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片段一:在操作中复习,提供锚桩
教师出示若干长8厘米,宽6厘米的小长方形纸片。
师:用一些这样的长方形拼成一个正方形,正方形的面积要尽可能小,怎么拼?这个正方形的边长是多少?
拼成
板:小长方形→大正方形
师:请一个同学在黑板上拼一拼。
师:说说边长是几厘米?
生:24厘米。
师:为什么是24厘米?
生:边长是8的倍数,也是6的倍数,就是8和6的公倍数。
师:正方形边长的厘米数一定是8的倍数,也是6的倍数,就是6和8的公倍数。拼出的正方形面积要尽量小,那边长的厘米数就是6和8的最小公倍数。这是我们前两节课学习的知识。
片段二:在探究中学习,迁移建构
学生拿出事先准备好的一个长18厘米,宽12厘米的长方形纸片,教师出示要求:把一个长18厘米,宽12厘米的长方形裁成同样大小的正方形(边长为整厘米数),而没有剩余,正方形的边长可以是几厘米?
分成
板:大长方形→小正方形
师:先看看长方形纸,想一想怎样分,再用水彩笔画一画,可以不全部画出来。
(学生自己操作)
学生汇报,电脑相机演示:
生1:正方形边长可以是2厘米。
师:为什么?
生1:18÷2=9,12÷2=6,正好分完。
生2:边长为6厘米的正方形。
生3:边长为3厘米的正方形。
生4:边长为1厘米的正方形。
师:能否裁成边长为4厘米的正方形,为什么?
师:这些边长和长方形的长、宽有什么关系?(同桌交流)
生:1、2、3、6都是18、12的公因数。
师:对,1、2、3、6既是18的因数,又是12的因数,1、2、3、6是18、12的公因数,其中6是它们的最大公因数。
揭示课题:今天我们就来研究最大公因数(板)
师:结合两次操作,你有什么要说的?
生:一个是用了最小公倍数的知识,一个是用了最大公因数的知识。
师:把小长方形拼成大正方形,面积最小的话,边长就是小长方形的长和宽的最小公倍数。把一个大长方形剪成小正方形,边长最长就是大长方形长和宽的最大公因数。
师:8和12的公因数有哪些?最大公因数是几?
(学生在草稿本上尝试练习)
师:谁来说说,你是怎样找8和12的公因数与最大公因数的?
生:我用了列举法。8的因数有1、2、4、8,12的因数有1、2、3、4、6、12,再找共有的因数,8和12的公因数有1、2、4,最大公因数是4。
师:这是最基本,最保险的方法,还有不同的想法吗?
生:我只列举了12的因数,另一个在心里想。
生:我先找8的因数。
师:你们认为先找谁的因数比较简便?
生:8的因数少,而且8比较小,所以先找8的因数。
师:8比较小,范围小,它的因数更好找。我们在找公因数时,如果只列举一个数的因数,最好先列出小的那个数的因数,再看这些因数中有哪些是另一个数的因数。
师:好,学到现在,我们不妨停下脚步,观察一下黑板上寻找8和12的公因数的过程,你有什么想法?
生:两个数的最小公因数永远是1。
生:公倍数的个数是无限的,公因数的个数是有限的。
生:有最小公倍数,最小公因数和最大公因数,没有最大公倍数。
生:我还有补充,列举出8的因数后,可以从大到小对因数进行判断,看它是不是12的因数。
师:你的想法太有创造性了,这种方法用于找两个数的最大公因数特别管用,我们把它称作:“钱氏寻找公因数法”,大家可以无条件使用钱霄同学的专利。
片段三:在总结中质疑,拓展深化
师:通过学习你学到了什么?你还有哪些自己的想法?你还有什么问题?
生:我学会了怎样找两个数的最大公因数。
生:我知道了把小长方形拼成大正方形,面积最小的话,边长就是小长方形长和宽的最小公倍数。把一个大长方形剪成小正方形,边长最长就是大长方形的长和宽的最大公因数。
生:最大公因数可不可能是小数?
师:谁来回答这个问题?
生:不可能,因为公因数是非0自然数的范围内研究的。
生:一个数是另一个数的2倍,是不是这两个数的最大公因数就是这个较小的数?
师:谁来解答他的疑问?
生:是这样的。
师引申:如果是3倍,4倍……呢?我们以后再研究。还有什么问题?
生:学习了公因数以后有什么用呢?
师:可以用来解决一些实际问题,同时可为以后学习分数的有关知识打下基础。
本节课对教材的例题进行了改变和处理,这样的处理努力体现:
一、用好锚桩
学生的学习是一个连续不断地同化新知识、构建新意义的过程(顾泠沅语)。学习被看做是建立新旧知识之间联系的过程。对于每一个新知而言,它都有一个知识的生长点和固着点,教师的作用就是要帮助学生建立知识间的合理联系,即知识固着点与新问题间合适的潜在距离。对最大公因数而言,因数是与它相关的一个知识基础,最小公倍数同样是它的一个可依靠的锚桩,虽然它们是相对的,互逆的,但它们的建构过程是相似的,是可以相互借鉴的。所以在教学《最大公因数》的时候,课的一开始通过操作复习最小公倍数,为学习新知明确地提供一个可借鉴、可对比、可依附的固着点。笛卡尔说过,知识是带钩的原子。知识之间需要挂钩,需要牵连。
二、用好比较
先后两次操作、两个情境,学生会有感觉,但它们的区别、关系,不去疏通,不作比较,学生很难明了,更不用说表达。而它们的区别又必须去言说,必须泾渭分明。所以在揭示课题以后,我便抛出一个问题:结合两次的操作,你有什么要说的?这个问题的指向并不明确,我的目的是给出一个有难度,空间大的问题,旨在让学生有一个尽可能大的思维空间,再通过引导归纳得到小长方形拼成大正方形,正方形的边长是长方形的长与宽的最小公倍数,大长方形分割成小正方形,正方形的边长是长方形长与宽的最大公因数。比较中方能实现知以与方法的迁移。认知结构观点的迁移理论认为,一切有意义的学习都包括迁移。而这节课上的迁移是一种水平迁移,前后两个知识属于同一层次,是一种横向扩展。从最小公倍数到最大公因数,不管是概念的内涵、概念在情境中的现实意义,还是寻找的方法、技能等等,都可以进行合理、自然的迁移。这节课的设计,就是为了让这种迁移更顺畅,为了让正迁移的作用更明显,从而有利于学生的学习。
三、用好情境
老教材上最小公倍数、最大公因数的编排是抽象地从找数的因数、倍数入手导出新知,而新教材的编排最大特点是赋予这两个知识以现实意义,或是用长方形去铺正方形(正方形的边长是长方形的长与宽的最小公倍数),或是用正方形去铺长方形(正方形的边长是长方形的长与宽的最大公因数),从解决实际问题中引出新知。我的情境设计不是“铺”,而是“拼”与“割”,这样的设计是源于:1.在解决实际问题中像长方形拼成正方形、长方形分割成正方形是学生比较难理解的,我这样的处理既是给予这两个知识以现实意义,更是为了让学生在情境中、操作中深刻理解最大公因数的意义,从而使得上面提到的难点更易于突破。2.“拼”与“割”,更便于学生操作,学具的准备更简便易行。3.例题的“分割”图形,给了学生更大的思维空间,“把一个长18厘米,宽12厘米的长方形裁成同样大小的正方形(边长为整厘米数),而没有剩余,正方形的边长可以是几厘米?”要比“用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺一个长18厘米,宽12厘米的长方形,哪种纸片能正好铺满?”(教材上的例题)有更大的挑战性。对于已经学过最小公倍数知识的学生而言,这是他们能胜任的,事实证明,学生能很快得到答案。
四、用好质疑
在上课的过程中,我喜欢经常问学生:学到现在,你有什么想法吗?课上我设计了两次这样的机会,第一次是在学生找出8和12的公因数、最大公因数后,问道:好,学到现在,我们不妨停下脚步,观察一下黑板上寻找8和12的公因数的过程,你有什么想法?第二次是在全课总结时,我说:通过学习你学到了什么?你还有哪些自己的想法?你还有什么问题?细细观察这些想法,可以说每一个想法都是那么的珍贵,那么的富有见地。“你有什么想法”,看似笼统的问题,但它能起到一石激起千层浪的作用,能让学生的思维喷涌而出,能培养学生“我口说我心”的思维发散性及“追根究底”的思维深刻性。在学习过程中,学生处于一种具有开放性、生长性的思维状态,不同的知识背景,不同的理解角度,使得学生会不断地产生新的、个性化的想法,这些是教学中最宝贵的资源,它可以使教者看到学生思维的走向,可以捕捉到新颖独特的想法,这不是培养学生创造力的最好时机吗?学生的很多想法是你教师未知的,是你无法预料的,所以这样的课堂是让人充满期待的。
教师出示若干长8厘米,宽6厘米的小长方形纸片。
师:用一些这样的长方形拼成一个正方形,正方形的面积要尽可能小,怎么拼?这个正方形的边长是多少?
拼成
板:小长方形→大正方形
师:请一个同学在黑板上拼一拼。
师:说说边长是几厘米?
生:24厘米。
师:为什么是24厘米?
生:边长是8的倍数,也是6的倍数,就是8和6的公倍数。
师:正方形边长的厘米数一定是8的倍数,也是6的倍数,就是6和8的公倍数。拼出的正方形面积要尽量小,那边长的厘米数就是6和8的最小公倍数。这是我们前两节课学习的知识。
片段二:在探究中学习,迁移建构
学生拿出事先准备好的一个长18厘米,宽12厘米的长方形纸片,教师出示要求:把一个长18厘米,宽12厘米的长方形裁成同样大小的正方形(边长为整厘米数),而没有剩余,正方形的边长可以是几厘米?
分成
板:大长方形→小正方形
师:先看看长方形纸,想一想怎样分,再用水彩笔画一画,可以不全部画出来。
(学生自己操作)
学生汇报,电脑相机演示:
生1:正方形边长可以是2厘米。
师:为什么?
生1:18÷2=9,12÷2=6,正好分完。
生2:边长为6厘米的正方形。
生3:边长为3厘米的正方形。
生4:边长为1厘米的正方形。
师:能否裁成边长为4厘米的正方形,为什么?
师:这些边长和长方形的长、宽有什么关系?(同桌交流)
生:1、2、3、6都是18、12的公因数。
师:对,1、2、3、6既是18的因数,又是12的因数,1、2、3、6是18、12的公因数,其中6是它们的最大公因数。
揭示课题:今天我们就来研究最大公因数(板)
师:结合两次操作,你有什么要说的?
生:一个是用了最小公倍数的知识,一个是用了最大公因数的知识。
师:把小长方形拼成大正方形,面积最小的话,边长就是小长方形的长和宽的最小公倍数。把一个大长方形剪成小正方形,边长最长就是大长方形长和宽的最大公因数。
师:8和12的公因数有哪些?最大公因数是几?
(学生在草稿本上尝试练习)
师:谁来说说,你是怎样找8和12的公因数与最大公因数的?
生:我用了列举法。8的因数有1、2、4、8,12的因数有1、2、3、4、6、12,再找共有的因数,8和12的公因数有1、2、4,最大公因数是4。
师:这是最基本,最保险的方法,还有不同的想法吗?
生:我只列举了12的因数,另一个在心里想。
生:我先找8的因数。
师:你们认为先找谁的因数比较简便?
生:8的因数少,而且8比较小,所以先找8的因数。
师:8比较小,范围小,它的因数更好找。我们在找公因数时,如果只列举一个数的因数,最好先列出小的那个数的因数,再看这些因数中有哪些是另一个数的因数。
师:好,学到现在,我们不妨停下脚步,观察一下黑板上寻找8和12的公因数的过程,你有什么想法?
生:两个数的最小公因数永远是1。
生:公倍数的个数是无限的,公因数的个数是有限的。
生:有最小公倍数,最小公因数和最大公因数,没有最大公倍数。
生:我还有补充,列举出8的因数后,可以从大到小对因数进行判断,看它是不是12的因数。
师:你的想法太有创造性了,这种方法用于找两个数的最大公因数特别管用,我们把它称作:“钱氏寻找公因数法”,大家可以无条件使用钱霄同学的专利。
片段三:在总结中质疑,拓展深化
师:通过学习你学到了什么?你还有哪些自己的想法?你还有什么问题?
生:我学会了怎样找两个数的最大公因数。
生:我知道了把小长方形拼成大正方形,面积最小的话,边长就是小长方形长和宽的最小公倍数。把一个大长方形剪成小正方形,边长最长就是大长方形的长和宽的最大公因数。
生:最大公因数可不可能是小数?
师:谁来回答这个问题?
生:不可能,因为公因数是非0自然数的范围内研究的。
生:一个数是另一个数的2倍,是不是这两个数的最大公因数就是这个较小的数?
师:谁来解答他的疑问?
生:是这样的。
师引申:如果是3倍,4倍……呢?我们以后再研究。还有什么问题?
生:学习了公因数以后有什么用呢?
师:可以用来解决一些实际问题,同时可为以后学习分数的有关知识打下基础。
本节课对教材的例题进行了改变和处理,这样的处理努力体现:
一、用好锚桩
学生的学习是一个连续不断地同化新知识、构建新意义的过程(顾泠沅语)。学习被看做是建立新旧知识之间联系的过程。对于每一个新知而言,它都有一个知识的生长点和固着点,教师的作用就是要帮助学生建立知识间的合理联系,即知识固着点与新问题间合适的潜在距离。对最大公因数而言,因数是与它相关的一个知识基础,最小公倍数同样是它的一个可依靠的锚桩,虽然它们是相对的,互逆的,但它们的建构过程是相似的,是可以相互借鉴的。所以在教学《最大公因数》的时候,课的一开始通过操作复习最小公倍数,为学习新知明确地提供一个可借鉴、可对比、可依附的固着点。笛卡尔说过,知识是带钩的原子。知识之间需要挂钩,需要牵连。
二、用好比较
先后两次操作、两个情境,学生会有感觉,但它们的区别、关系,不去疏通,不作比较,学生很难明了,更不用说表达。而它们的区别又必须去言说,必须泾渭分明。所以在揭示课题以后,我便抛出一个问题:结合两次的操作,你有什么要说的?这个问题的指向并不明确,我的目的是给出一个有难度,空间大的问题,旨在让学生有一个尽可能大的思维空间,再通过引导归纳得到小长方形拼成大正方形,正方形的边长是长方形的长与宽的最小公倍数,大长方形分割成小正方形,正方形的边长是长方形长与宽的最大公因数。比较中方能实现知以与方法的迁移。认知结构观点的迁移理论认为,一切有意义的学习都包括迁移。而这节课上的迁移是一种水平迁移,前后两个知识属于同一层次,是一种横向扩展。从最小公倍数到最大公因数,不管是概念的内涵、概念在情境中的现实意义,还是寻找的方法、技能等等,都可以进行合理、自然的迁移。这节课的设计,就是为了让这种迁移更顺畅,为了让正迁移的作用更明显,从而有利于学生的学习。
三、用好情境
老教材上最小公倍数、最大公因数的编排是抽象地从找数的因数、倍数入手导出新知,而新教材的编排最大特点是赋予这两个知识以现实意义,或是用长方形去铺正方形(正方形的边长是长方形的长与宽的最小公倍数),或是用正方形去铺长方形(正方形的边长是长方形的长与宽的最大公因数),从解决实际问题中引出新知。我的情境设计不是“铺”,而是“拼”与“割”,这样的设计是源于:1.在解决实际问题中像长方形拼成正方形、长方形分割成正方形是学生比较难理解的,我这样的处理既是给予这两个知识以现实意义,更是为了让学生在情境中、操作中深刻理解最大公因数的意义,从而使得上面提到的难点更易于突破。2.“拼”与“割”,更便于学生操作,学具的准备更简便易行。3.例题的“分割”图形,给了学生更大的思维空间,“把一个长18厘米,宽12厘米的长方形裁成同样大小的正方形(边长为整厘米数),而没有剩余,正方形的边长可以是几厘米?”要比“用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺一个长18厘米,宽12厘米的长方形,哪种纸片能正好铺满?”(教材上的例题)有更大的挑战性。对于已经学过最小公倍数知识的学生而言,这是他们能胜任的,事实证明,学生能很快得到答案。
四、用好质疑
在上课的过程中,我喜欢经常问学生:学到现在,你有什么想法吗?课上我设计了两次这样的机会,第一次是在学生找出8和12的公因数、最大公因数后,问道:好,学到现在,我们不妨停下脚步,观察一下黑板上寻找8和12的公因数的过程,你有什么想法?第二次是在全课总结时,我说:通过学习你学到了什么?你还有哪些自己的想法?你还有什么问题?细细观察这些想法,可以说每一个想法都是那么的珍贵,那么的富有见地。“你有什么想法”,看似笼统的问题,但它能起到一石激起千层浪的作用,能让学生的思维喷涌而出,能培养学生“我口说我心”的思维发散性及“追根究底”的思维深刻性。在学习过程中,学生处于一种具有开放性、生长性的思维状态,不同的知识背景,不同的理解角度,使得学生会不断地产生新的、个性化的想法,这些是教学中最宝贵的资源,它可以使教者看到学生思维的走向,可以捕捉到新颖独特的想法,这不是培养学生创造力的最好时机吗?学生的很多想法是你教师未知的,是你无法预料的,所以这样的课堂是让人充满期待的。