本文由三章组成。在第一章，我们介绍了研究工作的目的及其背景。在后两章，我们分别讨论了两个不同的问题，并给出了相应的结果。在第二章中，我们考虑下面的半线性热方程： 一方面，我们运用Cazenave和Lions中的方法，并结合Moser-Trudinger不等式，证明了方程的全局解是一致有界的(另一种证明由M．Fila[33]给出)；另一方面，在初值满足一些条件下，如果解在有限的时间T爆破，利用对积分的估计，我们得到，当t→T<->时，有E(u(t))→-∞。 我们的动机是：想通过热流代替伪梯度流，使临界点理论和序方法能够结合使用，用变分的方法进一步研究Gelfand方程。 作为结果的一个应用，在本章的末了，我们运用[29]中的方法，建立了一些形变引理。 在第三章，我们研究以下的高阶抛物型方程：