自钟万勰院士[6,7] 1994 年提出齐次线性自治动力系统的精细算法HPD 以来，这一计算力学、工程应用与计算数学的学术交叉点迅速发展，已成为学术热点。本文基于已有的研究成果，围绕多项式展开技术，主要是第二类Chebyshev 正交多项式展开技术，将精细算法引向深入，开展了长效精细算法的系列性研究，并将其应用于美式看跌期权的定价，得到了较好的结果。 本文的创新工作主要有以下三个方面： (1) 围绕多项式展开技术，与如何继承在摸索阶段取得的但可能不十分理想的计算结果以使其发挥作用，研究了HPD 精细算法的外推及相关的精度分析，还提供了精细参数N 的后验寻优的一条新的有效途径。算例表明：外推HPD 法的计算结果与N 的后验寻优结果令人满意。至今，精细算法的外推尚未见文献 (2) 求解齐次线性自治系统的精细算法HPD 是钟万勰院士1994 年提出的，这一算法是长效的，即传递矩阵H 属“一次计算、终生使用”，或者说，只要1 k k t t τ + ? = ，则1 [ , ] k k t t + 上的H 是恒同的。但在设计求解非齐次线性自治系统的长效精细算法时遇到很大的困难（注：已报道的一些相关精细算法，传递矩阵H 随小区间[ , ] 1 t t k k+ 不同而不同，称：区间精细算法。区间精细算法较长效精细算法增加许多计算量），困难主要来自激励项或右端函数难以处理。目前，只对周期右端函数或充分光滑的右端函数设计出了长效精细算法。本文应用“有限区间上的C 型右端函数、甚至于2 L 型右端函数可以沿第二类Chebyshev 正交多项式函数系展开”的理论，就这种一般的右端函数设计出一种新的长效精细算法HHPD-CS，在一定程度上解决了这一困难。理论与算例表明：本文的长效HHPD-CS 算法十分有效。 (3)作为背景应用，以HHPD-CS 算法为平台，对美式看跌期权的定价问题进行了若干的研究。将HHPD-CS 算法应用于带有任意激励的线性自治Hamilton 系统，提出并设计了更为有效的匹配型长效精细算法（简称：PS-HHPD-CS）。理论与算例表明：PS-HHPD-CS 算法比HHPD-CS 与R-K 方法都更令人满意。