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摘要：波利亚解题策略作为学习数学过程中的一个必要的技能，在数学解题的应用中有着较高的价值，占非常重要的地位。所以在教學实践过程中向学生传授波利亚解题策略，可以有效地提高学生看待数学问题的眼光和思维方式，帮助学生们用该策略分析并解决问题。因此，本文以一道二元一次方程组为例，深入探讨波利亚解题策略的具体应用，探寻教师应如何引导学生应用波利亚解题策略。
关键词：波利亚解题策略;二元一次方程;数学教学
一、研究背景
罗增儒先生认为，数学学习中真正发生数学的地方都无例外地充满着数学解题活动[1]。新课标中指出，要“培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力”[2]。因此学生学会解决问题是学习的重要任务，而让学生学会解题则是教师数学的重中之重。波利亚的“怎样解题”中有四个阶段——“理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思”在解题的教与学中都有着详细的解释帮助我们有效的运用，它为我们解决问题提供了能广泛使用的一个模型和方法，可以帮助学生先宏观地抓住问题的关键点，再一步步深入问题不断提出问题，得出结论，直至得到问题的答案，从而提升数学解题能力。
笔者基于波利亚的“怎样解题”的四个阶段理论，以一道二元一次方程组的应用为例，来具体阐述如何在实际问题中提高学生的解题能力。
二、教学实例
题：杨梅圆篮每篮8斤，售价160元;方篮每篮18斤，售价270元。这两种打包方式恰好全部装完1000斤杨梅，并且销售总收入为16760元。若这批杨梅全部售完，请问圆篮包装了多少篮，方篮多少篮？
1.理解题目
教师要带领学生认真阅读题目或材料中的重要信息，第一遍读题时需要逐句阅读，找出题目中的关键语句、关键词，从而明确问题中的已知量、未知量和所给的条件，获取与已知条件相关的一切信息，再将各个有关信息尝试着进行信息重组，明确题目的问题类型，找到方法[3]。
活动一：
问题是什么？答：求圆篮和方篮各多少篮。
未知量是什么？答：未知量设圆篮为X篮、方篮为Y篮。
已知条件是什么？答：各篮水果的售价及总重量。
2.拟定方案
这是波利亚解题策略中一个非常重要的环节，也是整个解题过程中最为重要的一个步骤，需要学生从理解的题目中中找到已知量、待解的未知量之间的关系，使实际问题抽象化、具体化，从而转化为数学语言进行下一个步骤。而在这个过程中，学生会遇到两种情景：针对熟悉的或者是见过的题型，学生可以借助已有的经验直接抓关键点入手;而对于不熟悉的部分，则需要更加仔细的审题，从问题入手，一步一步往前推导，为解决问题需要先解决什么，题目中有哪些信息，还需要求解出什么即可，一步步将不熟悉的数学问题转换为学生容易理解的问题，从而达到培养数学思维、提高解题能力的目的[3]。
活动二：假设圆篮为X篮、方篮为Y篮，则利用圆篮篮8斤，方篮每篮18斤，总重量为1000斤构造第一个二元一次方程。答：;
圆篮每篮160元，方篮每篮270元，总售价为16760构造第二个二元一次方程。答：
最后求解即可。
3.执行方案
执行方案即按照之前拟定的方案进行实施步骤，本节活动是方案的具体执行步骤，故可看出只要有清晰的思路，在第二个环节认真思考，进行适当的预算，在这个环节即可信手拈来。但是在前面的拟定方案阶段，有些学生的思路是由教师引导进行的，学生自身的思考是碎片化的，零散的，不清晰的[3]。故教师的任务不止是引导学生解题，更应该引导学生有独立思考的习惯，在面对陌生问题时如何转换为自己熟悉的问题，只有学生独立执行该方案时，得出自己严谨、完整的思考过程，才能对如何解题有更深一步的见解[3]。
活动三：假设杨梅全部售出，共包装圆篮为X篮，方篮为Y篮
由题意得，不难解得，
答：若全部售完这一批杨梅，共包装了44篮圆篮，36篮方篮。
4.回顾反思
万事万物都需要“悟”，而“悟”也可称为“反思”。反思是整个解题过程中不可或缺的一部分，但又往往被忽略掉其重要性。整个解题过程中，是如何理解题意，如何分析问题，如何由问题想到解决方案的，还有没有其他解决问题的途径？通过这样一系列的反思，可以加深自己对问题的理解，对解答过程的进一步熟悉，对同种问题的深入思考与研究。
三、变式练习
在上述条件下，问题：若杨梅大户留下b（b>0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值。
1.理解题目
活动四：问题是什么？答：求留下多少篮圆篮准备送人？
未知量是什么？答：设卖出的圆篮和方篮数，及留下送人的圆篮数。
已知条件是什么？答：各篮水果的售价及总重量
2.拟定方案
活动五：根据题意，留下b篮送圆篮人，其余全部售完，即总篮数分为三部分，分别是卖出的圆篮、卖出的方篮和剩下送人的圆篮b。于是按照上面的步骤，同样可以列出含参数b的一个二元一次方程组。
3.执行方案
活动六：杨梅全部售出，则假设共售出圆篮为m篮，方篮为n篮。
由题意得，解得
因为m、n、b均为正整数，故b可能的值为9或16。
答：b可能为9或16
回顾反思
整个解题过程清晰直观，结果带入原方程符合条件，故答案正确。此变式训练相对上一题而言难度有所增加，第一是读题后需要理解，第二则是同学们列完式子以后容易误以为此题为一个三元一次方程组，针对这个问题，同学们一定要重点理解到未知数与参数的区别，此题中b是参数，只有m和n为未知数，在求解时只需要把b当作一个常数即可，为保证m与n均为整数，所以只需保证b为9的倍数即可。此题的解答及检验就告一段落，答题完毕。
四、结束语
二元一次方程的的应用问题在每年各类考试中，稍难一点的题型学生整体的得分率都不高，这是学生学习的难点，也是教学的重难点。波利亚“怎样解题”理论的优势在于解题的逻辑性强，在数学解题中给出了极有效的教学指导，教师教学过程中引导学生理解与分析问题，并尝试以学生视角来看待数学题目，帮助学生自主领悟出问题的解决之道，同时还要对同类型的题目进行总结归纳，以最优化的方式解决问题。这可以帮助学生学会独特的数学思维，养成良好的数学解题习惯。
参考文献
安振平.数学变形计——探寻简捷有效的数学解题法[J].求学，2017（38）：40-42.
教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社.2012.
崔宁宁.波利亚解题理论在数学教学中的应用——以“不等式的应用”为例[J].初中数学教与学，2020（04）：28-30.
作者：王庆渝 1997年 男 汉族 重庆人 研究生学历 学生
关键词：波利亚解题策略;二元一次方程;数学教学
一、研究背景
罗增儒先生认为，数学学习中真正发生数学的地方都无例外地充满着数学解题活动[1]。新课标中指出，要“培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力”[2]。因此学生学会解决问题是学习的重要任务，而让学生学会解题则是教师数学的重中之重。波利亚的“怎样解题”中有四个阶段——“理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思”在解题的教与学中都有着详细的解释帮助我们有效的运用，它为我们解决问题提供了能广泛使用的一个模型和方法，可以帮助学生先宏观地抓住问题的关键点，再一步步深入问题不断提出问题，得出结论，直至得到问题的答案，从而提升数学解题能力。
笔者基于波利亚的“怎样解题”的四个阶段理论，以一道二元一次方程组的应用为例，来具体阐述如何在实际问题中提高学生的解题能力。
二、教学实例
题：杨梅圆篮每篮8斤，售价160元;方篮每篮18斤，售价270元。这两种打包方式恰好全部装完1000斤杨梅，并且销售总收入为16760元。若这批杨梅全部售完，请问圆篮包装了多少篮，方篮多少篮？
1.理解题目
教师要带领学生认真阅读题目或材料中的重要信息，第一遍读题时需要逐句阅读，找出题目中的关键语句、关键词，从而明确问题中的已知量、未知量和所给的条件，获取与已知条件相关的一切信息，再将各个有关信息尝试着进行信息重组，明确题目的问题类型，找到方法[3]。
活动一：
问题是什么？答：求圆篮和方篮各多少篮。
未知量是什么？答：未知量设圆篮为X篮、方篮为Y篮。
已知条件是什么？答：各篮水果的售价及总重量。
2.拟定方案
这是波利亚解题策略中一个非常重要的环节，也是整个解题过程中最为重要的一个步骤，需要学生从理解的题目中中找到已知量、待解的未知量之间的关系，使实际问题抽象化、具体化，从而转化为数学语言进行下一个步骤。而在这个过程中，学生会遇到两种情景：针对熟悉的或者是见过的题型，学生可以借助已有的经验直接抓关键点入手;而对于不熟悉的部分，则需要更加仔细的审题，从问题入手，一步一步往前推导，为解决问题需要先解决什么，题目中有哪些信息，还需要求解出什么即可，一步步将不熟悉的数学问题转换为学生容易理解的问题，从而达到培养数学思维、提高解题能力的目的[3]。
活动二：假设圆篮为X篮、方篮为Y篮，则利用圆篮篮8斤，方篮每篮18斤，总重量为1000斤构造第一个二元一次方程。答：;
圆篮每篮160元，方篮每篮270元，总售价为16760构造第二个二元一次方程。答：
最后求解即可。
3.执行方案
执行方案即按照之前拟定的方案进行实施步骤，本节活动是方案的具体执行步骤，故可看出只要有清晰的思路，在第二个环节认真思考，进行适当的预算，在这个环节即可信手拈来。但是在前面的拟定方案阶段，有些学生的思路是由教师引导进行的，学生自身的思考是碎片化的，零散的，不清晰的[3]。故教师的任务不止是引导学生解题，更应该引导学生有独立思考的习惯，在面对陌生问题时如何转换为自己熟悉的问题，只有学生独立执行该方案时，得出自己严谨、完整的思考过程，才能对如何解题有更深一步的见解[3]。
活动三：假设杨梅全部售出，共包装圆篮为X篮，方篮为Y篮
由题意得，不难解得，
答：若全部售完这一批杨梅，共包装了44篮圆篮，36篮方篮。
4.回顾反思
万事万物都需要“悟”，而“悟”也可称为“反思”。反思是整个解题过程中不可或缺的一部分，但又往往被忽略掉其重要性。整个解题过程中，是如何理解题意，如何分析问题，如何由问题想到解决方案的，还有没有其他解决问题的途径？通过这样一系列的反思，可以加深自己对问题的理解，对解答过程的进一步熟悉，对同种问题的深入思考与研究。
三、变式练习
在上述条件下，问题：若杨梅大户留下b（b>0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值。
1.理解题目
活动四：问题是什么？答：求留下多少篮圆篮准备送人？
未知量是什么？答：设卖出的圆篮和方篮数，及留下送人的圆篮数。
已知条件是什么？答：各篮水果的售价及总重量
2.拟定方案
活动五：根据题意，留下b篮送圆篮人，其余全部售完，即总篮数分为三部分，分别是卖出的圆篮、卖出的方篮和剩下送人的圆篮b。于是按照上面的步骤，同样可以列出含参数b的一个二元一次方程组。
3.执行方案
活动六：杨梅全部售出，则假设共售出圆篮为m篮，方篮为n篮。
由题意得，解得
因为m、n、b均为正整数，故b可能的值为9或16。
答：b可能为9或16
回顾反思
整个解题过程清晰直观，结果带入原方程符合条件，故答案正确。此变式训练相对上一题而言难度有所增加，第一是读题后需要理解，第二则是同学们列完式子以后容易误以为此题为一个三元一次方程组，针对这个问题，同学们一定要重点理解到未知数与参数的区别，此题中b是参数，只有m和n为未知数，在求解时只需要把b当作一个常数即可，为保证m与n均为整数，所以只需保证b为9的倍数即可。此题的解答及检验就告一段落，答题完毕。
四、结束语
二元一次方程的的应用问题在每年各类考试中，稍难一点的题型学生整体的得分率都不高，这是学生学习的难点，也是教学的重难点。波利亚“怎样解题”理论的优势在于解题的逻辑性强，在数学解题中给出了极有效的教学指导，教师教学过程中引导学生理解与分析问题，并尝试以学生视角来看待数学题目，帮助学生自主领悟出问题的解决之道，同时还要对同类型的题目进行总结归纳，以最优化的方式解决问题。这可以帮助学生学会独特的数学思维，养成良好的数学解题习惯。
参考文献
安振平.数学变形计——探寻简捷有效的数学解题法[J].求学，2017（38）：40-42.
教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社.2012.
崔宁宁.波利亚解题理论在数学教学中的应用——以“不等式的应用”为例[J].初中数学教与学，2020（04）：28-30.
作者：王庆渝 1997年 男 汉族 重庆人 研究生学历 学生