随着计算机技术的革新和工程应用的实际需要,人们对于反散射问题的研究不再仅仅限于理论上的分析,更多的时候人们希望能够有效的数值模拟反散射问题的解。然而,与正散射问题相比,反散射问题往往是不适定的,即问题解的存在性、唯一性和稳定性总是被破坏。另外,在数值求解算法上,反散射问题与正散射问题也有很大不同。本文以统计计算方法作为基本反演手段,对声波和弹性波中几类反散射问题的求解进行了研究。研究的主要内容和成果归纳如下:1.针对有限孔径的声波反散射问题,提出了一种将扩展采样法（Extended Sampling Method,ESM）与Bayes方法相结合的新技术来重建声软障碍物的位置和形状。通过Bayes公式将反问题重新表述为一个统计模型进行求解,并证明了转化后模型后验概率测度的适定性。在使用Markov chain Monte Carlo（MCMC）方法对后验分布进行采样的过程中,事先知道目标位置对于加速MCMC方法的收敛速度具有重要的作用。为此,我们事先采用了ESM对目标的位置进行了反演。ESM-Bayes方法分为两个步骤:i)ESM获取目标位置,ii)Bayes方法重构边界。这两个步骤都基于相同的物理模型,并使用相同的测量数据。2.提出了一种结合ESM与集合Kalman滤波（En KF）的两步方法来求解弹性波障碍反散射问题。作为算法的第一步,我们首先使用ESM来反演障碍物的近似位置。为了能使算法适用于有限孔径的数据,我们在已有文献的基础上对ESM进行了改进。第二步,利用En KF对ESM获得的位置进行优化,并利用相同的数据集重建未知障碍物的形状。ESM得到的近似位置可用于En KF初始粒子集的构建。数值实验表明,该方法继承了两种方法各自的优点,且能够利用有限孔径数据对目标障碍物进行有效的恢复。3.鉴于前面两章的研究思路,我们将直接采样法（Direct Sampling Method,DSM）与Bayes方法相结合,提出了一种求解声波反源问题的高质量反演方法。第一步,采用DSM来反演未知源的数目和位置。第二步,对于源的细节信息,采用Bayes方法进行反演。在Bayes统计中,模型中的参数被视为随机变量。第一步中获得的源的数目和位置被编码在Bayes方法的先验分布中。然后,利用Bayes公式,得到了未知参数的后验分布,证明了该方法的适定性,并采用preconditioned Crank Nicolson Metropolis Hastings（p CN-MH）算法对后验密度函数进行求解。数值算例表明该方法具有很强的稳健性,且能够在部分观测数据下对未知源的数目、位置及强度进行反演。4.考虑了一个具有重要应用背景的介质反散射问题,即从均匀背景介质中识别可穿透层状散射体界面的几何形状。我们将集合Kalman方法作为反演求解器。为了能够灵活的处理散射体界面边界的拓扑变化,我们在En KF算法中引入了水平集技术。在整个反演过程中,不需要计算正演算子及其伴随算子的Fréchet导数。这与传统的梯度型算法相比明显是一个优势。通过数值实验说明了该算法的有效性和灵活性。该算法不仅可以处理一个散射体,而且还可以对多个散射体及环状散射体进行恢复。5.考虑了一个利用散射场数据来恢复背景弹性介质中腔体形状的反散射问题。由于与该反问题相对应的正散射问题计算成本较高,若采用MCMC算法进行求解,势必会导致Bayes公式中似然势函数的计算量较大,从而使整个反演过程变的十分耗时。为了提高反演效率,我们采用Kriging代理模型对Bayes公式中的似然势函数进行替代。数值实验表明,Kriging代理模型不仅可以提供合理的计算精度,而且能够极大的缩短MCMC算法的反演时间。