还得借助黑板来完成。又如我们上立体几何课时用的模型，该用的时候拿起来，不用的时候放下来。传统教学的优势应该保留，如教师的示范作用、教师与学生之间的及时交流，教师课堂组织能力等等。《高中数学新课程标准》也指出：在教学中，应重视利用现代媒体系统呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。传统和现代媒体的有机结合和优势互补，有利于发挥多媒体系统的总体效应。不同的媒体虽在经验传递和信息传递中各有其独特的作用，但也有各自的不足之处。如果能对媒体进行合理的组合，将极大地丰富课堂教学的表现手法和表现方式，如果只是一味地使用现代媒体手段（如用一节课的大部分时间播放影视），那对学生实际上也是一种被动灌输，只不过是从教师的“满堂灌”变为“电灌”。所以，现代信息技术的运用要与常规的甚至是传统的教学方法（如讲述法、讲解法、谈话法等）有机地结合起来，发挥各自的优势，体现出整体的功效。 3.丰富评价系统，合理反馈以增效。
评价系统是联系教师与学生思维、情感的重要环节，它的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生学习和改进教师的教学。它对教学活动起着激励导向和质量监控的作用。现行的教学评价主要以笔试为主，“三好学生”及奖学金的评定、人才市场的选择均以笔试成绩为依据。这种单一的教学评价手段压抑了大部分学生的个性和创造潜能，使他们成为应试教育下潜在的牺牲品，而笔试成绩优秀的学生走上社会以后，其中的部分学生却成为高分低能的人，具有创新特征的教学模式的评价方式应突出促进学生全面发展为特征的指导思想，《普通高中数学新课程标准》中也提到：现代社会对人的发展的要求引起了评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，评价既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们的数学学习的过程，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化，也就是说，我们的评价反馈系统应该从上面的三个大方向着手，丰富以前以学习成绩作为“单一”评价方式，尝试建立态度、情感、能力、知识并重的多维立体的评价体系，把评价焦点从学生的学习能力扩展到参与状态、交往状态和情绪状态等方面，有效地树立学生学习数学的信心，提高学习兴趣，取得较好的教学效果。
（1）既关注教师的“教”，更重视学生的“学”。教学的根本目的是为了学生的发展，教学是教师组织和引导学生进行有效学习的过程，是师生之间、学生之间交往互动、共同实现具体发展目标的过程。在教学活动中，学生是主体，教师的教是为了学生的学，教服务于学。无论是教师的教还是学生的学最终都要在学生身上得到体现，不考虑学生为主体的教，不会有好的教学效果。因此，在处理“评教”与“评学”的关系问题上，课程改革强调了以“评学”为课堂教学评价的重点，提出了“以学论教、教为了促学”的口号。所以老师在课堂教学的过程中，要善于观察，观察学生是否积极参与数学学习活动，对老师讲解的数学知识的兴趣如何，在问题的解决过程中，了解学生思维的合理性和灵活性，在学生回答问题的过程中，了解学生的语言表达能力如何。当然教师也应该尽量丰富自己的教学形式，开展形式多样的教学活动，使得学生这些特点体现的更明确。评价要以鼓励为主，对不同层次的学生要分层评价，而对同一学生的不同时期采取相对评价，使得不同学生和同一学生在不同时期都明确自己各方面的进展情况。
（2）既注意学生“双基”的落实，更注重学生在学习过程中情感态度的发展。掌握基础知识、基本技能、发展数学能力无疑是教学的重要任务，但不是唯一任务。知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观是教学目标中有机联系的整体，对学生的发展具有十分重要的作用。从一定程度上讲，“过程与方法、情感、态度与价值观”等方面的发展比“知识与技能”更为重要，它们是每一个学生终身可持续发展的基础。因此，立足于学生发展的课堂教学评价，应改变过于注重“双基”和“学科能力”目标的落实倾向，更加关注学生在学习过程中所表现出的方法和思考，关注学生应用意识和创新能力的培养，关注学生在学习过程中的情感体验和价值观的培养与形成。由过去注重教师语言清晰流畅，教学思路清晰有序，板书工整合理的评价，向注重是否有效地组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，是否恰当地设计学习活动并引导学生主动参与，是否落实学生的主体地位，是否为学生开展有效的学习活动创设理想的学习环境；是否有效地为学生提供动手实践、自主探索与合作交流的机会和空间；是否创造性地使用教材而不是教教材。
在课堂教学中从多元智能理论出发实施多元化评价，有利于学生学习信息的多方位、多角度的交流，有利于突出学生学习的主体地位，提高教学效率；有利于因材施教，充分调动不同层次学生学好数学的积极性，使学生体验成功，建立自信，促进学生主动、全面的发展。课堂教学实施多元化评价是为学习目标服务的重要辅助手段，它具有導向性、激励性和发展性，它能有效地促进教与学双方的互动相长，有利于学生的主动发展，有利于教师教学水平的提高，从而进一步实现教学的发展。
4.更新理念系统，持续反思以增效。
教师自身所具备的教育理念是左右课堂教学成效的重要因素。江泽民同志在《关于教育问题的谈话》指出，实施素质教育，首先要求我们切实更新教育思想，转变教育观念，只有不断更新教育思想和转变教育观念，才能推动教育事业的发展。思想观念是行为的先导，更新教育观念，是实施素质教育的前提条件。应该说，一次性的师范大学学习难以造就永久性的合格数学教师，面对数学新课程改革，面对全面推进素质教育的新形势，当今教师迫切需要不断更新自身的教育理念，提高将知识转化为智慧，将理论转化为方法的能力，提高将自己的数学学科知识、教育新理念和媒体技术有机地整合能力，以跟上时代的脚步。
（1）树立终身学习的意识，不断地给自己“充电”。1965年法国教育家保罗·郎格朗在巴黎召开的国家成人教育推进委员会上正式提出了“终身教育”，这一思想迅速得到世界各国的认同，教师成为最先感受终身教育的社会职业之一。随着新世纪的到来和教育改革的不断深化，现代终身教育思想逐渐形成共识，教师专业发展就是要求教师树立终身教育和终身学习的理念，提高学习的自觉性，得到可持续的发展，以适应教育的变革及其新要求。这正如《学会生存》明确指出：“我们可以说，人永远不会变成一个完人，他的生存是一个永无止境的完善过程和学习过程，他必须从他的环境中不断地学习那些自然和本能所没有赋予他的生存技术。为了求生存和求发展，他不得不学习。”数学教师应努力学习数学学科的专业知识，注意搜集数学发展的历史和现代数学发展的新动向、新信息，不断更新知识，以适应时代发展的要求和学生学习的需求。学习和使用现代媒体技术，努力促进现代媒体技术和数学课堂教学的有机整合。学习教育学、心理学发展的新成果，用先进的教育理论，根据学生的认知心理来指导我们平时的教学。现在教师的继续教育就是实现终身学习的一种有效方式，树立终身学习的意识，做一个终身学习的践行者，这不仅是学校生存和发展的需要，更是教师自身工作、生存和发展的必然。
（2）养成教后反思的习惯，努力把观念和实践相整合。对教师来说，接受新的教育理念和学习现代信息技术并不难，最重要的是如何把理念和信息技术落实在教学实践中，它需要我们不断对自己的课堂教学进行研究反思，不断对自己的知识经验进行重组。教学反思，就是要求教师对教育的理论和实践持有一种“健康”的怀疑态度，并及时地把思想转变为行动，就像教学活动要求学生“学会学习”一样，教师也要能够在反思中“学会教学”。通过反思可以发现新问题，进一步激发教师的责任心，把教学实践提升到新的高度。只有不断进行教学反思的教师，才能成为反思型的教师，才能形成优秀的教师品质。其实，教学反思的过程并不复杂，也不是那么高不可攀。教学反思的方法和过程其实也很简单，以“细、活、实、深”教学风格著称的特级教师袁容的经验是：一节课下来，细细回想一下，写下一孔一得之见，记上疏漏失误之处。我们可在每天的教学结束后，勤写教学后记，这种记载不必面面俱到，抓住主要问题即可；教师之间可以相互听课观摩并相互指出优点、缺点，提出改进的方法和建议，更为重要的是，教师要对自己在教学中遇到的问题调查研究，由反思来改善自己的教学实践，并形成一种有意识地进行调查研究的良好习惯。
树立终身学习的意识，保持开放的心态，把学校视为自己学习的场所，在实践中学习，不断对自己的教育教学进行研究、反思，对自己的知识与经验进行重组，在富时代精神和科学性的教育理念指导下发展自己的教育能力和研究能力，在实践中凝聚生成教育智慧，那么就能够不断地成长和发展，成为一位理想的教师。
目前的高中数学教学有一个非常突出的问题，那就是：教师教的很辛苦，学生学的很痛苦，然而学生却没有得到预期的发展，而且现在的社会又是一个知识爆炸的时代，社会对人的素质的要求也越来越高，取而代之的是学生要学习的东西也会愈来愈多.所以如何提高学生数学学习的效度就变成了当今数学老师急切需要解决的问题，而且新课程的实施很大程度上也力求通过教学改革来变革教师的教学理念和改进现有的教学方法和学生的学习方式，从而达到提高学生数学学习效度的目的。数学学习的高效度能缓和学生学习时间有限和学习要求无限的时代矛盾.作为数学教学系统的重要子系统——数学课堂教学系统，它扮演着一个非常重要的角色。如何来优化数学课堂教学系统，提高学生数学学习的实效度就成为摆在我们每位数学教师面前迫切需要解决的课题。
二、理论支撑
1.系统观下的最优化教学
1968年，有一位原为生物学家的奥地利人贝塔朗菲（Ludwig Von Bertalanffy）发表了一部专著《一般系统理论——基础、发展与应用》，此书被当今世界许多研究者认为是系统理论的代表作。人们普遍认为《一般系统论》的出现，是现代系统理论发展过程中的一个里程碑。因而，贝塔朗菲这个名字就和系统思想及系统方法联系在了一起。他认为系统是为了达到共同的目的，具有相互作用、相互联系的许多要素组成的整体。系统由要素组成，要素之间相互关联，形成一定的结构。系统具有整体性、层次性和动态性三大特点。系统的整体性需要我们从整体出发研究课堂教学，强调各要素的相互配合、相互协调、相互促进，使得整体的效果大于局部之和；系统的层次性要求我们理清各要素在整个课堂教学系统中的不同地位和作用，明确它们的不同层次；系统的动态性告诉我们课堂教学系统处在不断的运动、发展和变化中，要根据实际情况适时作出改变，以适应课堂环境变化的要求。系统论为优化课堂教学提供了指导思想和方法，它需要教师运用系统方法进行课堂教学，从整体和部分，整体和环境之间的相互制约中，综合的考察课堂教学中的各因素，统筹全局，选择最优的教学方案，达到最优的教学效果。
2.最近发展区理论
在确定发展与教学的可能关系时，要使教育对学生的发展起主导和促进作用，就必须明确学生发展的两个水平：①他已经达到的发展水平，表现为学生能够独立解决问题的智力水平；②他可能达到的水平，但要借助老师和他人的帮助才能达到解决问题的水平。学生在老师指导下所能达到的解决问题的水平与独立活动中所能达到的解决问题的水平之间的差异称之为“最近发展区”。课堂教学中，应该以学生发展的明天为目标，努力激发学生的潜能，使得教学能够达到最佳效果。
3.多元智力理论
美国哈佛大学教授、当代世界著名的心理学家和教育家霍华德·加德纳教授于1983年出版了他的力作《智力的结构》，提出了他的多元智力理论。就智力的本质来说，智力是“在某种社会和文化环境的价值标准下，个体用以解决自己遇到的真正难题或生产及创造出社会所需的有效产品的能力”；就智力的结构来说，智力不是某一种能力或围绕某一种能力的几种能力的整合，而是相对独立、相互平等的7种智力，即言语——语言智力、音乐——节奏智力、逻辑——数理智力、视觉——空间智力、身体——动觉智力、自知——自省智力和交往——交流智力（1995年又将自然观察智力增加为第八种智力）。这一理论提出20年来日益受到世界各国教育界的广泛重视。特别是在推行素质教育的今天，在实施新课改的今天，它的提出对传统的课堂教学和传统的智力观造成了很大的冲击，同时也提醒我们重新审视我们在课堂教学中的学生观、教学观和评价观。
三、对数学学习效度的界定
数学学习的效度通俗地讲是指学生数学学习的有效程度，主要是指教师在一段时间的数学教学以后，学生在数学知识、能力和思维及个性品质等方面所获得的具体的进步和发展的程度，它是衡量数学教师教学效益的唯一指标，即教学有没有效益，不是看教师有没有把数学内容教完或教得认真与否，而是看学生有没有学到什么或学生学得好，如果学生学的很辛苦，但却没有得到相应的发展，那还是无效学习。数学学习的高效度很大程度上取决于数学课堂教学的高效度。
四、优化课堂教学系统，提高学生数学学习实效性的途径。
数学课堂教学系统既不是传统的注入式教学思想所鼓吹的简单灌输系统，也不是人本主义所鼓吹的简单的潜能开发系统，数学课堂教学系统应该是依据数学素质的本性及其形成、发展规律而组织起来的一种多因素、多侧面、多层次的复杂系统。
1.激活动力系统，挖掘潜能以增效。
教学活动是一个系统，它有两个子系统：智力品质——操作系统；非智力品质——动力系统，它是指智力品质之外的一切心理因素，主要是指动机、兴趣、情感、意志和性格等，离开动力系统，教学活动既不可能发生，也难以延续，在学生课堂学习的全过程中，非智力品质始终发挥着动力、定向、引导、维持和强化等一系列相关联系的作用。它激活的好坏将直接影响到一堂课的教学效率。如果说智力因素形成了个体的多種能力，是学习活动的“硬件”的话，那么非智力因素在个体身上则表现为学习动机和学习态度，是学习活动的“软件”。它有几个主要的测试量标：理想、兴趣、信心、情感，由于数学本身的抽象性，所以它们的有效激活是提高学生数学学习效度的生长点。
第一，介绍一些与教学内容有关的数学史知识，激发学生的学习动力和坚定努力学习的信心。
在教学中介绍一些与教学内容相关的有名的数学家，发挥榜样的力量，让学生萌发献身数学研究的伟大理想，或是介绍一些与教学内容有关的数学史、数学名题，或是提出一些已经解决或是悬而未解的难题和猜想，一些似是而非的数学悖论，在了解数学发展史，完善学生知识结构的同时，激起学生的钻研热情和对数学知识的求知欲，最大限度的发挥学生的学习潜力。 [片段一]在上数列的极限课时，为了说明极限的思想，我利用了书本中的章头引言：我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立了“割圆术”，他借助圆内接正多边形的周长得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用，刘徽把他的操作方法概括为这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。”在解释完这几个字的含义后，用Flash动画演示由圆内接正多边形的周长趋近圆周长的过程，同时顺势介绍了刘徽对数学的巨大贡献，激起了学生的学习热情和学习动力。
第二，利用最近发展区理论进行巧妙的问题设计，使得问题富有趣味性、启发性、层次性，引导和维持学生积极的思考。
第三，借助现代媒体系统辅助教学，激发学生的学习兴趣和参与的积极性，在有效解决难点的同时又提高了课堂的教学效果。
2.融合教法系统，优势互补以增效。
教学方法是整个教学过程中与学生联系最直接的一个环节，它对教学工作的成效起着特殊的作用，它可以因教学内容而异，也可以因人而异，诚然，无论何种教学方法，都必须遵循一定的规律，但正如“包治百病”的药被认为是无稽之谈一样，绝不存在一种什么情况下都适用的单一的“最优教法”。教有定律，教无定法，说的就是这个道理，而且奥加涅相的话也颇能给人以启发：在说到某一种教学方法是“单一形式”是不一定有意义的，因为这种情形在学校教学实践中的任何时候也不会出现，每一种教学方法和手段都有其自身的特点，同一种教学方法可以说是有效的，也可以说是无效的，这决定于应用它的时间和地点，决定于各种不同的方法、方式和手段相互配合的特点。单一的数学教学方法往往只能解决某一小范围的特定问题，而任何一堂数学课的教学都需要我们结合数学教学目的、内容、学生年龄特征研究特定教学模式或方法的特定组合，找出最佳的组合选择及内在的作用机制，这样才能取得好的效果。现行的教学方法很多，如启发式教学法、讲授式教学法、计算机辅助教学法、自学辅导法、问题教学法、尝试教学法和探究式教学法等等，所有可以应用地教学方法和有待发现和形成的新的教学方法就构成了一个大的教法系统，而每一种教学方法就是它的一个子系统，在教法系统中，某几种教学方法的有机融合、优势互补、有效配合才是提高课堂学习效率的根本保证。
第一，讲授教学和探究教学相融合。讲授教学法就是教师对知识进行系统地、有计划地讲解和指导，作为一种最常用、最古老的教学方法，它有其自身的优点，它能充分发挥教师的主导作用，在较短的时间内能准确地完成较多的教学内容，且不受时间的限制。但这种方法缺少信息反馈，容易忽视调动学生积极性，而且讲授时间过多，不利于学生能力的培养。而探究式教学法是针对某一特殊的教学内容，教师不直接告诉学生与教学目标有关的知识和认知策略，而是创造一个特定的学习环境，让学生从问题情境中提出问题，建立假设，并在收集各种证据的基础上证实和证伪假设，最后得出自己的结论。这样的教学方式有利于发挥学生的自主性，调动学生的能动性和积极性，培养学生的创造性，从而慢慢改变学生的学习方式，但是探究教学比较费时，而且容易轻视教师的作用，一味强调由学生去自由探究和发现，最终可能会演变成学习上的放任自流，引起教学上的混乱。对于高中的数学知识，有些知识本来不易于探究，而且高中的数学任务比较重，从数学的教学实际看，学生的数学探究能力的形成和发展是渐进式的，而不是突發式的，况且探究也需要一些必备知识，而且学生不能一开始就能独立的开始探究，一个知识开端的教学通常采用讲授法来完成。所以数学教学中要注重它们的有机融合，而且尽量地从讲授教学中挖掘探究的因素，并利用传统的讲授、提问等方法引导学生去探究，不至于让自己的教学走向极端。
第二，计算机辅助教学和传统教学相融合。随着现代教育技术的不断发展，现代教学媒体正以它强有力的优势冲进课堂。这种新的技术手段、方式方法，对激发学生的学习兴趣，帮助学生透彻地理解讲授内容，追求“省时”、“高效”的课堂目标，确有明显的优势，亦为沉寂的课堂教学带来了“清新的风”。与传统的教学媒体相比，确实有其不可取代的优势。首先，其新颖性、生动性、直观性的特点和优势，使抽象、复杂的事物形象化，使教学内容图文并茂，声形俱现。现代媒体的使用使课堂气氛生动活泼，信息量、知识精度增强，而且较之传统媒体，现代教学媒体能发挥学生的多种感官，视觉和听觉可以同时感受。其次，现代教学媒体提供了大量的信息，丰富了教学内容。再次，图象的运动性，是传统媒体无法取代的，增强了学生的理解力和想象力。但是时下有一种过分夸大计算机技术与计算机辅助教学的作用倾向，认为计算机辅助教学就要完全脱离传统的教学方法，应该与粉笔与黑板再见，整节课不顾学生的素质，完全采用多媒体技术。从始至终，教师除了讲解，就是点击鼠标，认为只有这样才能解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维，体现现代教育的优势。也有人认为数学教学是训练人的抽象思维和逻辑思维能力的，是训练人的计算能力的，计算机的引入不利于抽象思维和逻辑思维能力的培养，各种计算软件地使用还会降低学生的计算能力，所以计算机技术引入数学课堂教学会产生一定的负面影响。从理论和实验结果来看，两种意见都有一定的道理，但也有片面性，一方面教育需要技术，技术需要教师，现代技术与传统教学要做到优势互补，对具体问题作具体分析、具体处理。计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别是它的表述方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。计算机作为辅助工具是为教学服务的，应适时适当的使用才能发挥最大的作用，如在列举几个数学实例以后，从中概括共同属性的时候，电脑课件很难将它们同时映射在银幕上，不便于比较、分析，这时还得借助黑板来完成。又如我们上立体几何课时用的模型，该用的时候拿起来，不用的时候放下来。传统教学的优势应该保留，如教师的示范作用、教师与学生之间的及时交流，教师课堂组织能力等等。《高中数学新课程标准》也指出：在教学中，应重视利用现代媒体系统呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。传统和现代媒体的有机结合和优势互补，有利于发挥多媒体系统的总体效应。不同的媒体虽在经验传递和信息传递中各有其独特的作用，但也有各自的不足之处。如果能对媒体进行合理的组合，将极大地丰富课堂教学的表现手法和表现方式，如果只是一味地使用现代媒体手段（如用一节课的大部分时间播放影视），那对学生实际上也是一种被动灌输，只不过是从教师的“满堂灌”变为“电灌”。所以，现代信息技术的运用要与常规的甚至是传统的教学方法（如讲述法、讲解法、谈话法等）有机地结合起来，发挥各自的优势，体现出整体的功效。 3.丰富评价系统，合理反馈以增效。
评价系统是联系教师与学生思维、情感的重要环节，它的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生学习和改进教师的教学。它对教学活动起着激励导向和质量监控的作用。现行的教学评价主要以笔试为主，“三好学生”及奖学金的评定、人才市场的选择均以笔试成绩为依据。这种单一的教学评价手段压抑了大部分学生的个性和创造潜能，使他们成为应试教育下潜在的牺牲品，而笔试成绩优秀的学生走上社会以后，其中的部分学生却成为高分低能的人，具有创新特征的教学模式的评价方式应突出促进学生全面发展为特征的指导思想，《普通高中数学新课程标准》中也提到：现代社会对人的发展的要求引起了评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，评价既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们的数学学习的过程，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化，也就是说，我们的评价反馈系统应该从上面的三个大方向着手，丰富以前以学习成绩作为“单一”评价方式，尝试建立态度、情感、能力、知识并重的多维立体的评价体系，把评价焦点从学生的学习能力扩展到参与状态、交往状态和情绪状态等方面，有效地树立学生学习数学的信心，提高学习兴趣，取得较好的教学效果。
（1）既关注教师的“教”，更重视学生的“学”。教学的根本目的是为了学生的发展，教学是教师组织和引导学生进行有效学习的过程，是师生之间、学生之间交往互动、共同实现具体发展目标的过程。在教学活动中，学生是主体，教师的教是为了学生的学，教服务于学。无论是教师的教还是学生的学最终都要在学生身上得到体现，不考虑学生为主体的教，不会有好的教学效果。因此，在处理“评教”与“评学”的关系问题上，课程改革强调了以“评学”为课堂教学评价的重点，提出了“以学论教、教为了促学”的口号。所以老师在课堂教学的过程中，要善于观察，观察学生是否积极参与数学学习活动，对老师讲解的数学知识的兴趣如何，在问题的解决过程中，了解学生思维的合理性和灵活性，在学生回答问题的过程中，了解学生的语言表达能力如何。当然教师也应该尽量丰富自己的教学形式，开展形式多样的教学活动，使得学生这些特点体现的更明确。评价要以鼓励为主，对不同层次的学生要分层评价，而对同一学生的不同时期采取相对评价，使得不同学生和同一学生在不同时期都明确自己各方面的进展情况。
（2）既注意学生“双基”的落实，更注重学生在学习过程中情感态度的发展。掌握基础知识、基本技能、发展数学能力无疑是教学的重要任务，但不是唯一任务。知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观是教学目标中有机联系的整体，对学生的发展具有十分重要的作用。从一定程度上讲，“过程与方法、情感、态度与价值观”等方面的发展比“知识与技能”更为重要，它们是每一个学生终身可持续发展的基础。因此，立足于学生发展的课堂教学评价，应改变过于注重“双基”和“学科能力”目标的落实倾向，更加关注学生在学习过程中所表现出的方法和思考，关注学生应用意识和创新能力的培养，关注学生在学习过程中的情感体验和价值观的培养与形成。由过去注重教师语言清晰流畅，教学思路清晰有序，板书工整合理的评价，向注重是否有效地组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，是否恰当地设计学习活动并引导学生主动参与，是否落实学生的主体地位，是否为学生开展有效的学习活动创设理想的学习环境；是否有效地为学生提供动手实践、自主探索与合作交流的机会和空间；是否创造性地使用教材而不是教教材。
在课堂教学中从多元智能理论出发实施多元化评价，有利于学生学习信息的多方位、多角度的交流，有利于突出学生学习的主体地位，提高教学效率；有利于因材施教，充分调动不同层次学生学好数学的积极性，使学生体验成功，建立自信，促进学生主动、全面的发展。课堂教学实施多元化评价是为学习目标服务的重要辅助手段，它具有導向性、激励性和发展性，它能有效地促进教与学双方的互动相长，有利于学生的主动发展，有利于教师教学水平的提高，从而进一步实现教学的发展。
4.更新理念系统，持续反思以增效。
教师自身所具备的教育理念是左右课堂教学成效的重要因素。江泽民同志在《关于教育问题的谈话》指出，实施素质教育，首先要求我们切实更新教育思想，转变教育观念，只有不断更新教育思想和转变教育观念，才能推动教育事业的发展。思想观念是行为的先导，更新教育观念，是实施素质教育的前提条件。应该说，一次性的师范大学学习难以造就永久性的合格数学教师，面对数学新课程改革，面对全面推进素质教育的新形势，当今教师迫切需要不断更新自身的教育理念，提高将知识转化为智慧，将理论转化为方法的能力，提高将自己的数学学科知识、教育新理念和媒体技术有机地整合能力，以跟上时代的脚步。
（1）树立终身学习的意识，不断地给自己“充电”。1965年法国教育家保罗·郎格朗在巴黎召开的国家成人教育推进委员会上正式提出了“终身教育”，这一思想迅速得到世界各国的认同，教师成为最先感受终身教育的社会职业之一。随着新世纪的到来和教育改革的不断深化，现代终身教育思想逐渐形成共识，教师专业发展就是要求教师树立终身教育和终身学习的理念，提高学习的自觉性，得到可持续的发展，以适应教育的变革及其新要求。这正如《学会生存》明确指出：“我们可以说，人永远不会变成一个完人，他的生存是一个永无止境的完善过程和学习过程，他必须从他的环境中不断地学习那些自然和本能所没有赋予他的生存技术。为了求生存和求发展，他不得不学习。”数学教师应努力学习数学学科的专业知识，注意搜集数学发展的历史和现代数学发展的新动向、新信息，不断更新知识，以适应时代发展的要求和学生学习的需求。学习和使用现代媒体技术，努力促进现代媒体技术和数学课堂教学的有机整合。学习教育学、心理学发展的新成果，用先进的教育理论，根据学生的认知心理来指导我们平时的教学。现在教师的继续教育就是实现终身学习的一种有效方式，树立终身学习的意识，做一个终身学习的践行者，这不仅是学校生存和发展的需要，更是教师自身工作、生存和发展的必然。
（2）养成教后反思的习惯，努力把观念和实践相整合。对教师来说，接受新的教育理念和学习现代信息技术并不难，最重要的是如何把理念和信息技术落实在教学实践中，它需要我们不断对自己的课堂教学进行研究反思，不断对自己的知识经验进行重组。教学反思，就是要求教师对教育的理论和实践持有一种“健康”的怀疑态度，并及时地把思想转变为行动，就像教学活动要求学生“学会学习”一样，教师也要能够在反思中“学会教学”。通过反思可以发现新问题，进一步激发教师的责任心，把教学实践提升到新的高度。只有不断进行教学反思的教师，才能成为反思型的教师，才能形成优秀的教师品质。其实，教学反思的过程并不复杂，也不是那么高不可攀。教学反思的方法和过程其实也很简单，以“细、活、实、深”教学风格著称的特级教师袁容的经验是：一节课下来，细细回想一下，写下一孔一得之见，记上疏漏失误之处。我们可在每天的教学结束后，勤写教学后记，这种记载不必面面俱到，抓住主要问题即可；教师之间可以相互听课观摩并相互指出优点、缺点，提出改进的方法和建议，更为重要的是，教师要对自己在教学中遇到的问题调查研究，由反思来改善自己的教学实践，并形成一种有意识地进行调查研究的良好习惯。
树立终身学习的意识，保持开放的心态，把学校视为自己学习的场所，在实践中学习，不断对自己的教育教学进行研究、反思，对自己的知识与经验进行重组，在富时代精神和科学性的教育理念指导下发展自己的教育能力和研究能力，在实践中凝聚生成教育智慧，那么就能够不断地成长和发展，成为一位理想的教师。