论文部分内容阅读
现代教学理论认为，课堂教学不仅要给学生传授知识，还要引导学生掌握获取知识的方法。因此，教师在教学中的主导作用是体现在指导学生探求知识的方向，使学生逐步掌握学习方法。笔者在几年小学毕业班数学教学实践中，深刻认识到：分数、百分数、工程问题，是小学生最难理解和难于掌握的内容，而这三种内容的应用题又是小学生更难的，而又必须掌握的知识之一。而单位“1”好比是解答这难题的一把金钥匙，利用得当可帮助学生理解题意、掌握解题思路、发展思维，提高学生解题能力和技巧，可起到事半功倍的作用。因此，教师在教学中引导学生掌握单位“1”的运用方法很有必要。
首先要让学生认清单位“1”，它不同于自然数中的“1”，它可表示数字“1”，更重要的是它在分数、百分数、工程问题应用题中表示“一个单位、一个整体”，这在教学中就叫单位“1”或“整体1”。故单位“1”可表示“一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件”等。所有单位“1”的量叫标准量，与它相比的叫比较量，在解答应用题时，如单位“1”的量已知，就用单位“1”的量乘以所求量对应的分率；如求单位“1”的量，就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位“1”计算方法固定，故只要选好单位“1”，就可知计算方法，这就解决了学生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位“1”一般以“总量、不变量、两者相比的后项、几分之几的对象”为单位“1”。下面谈谈单位“1”的运用。
一、单位“1”在分数应用题中的运用
这类应用题一般把总量看作单位“1”。
例（1）：一堆煤有50吨，用去后，还剩多少吨？
分析：本题应把总量一堆煤看作单位“1”，用去的单位“1”的3/5，剩下的占单位“1”的（1-3/5）（剩下量对应分率），由于单位“1”量已知而用乘法，求剩下量列式为：50×（1-3/5）。
例（2）：一堆煤，第一次运走总吨数的1/3，第二次运走总吨数的1/4，还剩65吨没运，求这堆煤有多少吨？
分析：本题与例（1）一样把总量看作单位“1”，剩下的占单位“1”的（1-1/3-1/4），但这题求单位“1”的量而用除法，列式为：65÷（1-1/3-1/4）＝156吨。
由上两例可知：当总量变化时，单位“1”在解题过程中起了关键作用。但当总量不变，总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢？
例（3）：甲乙两粮仓，甲仓存量吨数是乙仓的5倍，如从甲仓运出628吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的5倍，甲仓原有存粮多少吨？
分析：这题应把两仓总存粮数看作单位“1”，由于甲乙两仓存粮数前后发生变化，原来甲占两仓总量的5/(1+5)，后来甲占两仓总量的1/(1+5)，则原甲比后甲多的628吨的对应分率是（5/6-1/6）。故总量是628÷（5/6-1/6），而原甲仓存粮为628÷（5/6-1/6）×5/6。因此，当总量不变，而分量都变化，还是用单位“1”，解题可起简便思路的作用。
如总量变，分量里有种变、有种不变的题呢？同样可用单位“1”法求解。
例（4）：甲乙两人共储蓄人民币315元，甲储蓄的钱数占两人总数的7/8，甲取出一部分存款支援“希望工程”后，这时甲占两人总储量的5/11，这时甲乙两人储蓄总量是多少元？
分析：本题与上题比，仍把总量看作单位“1”，但原来和现在“1”表示的量是不同的，而乙在总量变化时自身不变，故应以乙占前后单位“1”的差，求出后来两人总量。原来甲占7/8，乙占（1-7/8），乙有钱315×（1-7/8）；后来甲占5/11，乙占（1-5/11），即后来两人储蓄总量的（1-5/11），是315×（1-7/8）÷（1-5/11）。于是可见，总量变化，同样可用单位“1”来求解，同样单位“1”起了解题中的桥梁作用。
二、单位“1”在“比类”应用题中的运用
这类应用题，一般先弄清是“谁比谁”，把“后者”看作单位“1”的量。
1、“份数比”类应用题
例（1）：某工厂四月份烧煤120吨，比原计划节约了1/9，四月份原计划烧煤多少吨？
分析：本题是实际烧煤量与计划量相比，故应把计划烧煤量看作单位“1”，则实际烧煤量相当于计划量的（1－1/9），求计划量可列式为120÷（1－1/9）＝135（吨），因此，单位“1”在份数比类应用题中起关键作用。
2、“差比”类应用题也可用单位“1”求解
例（1）：甲数是40，乙数是80。①求甲比乙多几分之几？②求乙比甲比少几分之几？
这类应用题可用公式“相差量÷标准量”，但上题①、②问的标准量发生变化，而计算结果不同。①（80－40）÷80＝1/2；②（80－40）÷40＝1。由上可知，单位“1”在“差比”类分数应用题解答中起了关键性的作用。
3、“倍比”类分数应用题同样可用单位“1”求解
例（1）：某校54人参加奥林匹克学校数学班学习，非录取学生人数比录取学生数的5/2倍还多12人，问这所学校有几个被录取？
分析：本题应把被录取人数看作单位“1”，如非录取学生人数减少12人，则非录取人数刚好是录取人数的5/2倍，则总人数少12人后的人数对应的分率是1+5/2，求录取学生人数列式为：（54-12）÷（1+5/2）。这类应用题关键是把“比类”转换成“一量是另一量的倍数”，再利用单位“1”求解。因此，单位“1”在“倍比”类应用题解答中起了简便思路和计算过程的关键作用。
三、单位“1”在百分数应用题中的运用
单位“1”在百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分数转换成分数，就成了分数应用题。
四、单位“1”在“工程问题”中的运用
分数工程应用题同整数工程问题一样，都可以工作总量作单位“1”。工作总量可以是“一段路，一件工程，一块地，一批物件”等。
例（1）：一段公路，甲队单独修要12天，乙队单独修要15天。甲队先单独修3天后，再两队合修要几天？
分析：本题应把这段路工作总看作单位“1”，甲队每天完成单位“1”的1/12，乙每天完成单位“1”的1/15。甲先修3天，则已修1/12×3，这时剩下这段路的1-1/12×3。两队合修一天可完成这段路的（1/12+1/15），合修天数为：（1-1/12×3）÷（1/12+1/15）＝5（天），解这题时，把这段路看作单位“1”起了关键作用。如用整数工程问题求解，由于不知工作总量而不能求解。
例（2）：有大小两只木船，大船可以载重6.3吨，小船的载重量是大船的2/7，大船8次运完的货物，小船几次才能运完？
本题用整数、小数应用题方法解可列式为：6.3×8÷（6.3×2/7）＝28（次）。如用单位“1”法求解，则把大船8次运的货物看作单位“1”，大船每次运单位“1”的1/8，小船每次运单位“1”的1/8×2/7，故小船运完这批货的次数为：1÷（1/8×2/7）＝28（次）。当以大船每次载重量看作单位“1”时，则这批货物总量有8个单位“1”。小船每次载重量是单位“1”的2/7，求小船运的次数就是8里面有多少个2/7，列式为：8÷2/7＝28（次）。由上可知，用单位“1”的方法求解比整数、小数法简便些。
由上面的论证可知，单位“1”在小学分数、百分数、工程问题的应用题解答过程中，起了既简便运算方法、过程，又便于学生掌握解题思路的关键作用。因此，教学时，教会学生熟练利用单位“1”，对加强学生解题能力和技巧，提高教学质量，可起事半功倍的作用。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
首先要让学生认清单位“1”，它不同于自然数中的“1”，它可表示数字“1”，更重要的是它在分数、百分数、工程问题应用题中表示“一个单位、一个整体”，这在教学中就叫单位“1”或“整体1”。故单位“1”可表示“一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件”等。所有单位“1”的量叫标准量，与它相比的叫比较量，在解答应用题时，如单位“1”的量已知，就用单位“1”的量乘以所求量对应的分率；如求单位“1”的量，就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位“1”计算方法固定，故只要选好单位“1”，就可知计算方法，这就解决了学生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位“1”一般以“总量、不变量、两者相比的后项、几分之几的对象”为单位“1”。下面谈谈单位“1”的运用。
一、单位“1”在分数应用题中的运用
这类应用题一般把总量看作单位“1”。
例（1）：一堆煤有50吨，用去后，还剩多少吨？
分析：本题应把总量一堆煤看作单位“1”，用去的单位“1”的3/5，剩下的占单位“1”的（1-3/5）（剩下量对应分率），由于单位“1”量已知而用乘法，求剩下量列式为：50×（1-3/5）。
例（2）：一堆煤，第一次运走总吨数的1/3，第二次运走总吨数的1/4，还剩65吨没运，求这堆煤有多少吨？
分析：本题与例（1）一样把总量看作单位“1”，剩下的占单位“1”的（1-1/3-1/4），但这题求单位“1”的量而用除法，列式为：65÷（1-1/3-1/4）＝156吨。
由上两例可知：当总量变化时，单位“1”在解题过程中起了关键作用。但当总量不变，总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢？
例（3）：甲乙两粮仓，甲仓存量吨数是乙仓的5倍，如从甲仓运出628吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的5倍，甲仓原有存粮多少吨？
分析：这题应把两仓总存粮数看作单位“1”，由于甲乙两仓存粮数前后发生变化，原来甲占两仓总量的5/(1+5)，后来甲占两仓总量的1/(1+5)，则原甲比后甲多的628吨的对应分率是（5/6-1/6）。故总量是628÷（5/6-1/6），而原甲仓存粮为628÷（5/6-1/6）×5/6。因此，当总量不变，而分量都变化，还是用单位“1”，解题可起简便思路的作用。
如总量变，分量里有种变、有种不变的题呢？同样可用单位“1”法求解。
例（4）：甲乙两人共储蓄人民币315元，甲储蓄的钱数占两人总数的7/8，甲取出一部分存款支援“希望工程”后，这时甲占两人总储量的5/11，这时甲乙两人储蓄总量是多少元？
分析：本题与上题比，仍把总量看作单位“1”，但原来和现在“1”表示的量是不同的，而乙在总量变化时自身不变，故应以乙占前后单位“1”的差，求出后来两人总量。原来甲占7/8，乙占（1-7/8），乙有钱315×（1-7/8）；后来甲占5/11，乙占（1-5/11），即后来两人储蓄总量的（1-5/11），是315×（1-7/8）÷（1-5/11）。于是可见，总量变化，同样可用单位“1”来求解，同样单位“1”起了解题中的桥梁作用。
二、单位“1”在“比类”应用题中的运用
这类应用题，一般先弄清是“谁比谁”，把“后者”看作单位“1”的量。
1、“份数比”类应用题
例（1）：某工厂四月份烧煤120吨，比原计划节约了1/9，四月份原计划烧煤多少吨？
分析：本题是实际烧煤量与计划量相比，故应把计划烧煤量看作单位“1”，则实际烧煤量相当于计划量的（1－1/9），求计划量可列式为120÷（1－1/9）＝135（吨），因此，单位“1”在份数比类应用题中起关键作用。
2、“差比”类应用题也可用单位“1”求解
例（1）：甲数是40，乙数是80。①求甲比乙多几分之几？②求乙比甲比少几分之几？
这类应用题可用公式“相差量÷标准量”，但上题①、②问的标准量发生变化，而计算结果不同。①（80－40）÷80＝1/2；②（80－40）÷40＝1。由上可知，单位“1”在“差比”类分数应用题解答中起了关键性的作用。
3、“倍比”类分数应用题同样可用单位“1”求解
例（1）：某校54人参加奥林匹克学校数学班学习，非录取学生人数比录取学生数的5/2倍还多12人，问这所学校有几个被录取？
分析：本题应把被录取人数看作单位“1”，如非录取学生人数减少12人，则非录取人数刚好是录取人数的5/2倍，则总人数少12人后的人数对应的分率是1+5/2，求录取学生人数列式为：（54-12）÷（1+5/2）。这类应用题关键是把“比类”转换成“一量是另一量的倍数”，再利用单位“1”求解。因此，单位“1”在“倍比”类应用题解答中起了简便思路和计算过程的关键作用。
三、单位“1”在百分数应用题中的运用
单位“1”在百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分数转换成分数，就成了分数应用题。
四、单位“1”在“工程问题”中的运用
分数工程应用题同整数工程问题一样，都可以工作总量作单位“1”。工作总量可以是“一段路，一件工程，一块地，一批物件”等。
例（1）：一段公路，甲队单独修要12天，乙队单独修要15天。甲队先单独修3天后，再两队合修要几天？
分析：本题应把这段路工作总看作单位“1”，甲队每天完成单位“1”的1/12，乙每天完成单位“1”的1/15。甲先修3天，则已修1/12×3，这时剩下这段路的1-1/12×3。两队合修一天可完成这段路的（1/12+1/15），合修天数为：（1-1/12×3）÷（1/12+1/15）＝5（天），解这题时，把这段路看作单位“1”起了关键作用。如用整数工程问题求解，由于不知工作总量而不能求解。
例（2）：有大小两只木船，大船可以载重6.3吨，小船的载重量是大船的2/7，大船8次运完的货物，小船几次才能运完？
本题用整数、小数应用题方法解可列式为：6.3×8÷（6.3×2/7）＝28（次）。如用单位“1”法求解，则把大船8次运的货物看作单位“1”，大船每次运单位“1”的1/8，小船每次运单位“1”的1/8×2/7，故小船运完这批货的次数为：1÷（1/8×2/7）＝28（次）。当以大船每次载重量看作单位“1”时，则这批货物总量有8个单位“1”。小船每次载重量是单位“1”的2/7，求小船运的次数就是8里面有多少个2/7，列式为：8÷2/7＝28（次）。由上可知，用单位“1”的方法求解比整数、小数法简便些。
由上面的论证可知，单位“1”在小学分数、百分数、工程问题的应用题解答过程中，起了既简便运算方法、过程，又便于学生掌握解题思路的关键作用。因此，教学时，教会学生熟练利用单位“1”，对加强学生解题能力和技巧，提高教学质量，可起事半功倍的作用。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”