摘要：本节课研究的问题是：确定直线位置的两个几何要素（两点、点与方向），通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示，如何用一个代数的量来刻画直线的倾斜程度？本节课是平面解析几何的入门课，教学顺序先从代数的角度（斜率）刻画直线的倾斜程度，用意是突出用代数方法研究几何问题的思想.
　　关键词：直线；倾斜程度；斜率；数形结合；平面解析几何
　　2016年6月笔者与另一老师同课异构《直线的斜率》（第一课时），之前通过多次打磨，但真正上过后还是留有遗憾。2017年5月，当笔者有幸再次听到此节课时，不禁感慨：一年春光去，且将樱笋饯春归，人生无可奈何之事实太多，就如李后主《相见欢》中所言：“林花谢了春红，太匆匆。无奈朝来寒雨晚来风，自是人生长恨水长东。”笔者感叹时间过得太快，感叹当时没有及时整理“留有的遗憾”，所以笔者决定重温此课，记录几点想法和反思。
　　本篇所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修二）》（苏教版），“2.1直线与方程”是解析几何的开篇之作，而“2.1.1直线的斜率”又是这一章的第一节，内容基础，方法重要，为后续内容的学习奠定基础，起到启下的作用。教材中用增量刻画直线斜率，将微积分思想融入其中。正所谓章节起始课要能引导学生关注到整章知识框架，起到“一叶知秋”的效果。而作为解析几何的起始课，应向学生交代解析几何的相关背景，树立解析几何的基本观点，了解解析几何的基本方法，使学生能逐步迈入这一新的章节。
　　曾听一特级教师说过：作为学习活动的组织者，我们应把关注焦点放在每位学生的认知活动与情感体验上，要有效组织学生的学习活动，而不是把正确传递或展示知识作为自己的首要。所以教学设计要以学生发展为主，以指导学习，回答疑问为主。所以一节课应该呈现的模式是“学生主导课堂，问题驱动教学”。
　　一、 问题驱动教学
　　我们知道概念课教学要“慢”，而本节课的概念生成尤其要“慢”。
　　课堂再现：问题1：怎样确定一条直线？
　　问题2：若直线过一个定点，要确定直线还要增加什么条件？
　　问题3：上图中，过同一点A但方向不同的两条直线AB，AC相对于水平线AX直观上有何差异？（我们这节课要解决的核心问题就是如何用量去刻画直线的倾斜程度？）
　　问题4：生活中有涉及倾斜程度的例子吗？请你举出一些。
　　问题5：根据上述的讨论，你打算怎样刻画由A，B两点确定的直线的倾斜程度呢？
　　思考1直线与x轴的相对位置只有这一种情况吗？
　　预设：
　　思考2若交换A，B两点的次序，会改变这个比值的大小吗？为什么？
　　思考3如果改变A，B两点的位置，会改变这个比值的大小吗？为什么？
　　教师设置了五个问题以及三个思考，问题1-4通过让学生对形和生活中实例的分析来明确确定直线位置的几何要素还可以是一点和方向。问题5的设置引导学生观察研究发现用一个比值来刻画直线的倾斜程度。这里的y2-y1，x2-x1可以分别看成是从A点到B点纵坐标与横坐标通过类比，知道可以用“坡度”来刻画直线的倾斜程度。思考1-3通过让学生对直线与x轴的相对位置关系的分类讨论，感知y2-y1x2-x1可以刻画与x轴不垂直的直线的倾斜程度。明确知道这一比值是个定值，从而建立直线斜率的概念。利用类比的方法得出直线的倾斜程度可以用一个代数式y2-y1x2-x1来刻画。从而达成教学目标（教師从情境引入到概念得出一共花了35分钟左右，这足够体现概念生成的“慢”）。
　　二、 学生主导课堂及跟进措施
　　根据《直线的斜率》这节课上课流程以及学生上课的反应，课堂再现如下：
　　目标1：通过过一点作直线，探索确定直线位置关系的几何要素；
　　该目标的意图是实现课标中“探索确定直线位置的几何要素”；为了达到该目标设计了问题2，学生能迅速找出“再需要一个点”这个条件，但在找表示倾斜程度这个条件时产生了困难，有部分学生想到“再找一个角”。从课堂反应来看达到预设目标，顺利地过渡到下面的“探究数表示形”。
　　可以改善的地方：可以将问题改为“通过过一点作直线，如何区分这些直线”，这样可能让学生在解决这个问题时更有方向性。
　　目标2：通过类比刻画点，初步感悟从数的角度刻画几何要素的数学思想；
　　该目标的意图是实现课标中“经历用代数方法刻画直线斜率的过程”；为了达到该目标设计了一个问题：点可以用坐标刻画，那么“倾斜程度”用什么刻画？你能用一个数来刻画直线的倾斜程度吗？。本阶段提问了一个学生，该学生在老师的引导下，能立刻想到建立直角坐标系，尝试用解析的思想解决该问题。从课堂反应来看达到预设目标，学生在这里会遇到思维受阻的情况，在老师的预料之中，从而为引入问题5做准备。可以改善的地方：可以适当地再给学生一点时间。
　　目标3：通过探究与活动，经历并体会类比坡度，经历用代数的方法刻画直线倾斜程度的过程；
　　该目标的意图是实现课标中“经历用代数方法刻画直线斜率的过程”；为了达到该目标设计了问题5：“你打算如何刻画直线的倾斜程度？”本阶段学生提出找两个点，然后表示这两个点的坐标，再转化成长度，求出该角的正切。学生在证明“在直线上任取两点，
　　y2-y1x2-x1的值不变”有一点困难。从课堂反应来看达到预设目标，学生类比坡度表示斜率比较顺畅。可以改善的地方：引入小组讨论的方式比较好，通过同学之间的互相协助“比”学生个体思考效果要好。
　　目标4：通过自主探究，深化对直线斜率的认识；
　　该目标的意图是实现课标中“理解直线斜率的概念”；为了达到该目标设计了一个问题：你对直线的斜率有什么认识？
　　（1）斜率是什么？是一个数，是用数来刻画直线的倾斜程度？ 　　（2）是否所有直线都存在斜率？
　　（3）如果倾斜程度的角是钝角，用比值来表示斜率，并不矛盾，是一个负值，倾斜程度是从左往右不断下降？
　　本阶段教师提问了好几位同学，学生能发现x2≠x1，且当x2=x1时，直线是垂直于x轴的；当y2-y1x2-x1取正数和负数时表示的是不同形状的直线。学生已经初步感受到“数表示形，数的几何背景”。可以改善的地方：教师在这里应该加强板书，且规范板书，让学生明白本节课的重点、难点。
　　目标5：通过计算和画图，掌握直线斜率的计算公式，体验直线的斜率与倾斜程度之间的关系；
　　该目标的意图是实现课标中“掌握过两点的直线斜率的计算公式”；为了达到该目标设计了例1：根据图像，你有什么发现？本阶段教师安排了一个学生画图，另一个学生计算。一个有意思的现象：其中一个学生计算出错后，看到另一个同学画的图，发现自己错了，然后立刻改正了自己的错误。
　　从课堂反应来看达到预设目标，学生能结合数感受图像的情况，初步建立了数和形之间的某种对应关系。学生之所以有这种想法，与教师前面的引导是分不开的，正是教师在前面要求学生思考问题5，认识到不同的数刻画了不同的形。这是本节课中一大闪光点。可以改善的地方：可以追问学生，你怎么想到改正自己的错误的，借学生之口，说出数形之间的联系，可能会更深刻。
　　目标6：通过计算和画图，能由直线的斜率和直线上一点确定直線上的其他点，画出直线；
　　该目标的意图是实现课标中“掌握过两点的直线斜率的计算公式”；为了达到该目标设计了例2。本阶段由两位学生上黑板画图，学生能迅速找到另一点画出图像。可以改善的地方：可追问学生为什么找这个点？找其他的点可以不可以？怎样更迅速地找到这个点，以加深对斜率公式的理解。
　　在整个教学过程中，学生的主导地位发挥到极致，教师用问题做引导，学生自发参与课堂互动，启发学生不断思考，质疑，由坡度类比刻画直线的倾斜程度，再质疑如何刻画？从而引出直角坐标系，让学生亲身体会数形结合的必要性。最后引导学生去进行思考1，2，3，这是本节课学生参与度最高的一个环节，此处安排小组讨论，每组代表发言，大胆放手让学生们自己说，教师此时的作用是结论的规范化引导与归纳。正如一智者说过：数学概念课上，要花时间培养学生的基本能力，可以多问一些问题，存疑可以让学生更愿意继续学下去。
　　三、 课后反思
　　（1）在平面解析几何中，教学要体现其“方法论”的特征，即用代数的方法研究几何问题，例如直线的斜率是一个数，这个数的符号在图形中，反映的是这条直线的从左往右的变化趋势，数的大小也反映了直线的陡峭程度。
　　（2）本节课的教学流程应体现本章的分析问题的一般方法
　　教学流程为：
　　学生经历从形的角度和数的角度对位置关系进行研究，课本在强调运用解析几何的方法研究它们一般思路的同时，也强调了两种角度的结合，让学生在这样的过程中，不断地体会分类讨论和“数形结合”的思想方法。
　　参考文献：
　　[1]周义仓.数学建模实验[M].西安：西安交通大学出版社，1997.
　　[2]丁益明.引导学生进行反思整理的实践与思考[J].中学数学研究，2016（8）.
　　作者简介：李亚琼，江苏省南京市，南京艺术学院附属中等艺术学校。