【摘 要】
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度量空间的“性质A”与“粗嵌入”是粗几何与高指标理论中的重要概念。1993年,Gromov引进了粗（一致）嵌入的概念,并提示度量空间到Hilbert空间或Banach空间的粗嵌入可能对解决Novikov猜测具有重要意义。2000年,G.Yu（郁国梁）为离散度量空间引进了性质A的概念,并且证明了具有性质A的离散度量空间能够粗嵌入到可分的希尔伯特空间,那么关于该度量空间的粗Baum-Connes猜测成
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度量空间的“性质A”与“粗嵌入”是粗几何与高指标理论中的重要概念。1993年,Gromov引进了粗（一致）嵌入的概念,并提示度量空间到Hilbert空间或Banach空间的粗嵌入可能对解决Novikov猜测具有重要意义。2000年,G.Yu（郁国梁）为离散度量空间引进了性质A的概念,并且证明了具有性质A的离散度量空间能够粗嵌入到可分的希尔伯特空间,那么关于该度量空间的粗Baum-Connes猜测成立,从而粗Novikov猜测成立。到目前为止,已得到了许多关于性质A的等价刻划,其中Higson-Roe运用支撑条件和收敛条件给出的等价刻划起了重要的作用。现在已验证大量的度量空间具有性质A,但Expander图不具备性质A也不能粗嵌入到Hilbert空间。2006年,Kasparov和G.Yu（郁国梁）证明了一个具有有界几何的离散度量空间能够粗嵌入到一致凸Banach空间,那么该度量空间的粗Novikov猜测成立。本文是在上述背景下提出了度量空间的“广义性质A”的概念。我们把Higson-Roe描述的性质A中的支撑条件和收敛条件与一致凸Banach空间结合起来,提出了“广义性质A”概念,证明了具有广义性质A的可数离散度量空间能够粗嵌入到一致凸Banach空间,研究了广义性质A的粗不变性、关于相对双曲群的不变性质、关于有限群图的不变性质。另一方面,受到有限渐近维数性质的启发,Guentner、Tessera和G.Yu（郁国梁）引入了有限分解复杂度的概念,它可以作为计算度量空间复杂度的测度。同时,他们还证明了若闭非球面流形的基本群具有有限分解复杂度,则关于其的稳定Borel猜测成立。本文中我们把有限分解复杂度视为度量空间的一种运算,证明了“性质A”和“粗嵌入”关于有限分解复杂度的运算具有不变性。其中,为了建立这样的分解不变性,我们将有限分解复杂度概念中的度量空间列{Xi1j1…imjm}i1,j1…,im,jm是“一致有界的”分别替换为该度量空间列具有“等度性质A”和“等度可粗嵌入性”,从而引出两个新的概念。随后证明了性质A的一个有限并数量版本和粗嵌入的一个有限并数量版本,并用它们证明了性质A和粗嵌入在有限分解复杂度下的不变性。
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