连续性的概念是经典点集拓扑理论以及其他若干数学分支研究中最基本、研究意义重大的研究课题之一。因此,连续性的弱形式和强形式的研究具有重大意义。拓扑空间中,半开集、α-开集、预开集、半预开集、b-开集、b-θ-开集、β-θ-开集、δ-预开集、e*-开集、e-开集、e-0-开集、e*-0-开集等概念在连续性的推广方面都扮演着重要的角色。运用这些集合概念,很多作者引进和推广了一般连续性概念并得到了各种类型的变型。有大量的文献研究具有推广的连续性性质的函数,其中有很多优秀的文章将多种开集的概念,例如a-开集、半开集、a-开集、预开集、半预开集、b-开集、δ-预开集等,推广至多值函数并推广了其弱形式。这就意味着函数以及复值函数在研究拓扑空间的特征以及由现有空间构造新空间方面都起着重要的作用。此外,推广的开集概念在一般拓扑研究中也起着重要的作用,并且该研究是拓扑研究领域中重要而基本的研究课题之一。实际上,一般拓扑研究以及实际系统分析中的一个重要课题就是各种形式的连续性。另一方面,拓扑在量子物理、高能物理学以及超弦理论中扮演着重要的角色,在计算机科学、数字拓扑、几何以及分子化学计算拓扑中也可以看到一般拓扑空间的影响。因此,本文研究拓扑空间中与函数以及连续性密切相关的一些新形式连续性,具体分为如下六个章节。第一章,首先简单回顾若干概念,包括推广的强连续性函数、一些推广的闭区间,然后介绍拓扑空间中推广的连续函数的各种类型以及推广的上下连续多值函数的不同形式,最后介绍本文的目的。第二章,主要介绍基本定义以及已知的和本文相关的结果。给出一些与将在以下每章开头介绍的结果相关的定义及结果。第三章,通过运用e*-开集的两个强形式,即e*-正则开集和e*-0-开集,介绍和探讨了一类新的强形式连续性概念,即强θ-e*-连续函数,并得到了强θ-e*-连续函数的若干基本性质。该类函数是强θ-e-连续函数和强0-β-连续函数的推广。此外,介绍了强0-e*-连续函数与其他已知类型的强连续函数之间的关系。运用e*-开集的概念,作者探讨了0-e*-连续函数与分离公理之间的关系,并且运用e*-开集的两种新形式,即e*-闭空间以及可数e*-闭空间,介绍了该类函数的一些覆盖特征。此外,本章探讨了强θ-e*-连续函数在拓扑空间中的图像。第四章,通过网和滤子基给出了第三章中介绍的e*-闭空间的一些特征。这些特征平行于其他推广的紧性空间的特征,如s-闭空间、p-闭空间以及f-闭空间。此外,本章研究和讨论了一类新的连续函数——θ-e*-连续函数,该类函数将e*-闭空间转化为H-闭空间并且包含强θ-e*-连续函数,得到了关于θ-e*-连续函数的一些特征和基本性质,通过e*-开集介绍和刻画了一类新的正则公理,并且探讨了它们之间的关系。此外,探讨了θ-e*-连续函数与其他已知形式连续函数之间的关系并讨论了该类函数的图像。第五章,运用e-开集和e*-开集,将e-连续函数和e’-连续函数的概念推广至多值函数,并且介绍和研究了两类新的连续多值函数——上(下)e-连续多值函数和上(下)e*-连续多值函数。上(下)e-连续多值函数强于上(下)e*-连续多值函数和推广的上(下)δ-预连续多值函数。并且上(下)e*-连续多值函数是上(下)p-连续多值函数和上(下)e-连续多值函数的推广。本章除了给出上(下)e-连续多值函数和上(下)e*-连续多值函数的一些特征和基本性质外,还讨论了上(下)e-连续多值函数、上(下)e*-连续多值函数以及其他类型连续多值函数之间的关系。第六章,介绍和研究了两类新的多值函数——上弱下e-连续多值函数和上弱下e*-连续多值函数分别作为上(下)e-连续多值函数和上(下)e’-连续多值函数推广,并且得到了这两类函数的一些基本特征和性质。第七章,总结了前面几章得到的结果,并且介绍了这些函数在其他领域的可能运用。