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1. 引言 普通高中《数学课程标准》(实验)的课程基本理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式,注重提高学生的数学思维能力和发展学生的数学应用意识等,我校领导高度重视新课程改革,激励教师大胆探索,不断改进课堂教学,我也积极响应,认真钻研新课标,结合学生实际情况和数学学科注重培养思维的特点,精心设计教学过程,优化课堂教学,现提供高中数学必修3(北师大版)《建立概率模型》案例设计一份。
1. 环节一 三维目标展示
知识与能力目标:使学生加深对古典概型特征的理解,并能建立概率模型解决简单的实际问题,提高学生的发散思维能力以及分析问题、解决问题的能力。
过程与方法目标:通过学习建立概率模型,使学生参与建立模型的过程,通过与同学、老师的交流互动,培养学生的合作意识,体会解决问题的方法。
情感态度与价值观目标:使学生学会多角度思考问题,增强数学建模以及应用知识解决问题的意识。
教学重点:建立古典概型,解决简单的实际问题。
教学难点:从多种角度建立古典概型。
教学方法:多媒体辅助教学、诱思探究法。
2. 环节二 新课复习导入
2.1 提问:
(1)古典概型有何特征?
(2)古典概型的概率计算公式是什么?
(3)列出试验结果的常用方法有哪些?
2.2 学生先思考并回答,师随后多媒体展示答案。
(1)古典概型的概念试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 每一个结果出现的可能性相同。
(2)古典概型的概率公式
P(A)=m(A包含的基本事件数)n(基本事件总数)
(3)列表法和树状图。
2.3 师:这节课我们继续深入研究建立概率模型来解决实际问题(板书课题)。
3. 环节三 新知互动探究
3.1 引例
师:我们看一个例子,在掷一枚均匀骰子的试验中,点数向上的结果有6种,每次试验只出现其中的一个结果; 每一个结果出现的可能性相同,这属于古典概型。如果考虑向上的点数是奇数还是偶数,是古典概型吗?
生:是,因为结果是两种,每一个结果出现的可能性相同。(诱导思维,加深理解古典概型)
师:如果给骰子的两个面涂成红色,另两个面涂成绿色,剩下的两个面涂成黑色,看向上的面的颜色,这是古典概型吗?
生:是,也符合古典概型的特征。(引导学生多角度开发古典概型)
师:还有其它方法吗?
生:(思考并问答)。
师:一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的,只要求它符合古典概型就可以。
师:如果给骰子一个面涂上红色,其余各面均涂成黑色,则“向上的面是黑色”和“向上的面是红色”作为基本事件的模型的古典概型吗?
生:不是,每一个结果出现的可能性不相同。(通过反例,使学生准确认识古典概型)
3.2 典例分析:
师:(多媒体展示例2:口袋装有2个红球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计算第二个人摸到红球的概率.)这个问题该如何建立概率模型?
生:(独立思考,用树状图表示所有可能的结果,再计算。)
师:(先展示学生建立的模型,再依次用多媒体展示树状图1,得P(A)=12/24=1/2),还可以建立更简单的模型来计算吗?
图1
生:(争着举手回答)
师:如果只考虑前两个人模球的情况,会有哪些结果呢?
生:6种.(部分学生声音响亮回答)
师:(师多媒体展示树状图2,得P(A)=6/12=1/2),还有更简单的模型吗?
图2
生:(思考并尝试画树状图)
师:如果对2个红球不加区别,对2个黑球也不加区别,便会得到新的更简单的模型.(多媒体展示树状图3,得P(A)=3/6=1/2)
图3
师:还有更简单的模型吗?
生:(惊讶、思考)
师:只考虑第二个人摸出球的情况,便会有P(A)=2/4=1/2
师:你对上面的4种解法有何感想?
生甲:从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决。
生乙:如果所有结果数越少,问题的解决就越简单。
师:解法1是不是就不好呢?其实利用这个模型就可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率。比如“第一个人和第四个人中第一个摸到2号球的概率等。这是其它几个模型所无法解决的,它是一种最基本的模型,同学们应熟练掌握。”
4. 环节四 新知迁移应用(学生先独立完成,师然后多媒体投影解题过程,和学生共同讨论交流不同模型的特点)
4.1 口袋里装有4个球,其中有1个红球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,4个人依次从中摸出一球,求第3个人摸到红球的概率。
4.2 口袋里装有100个球,其中有1个红球和99个黑球,这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球,求第81个人摸到红球的概率。
4.3 如果口袋里有m个红球和n个黑球,这m+n个球除颜色外完全相同,m+n个人按顺序依次从中摸出1球,则第k(1≤k≤m+n)个人摸到红球的概率是多少?
4.4 一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)共有4种花色(梅花、方块、红心、黑桃),每一种花色有13张牌(A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K)。方块和红心称红色牌,梅花和黑桃称为黑色牌,从一副扑克牌中随机选取1张,计算下列事件的概率:
(1)这张牌是A;(2)这张牌是K,Q或J;
(3)这张牌是红色A;(4)这张牌是梅花;
(5)这张牌是黑色牌。
5. 环节五 学生自我小结
5.1 对于同一个问题,可以从不同的角度思考建立不同的概率模型来解决。
5.2 掌握最基本模型的建立,寻求简捷的思路和解法。
6. 环节六 课后落实训练
6.1 小军、小燕和小时是同班同学,假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的。
(1)事件“小燕比小明先到校”的概率是多少?
(2)事件“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率是多少?
6.2 幼儿园的一个小朋友正在给一个圆、一个三角形和一个长方形着色,有红、蓝两种颜色可供选择,对于每一个图形,他都随机地选择一种颜色涂上。
(1)利用树状图列出所有可能结果;
(2)计算下列事件的概率:
(i)三个图形都涂上红色;
(ii)圆被涂上红色;
(iii)三角形和长方形被涂上不同的的颜色;
(iv)三个图形的颜色不全相同。
图4
反思:1)概念的再成现,保证探究的需要,提升学生的应用能力。
2)精心设计问题,保证探究的深入,提升学生的思维能力。
3)多角度考虑问题,保证探究的广度,拓展学生的思维。
4)实时鼓励,激发学生的探究热情,提高学生学习的积极性。
5)留给学生之间合作交流的机会和时间较少。
收稿日期:2010-07-22
1. 环节一 三维目标展示
知识与能力目标:使学生加深对古典概型特征的理解,并能建立概率模型解决简单的实际问题,提高学生的发散思维能力以及分析问题、解决问题的能力。
过程与方法目标:通过学习建立概率模型,使学生参与建立模型的过程,通过与同学、老师的交流互动,培养学生的合作意识,体会解决问题的方法。
情感态度与价值观目标:使学生学会多角度思考问题,增强数学建模以及应用知识解决问题的意识。
教学重点:建立古典概型,解决简单的实际问题。
教学难点:从多种角度建立古典概型。
教学方法:多媒体辅助教学、诱思探究法。
2. 环节二 新课复习导入
2.1 提问:
(1)古典概型有何特征?
(2)古典概型的概率计算公式是什么?
(3)列出试验结果的常用方法有哪些?
2.2 学生先思考并回答,师随后多媒体展示答案。
(1)古典概型的概念试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 每一个结果出现的可能性相同。
(2)古典概型的概率公式
P(A)=m(A包含的基本事件数)n(基本事件总数)
(3)列表法和树状图。
2.3 师:这节课我们继续深入研究建立概率模型来解决实际问题(板书课题)。
3. 环节三 新知互动探究
3.1 引例
师:我们看一个例子,在掷一枚均匀骰子的试验中,点数向上的结果有6种,每次试验只出现其中的一个结果; 每一个结果出现的可能性相同,这属于古典概型。如果考虑向上的点数是奇数还是偶数,是古典概型吗?
生:是,因为结果是两种,每一个结果出现的可能性相同。(诱导思维,加深理解古典概型)
师:如果给骰子的两个面涂成红色,另两个面涂成绿色,剩下的两个面涂成黑色,看向上的面的颜色,这是古典概型吗?
生:是,也符合古典概型的特征。(引导学生多角度开发古典概型)
师:还有其它方法吗?
生:(思考并问答)。
师:一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的,只要求它符合古典概型就可以。
师:如果给骰子一个面涂上红色,其余各面均涂成黑色,则“向上的面是黑色”和“向上的面是红色”作为基本事件的模型的古典概型吗?
生:不是,每一个结果出现的可能性不相同。(通过反例,使学生准确认识古典概型)
3.2 典例分析:
师:(多媒体展示例2:口袋装有2个红球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计算第二个人摸到红球的概率.)这个问题该如何建立概率模型?
生:(独立思考,用树状图表示所有可能的结果,再计算。)
师:(先展示学生建立的模型,再依次用多媒体展示树状图1,得P(A)=12/24=1/2),还可以建立更简单的模型来计算吗?
图1
生:(争着举手回答)
师:如果只考虑前两个人模球的情况,会有哪些结果呢?
生:6种.(部分学生声音响亮回答)
师:(师多媒体展示树状图2,得P(A)=6/12=1/2),还有更简单的模型吗?
图2
生:(思考并尝试画树状图)
师:如果对2个红球不加区别,对2个黑球也不加区别,便会得到新的更简单的模型.(多媒体展示树状图3,得P(A)=3/6=1/2)
图3
师:还有更简单的模型吗?
生:(惊讶、思考)
师:只考虑第二个人摸出球的情况,便会有P(A)=2/4=1/2
师:你对上面的4种解法有何感想?
生甲:从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决。
生乙:如果所有结果数越少,问题的解决就越简单。
师:解法1是不是就不好呢?其实利用这个模型就可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率。比如“第一个人和第四个人中第一个摸到2号球的概率等。这是其它几个模型所无法解决的,它是一种最基本的模型,同学们应熟练掌握。”
4. 环节四 新知迁移应用(学生先独立完成,师然后多媒体投影解题过程,和学生共同讨论交流不同模型的特点)
4.1 口袋里装有4个球,其中有1个红球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,4个人依次从中摸出一球,求第3个人摸到红球的概率。
4.2 口袋里装有100个球,其中有1个红球和99个黑球,这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球,求第81个人摸到红球的概率。
4.3 如果口袋里有m个红球和n个黑球,这m+n个球除颜色外完全相同,m+n个人按顺序依次从中摸出1球,则第k(1≤k≤m+n)个人摸到红球的概率是多少?
4.4 一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)共有4种花色(梅花、方块、红心、黑桃),每一种花色有13张牌(A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K)。方块和红心称红色牌,梅花和黑桃称为黑色牌,从一副扑克牌中随机选取1张,计算下列事件的概率:
(1)这张牌是A;(2)这张牌是K,Q或J;
(3)这张牌是红色A;(4)这张牌是梅花;
(5)这张牌是黑色牌。
5. 环节五 学生自我小结
5.1 对于同一个问题,可以从不同的角度思考建立不同的概率模型来解决。
5.2 掌握最基本模型的建立,寻求简捷的思路和解法。
6. 环节六 课后落实训练
6.1 小军、小燕和小时是同班同学,假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的。
(1)事件“小燕比小明先到校”的概率是多少?
(2)事件“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率是多少?
6.2 幼儿园的一个小朋友正在给一个圆、一个三角形和一个长方形着色,有红、蓝两种颜色可供选择,对于每一个图形,他都随机地选择一种颜色涂上。
(1)利用树状图列出所有可能结果;
(2)计算下列事件的概率:
(i)三个图形都涂上红色;
(ii)圆被涂上红色;
(iii)三角形和长方形被涂上不同的的颜色;
(iv)三个图形的颜色不全相同。
图4
反思:1)概念的再成现,保证探究的需要,提升学生的应用能力。
2)精心设计问题,保证探究的深入,提升学生的思维能力。
3)多角度考虑问题,保证探究的广度,拓展学生的思维。
4)实时鼓励,激发学生的探究热情,提高学生学习的积极性。
5)留给学生之间合作交流的机会和时间较少。
收稿日期:2010-07-22