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古有“文房四宝”——笔、墨、纸、砚，今有“几何四宝”——直尺、量角器、圆规、三角板。其中，三角板用途最为广泛。一副三角板由两种不同规格组合而成，一种是等腰直角三角板，它有两个角是45度，还有一个角是90度，三边比为1 ：1 ：；另一种是有一个角是30度的直角三角板，它是由一个30度、一个90度和一个60度的三个不同的角组成的，三边比是1：：2。
一副三角板可单独使用，可合作使用，也可多副并用，它作为数学模具，给我们的数学课堂注入了新的活力，更能给予学生一个“完整的数学”，有助于培养学生善于操作、善于探究的习惯，培养学生“用数学”的意识，正如大诗人陆游所说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”而在日常学习中，学生对这副很早接触、使用率颇高的三角板，对其中蕴藏的丰富的数学知识、蕴含的有趣的数学运用，却往往疏于发现。下面，我结合实例来展示三角板的“多才多艺”，供大家参考：
一、运用三角板拼角
例1：用一副三角板可以拼成小于平角的角 个。
析解：一副三角板中共有30°、45°、60°、90°四种角度，所以可以拼成15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°十个角。
例2：（06吉林）把一副三角板如图（1）方式放置，则两条斜边所形成的钝角=度。
析解：连续运用三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可得∠=165°。
二、运用三角板拼图
例3： 用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形的个数为（）。
（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个
析解：如图（2），用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形为两个一般平行四边形、一个矩形和一个凸四边形,故选（D）。
三、运用三角板证明
例4：今有四块完全相同的直角三角板，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。请利用这四块直角三角板拼成一个图形，并利用拼成的图形证明勾股定理。
析解：本题主要考查学生动手拼图能力和图形的面积求解。
拼图如图（3）、如图（4）、如图（5）所示。下面以图（3）为例给出一种证明。
易证四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，所以，
所以（a+b），所以a即a。
四、运用三角板画图
例5：请利用三角板作∠AOB的平分线，如图（6）。
析解：在∠AOB的两边上，分别利用三角板的测量功能截取线段OM=ON；再利用它的直角，分别过点M、N作两边的垂线，相交于点P，连结OP并延长，则射线OP就是∠AOB的平分线。
五、运用三角板计算
例6：（04湖北荆门）将一副三角板如图（7）摆放在一起，连接AD，试求∠ADB的余切值。
析解：尽管题中没有提供边与角的具体数据，但是一副三角板摆放成的几何图形隐含着许多特殊角。为解直角三角形问题铺平了道路。过点A作DB的延长线的垂线AE，垂足为E，
在等腰Rt△BDC中，∠1=45°，设BD=DC=1,即BC=。在Rt△ABC中，∠4=30°，则AB=BC·tan30°=·。在Rt△AEB中，∠2=180°-（∠1+∠3）=45°，则EB=EA=AB·sin45°=。在Rt△ADE中，DE=BD+EB，则cot∠ADB=。
六、运用三角板识别
例7：（06长春）将直尺与三角板按如图（8）所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角。
析解：充分运用三角板90°角的特性及直尺对边平行的性质来突破。与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4。
七、运用三角板滑动
例8：（03浙江绍兴）如图（9），已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与边OA,OB交于C,D。
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=,求△POD与△PDG的面积之比。
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，一直角边与边OB交于点D，OD=1,另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E,使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长。
析解：这是一道考查学生综合能力的题目，集滑动、探索、证明、计算于一身。
（1）①过点P分别作与OA,OB的垂线段，通过证明三角形全等得出PC=PD；②△POD与△PDG的面积之比是。
(2)若PC与边OA相交，△PDE∽△OCD,且OP=1；若PC与边OA的反向延长线相交，△PDE∽△ODC,OP=。
八、运用三角板旋转
例9：（06哈尔滨）如图（10），在Rt△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=900,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并保证三角板的两直角边PE,PF分别与线段AC,AB相交，交点分别为N、M，线段MN,AP相交于点D。
（1）请你猜出线段PN与PM的大小关系，并说明理由；
（2）设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，请求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）当三角板运动到使时，求线段AM的长。
析解：（1）PM=PN
∵AP是等腰Rt△ABC的斜边上的中线
∴∠PAB=∠C=45°且PC=PA, ∠APC=90°
∴∠CPN=∠APM=90°-∠NPA ∴△CPN≌△APM
∴PN=PM
(2) ∵△CPN≌△APM ∴S且CN=4
∴
∵AN=AC-CN=2-x ∴S
∴
即y=
(3)当时，AM的长为1+
九、运用三角板拓展
除了我们手中的两块三角板外，顶角为36°的等腰三角形可以做成第三块三角板，在数学中占有特殊的地位。如图（11）：∠A=36°，AB=AC，两底角都是72°，在这个三角形中，36°、72°的函数值也可以像前面两块三角板的内角一样用一个准确的数值表示出来，是锐角中能够表示出准确值的为数不多的几个锐角之一。
如果设AB为单位长1，作∠ABC的平分线交AC于D，
容易得到△BCD∽△ABC,且AD=BD=BC,
设AD=BD=BC=x，则，解得
。
即AD=BD=BC=
做出AC上的高BG，则
∴cos36°=
你算一算它们的近似值就可以发现，这样表示的值更准确。同时，AD,也就是黄金分割数据，点D就是AC上的黄金分割点。在圆中你将会看到正十边形、正五边形的中心角分别为36°、72°，所以你能制作这样的一块三角板。第三块三角板对于画黄金分割点、正十边形、正五边形等图形将是很方便的工具。
平时普普通通的一副三角板，竟藏着这么多数学知识，这就是数学的美——简洁、和谐、普遍与实用。只有一双善于发现的眼睛、一个乐于探究、创新、思考的头脑才能不断体会到这种美。愿我们都做一个善于发现生活中、数学中美的人。
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一副三角板可单独使用，可合作使用，也可多副并用，它作为数学模具，给我们的数学课堂注入了新的活力，更能给予学生一个“完整的数学”，有助于培养学生善于操作、善于探究的习惯，培养学生“用数学”的意识，正如大诗人陆游所说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”而在日常学习中，学生对这副很早接触、使用率颇高的三角板，对其中蕴藏的丰富的数学知识、蕴含的有趣的数学运用，却往往疏于发现。下面，我结合实例来展示三角板的“多才多艺”，供大家参考：
一、运用三角板拼角
例1：用一副三角板可以拼成小于平角的角 个。
析解：一副三角板中共有30°、45°、60°、90°四种角度，所以可以拼成15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°十个角。
例2：（06吉林）把一副三角板如图（1）方式放置，则两条斜边所形成的钝角=度。
析解：连续运用三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可得∠=165°。
二、运用三角板拼图
例3： 用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形的个数为（）。
（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个
析解：如图（2），用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形为两个一般平行四边形、一个矩形和一个凸四边形,故选（D）。
三、运用三角板证明
例4：今有四块完全相同的直角三角板，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。请利用这四块直角三角板拼成一个图形，并利用拼成的图形证明勾股定理。
析解：本题主要考查学生动手拼图能力和图形的面积求解。
拼图如图（3）、如图（4）、如图（5）所示。下面以图（3）为例给出一种证明。
易证四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，所以，
所以（a+b），所以a即a。
四、运用三角板画图
例5：请利用三角板作∠AOB的平分线，如图（6）。
析解：在∠AOB的两边上，分别利用三角板的测量功能截取线段OM=ON；再利用它的直角，分别过点M、N作两边的垂线，相交于点P，连结OP并延长，则射线OP就是∠AOB的平分线。
五、运用三角板计算
例6：（04湖北荆门）将一副三角板如图（7）摆放在一起，连接AD，试求∠ADB的余切值。
析解：尽管题中没有提供边与角的具体数据，但是一副三角板摆放成的几何图形隐含着许多特殊角。为解直角三角形问题铺平了道路。过点A作DB的延长线的垂线AE，垂足为E，
在等腰Rt△BDC中，∠1=45°，设BD=DC=1,即BC=。在Rt△ABC中，∠4=30°，则AB=BC·tan30°=·。在Rt△AEB中，∠2=180°-（∠1+∠3）=45°，则EB=EA=AB·sin45°=。在Rt△ADE中，DE=BD+EB，则cot∠ADB=。
六、运用三角板识别
例7：（06长春）将直尺与三角板按如图（8）所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角。
析解：充分运用三角板90°角的特性及直尺对边平行的性质来突破。与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4。
七、运用三角板滑动
例8：（03浙江绍兴）如图（9），已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与边OA,OB交于C,D。
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=,求△POD与△PDG的面积之比。
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，一直角边与边OB交于点D，OD=1,另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E,使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长。
析解：这是一道考查学生综合能力的题目，集滑动、探索、证明、计算于一身。
（1）①过点P分别作与OA,OB的垂线段，通过证明三角形全等得出PC=PD；②△POD与△PDG的面积之比是。
(2)若PC与边OA相交，△PDE∽△OCD,且OP=1；若PC与边OA的反向延长线相交，△PDE∽△ODC,OP=。
八、运用三角板旋转
例9：（06哈尔滨）如图（10），在Rt△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=900,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并保证三角板的两直角边PE,PF分别与线段AC,AB相交，交点分别为N、M，线段MN,AP相交于点D。
（1）请你猜出线段PN与PM的大小关系，并说明理由；
（2）设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，请求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）当三角板运动到使时，求线段AM的长。
析解：（1）PM=PN
∵AP是等腰Rt△ABC的斜边上的中线
∴∠PAB=∠C=45°且PC=PA, ∠APC=90°
∴∠CPN=∠APM=90°-∠NPA ∴△CPN≌△APM
∴PN=PM
(2) ∵△CPN≌△APM ∴S且CN=4
∴
∵AN=AC-CN=2-x ∴S
∴
即y=
(3)当时，AM的长为1+
九、运用三角板拓展
除了我们手中的两块三角板外，顶角为36°的等腰三角形可以做成第三块三角板，在数学中占有特殊的地位。如图（11）：∠A=36°，AB=AC，两底角都是72°，在这个三角形中，36°、72°的函数值也可以像前面两块三角板的内角一样用一个准确的数值表示出来，是锐角中能够表示出准确值的为数不多的几个锐角之一。
如果设AB为单位长1，作∠ABC的平分线交AC于D，
容易得到△BCD∽△ABC,且AD=BD=BC,
设AD=BD=BC=x，则，解得
。
即AD=BD=BC=
做出AC上的高BG，则
∴cos36°=
你算一算它们的近似值就可以发现，这样表示的值更准确。同时，AD,也就是黄金分割数据，点D就是AC上的黄金分割点。在圆中你将会看到正十边形、正五边形的中心角分别为36°、72°，所以你能制作这样的一块三角板。第三块三角板对于画黄金分割点、正十边形、正五边形等图形将是很方便的工具。
平时普普通通的一副三角板，竟藏着这么多数学知识，这就是数学的美——简洁、和谐、普遍与实用。只有一双善于发现的眼睛、一个乐于探究、创新、思考的头脑才能不断体会到这种美。愿我们都做一个善于发现生活中、数学中美的人。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”