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a在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定的。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。本文主要帮助考生灵活掌握求值域的常用方法。
1. 观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1.求函数y= 的值域。
解:∵x≠0,∴ ≠0
显然函数的值域是:(-∞,0)∪(0,+∞)。
2. 二次函数法
例2.已知函数f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1]。
(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围。
解:(1)依题意(a -1)x +(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,
当a -1≠0时,其充要条件是
a -1>0△=(a+1) -4(a -1)<0
即a>1或a<-1a> 或a<-1
∴a<-1或a> 。
又a=-1时,f(x)=0满足题意,a=1时不合题意。
故a≤-1或a> 为所求。
(2)依题意只要t=(a -1)x +(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R,故有a -1>0△≥0,解得1<a≤ ,又当a -1=0即a=1时t=2x+1符合题意,而a=-1时不合题意,∴1≤a≤ 为所求。
3. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数y=x -2x+5,x∈[-1,2]的值域。
解:将函数配方得:y=(x-1) +4,∵x∈[-1,2],由二次函数的性质可知:
当x=1时,y =4
当x=-1时,y =8
故函数的值域是[4,8]。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4.求函数y= 值域。
解:由原函数式可得:x=
则其反函数为:y=
其定义域为x≠
故所求函数的值域为(-∞, )。
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例5.求函数y= 的值域。
解:由原函数式可得e =
∵e >0,∴ >0,
解得-1<y<1。
故所求函数的值域为(-1,1)。
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.函数y=x+ 的值域是( )。
A. (-∞,1]
B. (-∞,-1]
C. R
D .[1,+∞)
解:令 =t(t≥0),则x= 。
∵y= +t=- (t-1) +1≤1
∴值域为(-∞,1]。
答案:A。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后选择恰当的方法,一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1. 观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1.求函数y= 的值域。
解:∵x≠0,∴ ≠0
显然函数的值域是:(-∞,0)∪(0,+∞)。
2. 二次函数法
例2.已知函数f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1]。
(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围。
解:(1)依题意(a -1)x +(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,
当a -1≠0时,其充要条件是
a -1>0△=(a+1) -4(a -1)<0
即a>1或a<-1a> 或a<-1
∴a<-1或a> 。
又a=-1时,f(x)=0满足题意,a=1时不合题意。
故a≤-1或a> 为所求。
(2)依题意只要t=(a -1)x +(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R,故有a -1>0△≥0,解得1<a≤ ,又当a -1=0即a=1时t=2x+1符合题意,而a=-1时不合题意,∴1≤a≤ 为所求。
3. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数y=x -2x+5,x∈[-1,2]的值域。
解:将函数配方得:y=(x-1) +4,∵x∈[-1,2],由二次函数的性质可知:
当x=1时,y =4
当x=-1时,y =8
故函数的值域是[4,8]。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4.求函数y= 值域。
解:由原函数式可得:x=
则其反函数为:y=
其定义域为x≠
故所求函数的值域为(-∞, )。
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例5.求函数y= 的值域。
解:由原函数式可得e =
∵e >0,∴ >0,
解得-1<y<1。
故所求函数的值域为(-1,1)。
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.函数y=x+ 的值域是( )。
A. (-∞,1]
B. (-∞,-1]
C. R
D .[1,+∞)
解:令 =t(t≥0),则x= 。
∵y= +t=- (t-1) +1≤1
∴值域为(-∞,1]。
答案:A。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后选择恰当的方法,一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”