反散射问题由于其在许多科学和工程领域的广泛应用受到了越来越多的关注。反散射问题通常是不适定的,这使得它在理论分析和数值求解方面存在很多困难和挑战。在实际应用中,由于观测数据有限且有不可忽略的误差和不确定性,而传统的确定性方法通常不能处理反问题解的不确定性,贝叶斯方法将反问题重塑为统计推断问题,并提供了一个系统的框架来量化反问题解的不确定性。本论文立足于贝叶斯方法,围绕几类声波和弹性波反散射问题展开研究,包括声波内腔反散射、传输反散射、介质反散射以及弹性波介质反散射问题。本文研究内容主要分为如下四个部分:第二章研究贝叶斯方法求解声波内腔反散射问题,其主要目的是从有限孔径散射场数据重构散射体的形状。贝叶斯方法将反问题重塑为统计问题,通过贝叶斯公式,反问题的解为后验分布。考虑先验是高斯分布,证明后验分布的适定性。马尔可夫链蒙特卡洛采样法通常被考虑用来提取后验分布的信息,数值实验结果证明了所提方法的有效性。第三章研究贝叶斯方法求解二维时谐声波在可穿透障碍物上的反散射问题,即声波传输反散射问题。对于传输反散射问题,其主要目的是根据远场模式的全孔径数据或有限孔径数据重建散射体的形状。基于第二章的分析,在贝叶斯框架下考虑高斯先验并证明后验分布的适定性。最后,利用马尔可夫链蒙特卡罗算法抽取后验分布样本,数值实验结果证明了所提方法的有效性。第四章研究贝叶斯水平集方法求解声波反介质散射问题。假设具有紧支撑的非均匀散射体由一个分段常函数表示,它的密度函数值是已知的,其支撑通过水平集函数表示。利用贝叶斯方法与水平集方法耦合将反问题重塑为形状重构的统计问题,且利用多频的数据恢复散射体形状。考虑Whittle-Matérn高斯随机场作为先验,在这种设置下可以得到水平集不连续集的Lebesgue测度几乎确定为零。从而,基于贝叶斯定理证明后验分布的适定性。最后,通过马尔可夫链蒙特卡洛法抽取后验分布样本,其数值结果表明所提方法可以有效地重构散射体形状。第五章研究贝叶斯水平集方法求解弹性波反介质散射问题。假设弹性介质的Lamé参数是已知的常数,且与背景介质的常数相同,弹性介质的密度是给定值的分段常函数。此时,弹性波反介质散射问题可以被表述为一个从多频测量数据中恢复散射体支撑的问题。基于第四章的研究,将散射体的几何形状由水平集来表示,且水平集函数的先验是通过Whittle-Matérn高斯随机场实现的,进一步证明后验分布关于数据是局部Lipschitz连续的。数值实验通过马尔可夫链蒙特卡罗法来抽取后验分布样本,重构结果表明了所提方法的有效性。